控制系统/控制器和补偿器

控制器

已经对许多不同的标准控制系统类型进行了广泛的研究。这些控制器，特别是P、PD、PI和PID控制器，在物理系统的生产中非常常见，但正如我们将在下文中看到，它们各自也存在一些缺点。

比例控制器

比例控制器框图

比例控制器仅仅是增益值。它们本质上是乘法系数，通常用K表示。P控制器只能将系统的极点强制到系统根轨迹上的某个位置。P控制器不能用于任意极点配置。

我们用许多不同的名称来指代这种控制器：比例控制器、增益和零阶控制器。

微分控制器

比例-微分控制器框图

在拉普拉斯域中，我们可以使用以下符号表示信号的导数

$D(s)={\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)-f(0)$

由于我们正在考虑的大多数系统都具有零初始条件，因此可以简化为

$D(s)={\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)$

微分控制器被用来预测未来的值。它们通过获取信号的导数，并根据信号在未来将要达到的位置进行控制。使用微分控制器时要谨慎，因为即使是很小的高频噪声也会造成非常大的导数，表现为放大了的噪声。此外，在硬件或软件中完美地实现微分控制器是困难的，因此，通常情况下，只使用积分控制器或比例控制器的解决方案比使用微分控制器更受欢迎。

请注意，微分控制器不是真值系统，因为系统的分子阶数大于系统的分母阶数。这种非真值系统属性也使得对这些系统进行某些数学分析变得困难。

Z域导数

我们这里不再推导这个方程，但只需说，Z域中的以下方程与拉普拉斯域导数执行相同的函数

$D(z)={\frac {z-1}{Tz}}$

其中T是信号的采样时间。

积分控制器

比例-积分控制器框图

要在拉普拉斯域传递函数中实现积分，我们使用以下公式

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(t)\,dt\right\}={1 \over s}F(s)$

这种类型的积分控制器将曲线在过去时间内的面积加起来。通过这种方式，PI控制器（以及最终的PID控制器）可以考虑控制器过去的表现，并根据过去的误差进行修正。

Z域积分

积分控制器可以在Z域中使用以下方程来实现

$D(z)={\frac {z+1}{z-1}}$

PID控制器

PID 控制器方框图

PID 控制器是比例、微分和积分控制器的组合。因此，PID 控制器具有很大的灵活性。我们将在下面看到，PID 控制存在一定的局限性。

PID 传递函数

标准 PID 控制器的传递函数是比例、积分和微分控制器传递函数的加和（因此得名 PID）。此外，我们给每个项一个增益常数，以控制每个因子对最终输出的影响权重

[PID]

$D(s)=K_{p}+{K_{i} \over s}+K_{d}s$

请注意，我们可以用略微不同的方式写出 PID 控制器的传递函数

$D(s)={\frac {A_{0}+A_{1}s}{B_{0}+B_{1}s}}$

当我们研究多项式设计时，这种形式的方程将特别有用。

PID 信号流图

PID 控制器的信号流图

PID 调整

选择各种系数值以使 PID 控制器正常工作的过程称为PID 调整。有许多不同的方法可以确定这些值：

1) 直接合成 (DS) 方法

2) 内部模型控制 (IMC) 方法

3) 控制器调整关系

4) 频率响应技术

5) 计算机仿真

6) 控制系统安装后的在线调整

7) 试错法

注释

数字 PID

在 Z 域中，PID 控制器具有以下传递函数

[数字 PID]

$D(z)=K_{p}+K_{i}{\frac {T}{2}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]+K_{d}\left[{\frac {z-1}{Tz}}\right]$

我们可以通过对上述方程进行操作来将其转换为规范方程，得到

$D(z)={\frac {a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}}{1+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}}}$

其中

$a_{0}=K_{p}+{\frac {K_{i}T}{2}}+{\frac {K_{d}}{T}}$

$a_{1}=-K_{p}+{\frac {K_{i}T}{2}}+{\frac {-2K_{d}}{T}}$

$a_{2}={\frac {K_{d}}{T}}$

$b_{1}=-1$

$b_{2}=0$

一旦我们得到了PID控制器的Z域传递函数，就可以将其转换为数字时域。

$y[n]=x[n]a_{0}+x[n-1]a_{1}+x[n-2]a_{2}-y[n-1]b_{1}-y[n-2]b_{2}$

最后，从这个差分方程，我们可以创建一个数字滤波器结构来实现PID。

Bang-Bang控制器

尽管Bang-Bang控制器的名称听起来很土气，但它是一个非常有用的工具，只有通过数字方法才能真正实现。Bang-Bang控制器更恰当的名称可能是开/关控制器，其中数字系统根据目标值和阈值做出决策，并决定是打开还是关闭控制器。Bang-Bang控制器是一种非线性控制方式。

以家用炉子为例。炉子中的燃油在特定温度下燃烧——它不能燃烧得更热或更冷。为了控制房屋中的温度，恒温器控制单元决定何时打开炉子，何时关闭炉子。这种开/关控制方案就是Bang-Bang控制器。

补偿

有许多不同的补偿单元可以用来帮助修正超出正常工作范围的某些系统指标。最常见的是相位特性需要补偿，尤其是在幅值响应保持恒定的时候。补偿主要有四种类型：1. 超前补偿 2. 滞后补偿 3. 超前滞后补偿 4. 滞后超前补偿

相位补偿

有时，需要改变给定系统的相位特性，而又不改变幅值特性。为此，我们需要以改变相位响应但不改变幅值响应的方式改变频率响应。为了做到这一点，我们实现了一种特殊类型的控制器，称为相位补偿器。它们被称为补偿器，因为它们有助于改善系统的相位响应。

补偿器主要有两种类型：超前补偿器和滞后补偿器。如果将这两种类型结合起来，就可以得到一种特殊的超前滞后补偿器系统（超前滞后系统在实际应用中不可实现）。

在设计和实现相位补偿器时，重要的是要分析其对系统增益和相位裕度的影响，以确保补偿不会导致系统变得不稳定。超前相位补偿：- 1 它与在开环传递函数中添加零相同，因为从零极点角度来看，零比极点更靠近原点，因此零的影响占主导地位。

超前相位

超前补偿器的传递函数如下所示

[超前补偿器]

$T_{lead}(s)={\frac {s-z}{s-p}}$

为了使补偿器正常工作，必须满足以下属性

$|z|<|p|$

并且极点和零点的位置都应该靠近原点，位于LHP。因为只有一个极点和一个零点，所以它们都应该位于实轴上。

超前相位补偿器有助于将传递函数的极点向左移动，这有利于稳定性。

滞后相位

滞后补偿器的传递函数与超前补偿器相同，如下所示

[滞后补偿器]

$T_{lag}(s)={\frac {s-z}{s-p}}$

但是，在滞后补偿器中，极点和零点的位置应该互换

$|p|<|z|$

极点和零点都应该靠近原点，位于实轴上。

滞后相位补偿器有助于改善系统的稳态误差。滞后补偿器的极点应该非常靠近以帮助防止系统极点向右移动，从而降低系统稳定性。

超前滞后相位

超前滞后补偿器的传递函数只是超前补偿器和滞后补偿器传递函数的乘积，表示如下

[超前滞后补偿器]

$T_{Lag-lead}(s)={\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})}{(s-p_{1})(s-p_{2})}}.$

通常情况下，以下关系必须成立

$|p_{1}|>|z_{1}|>|z_{2}|>|p_{2}|$

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外部链接

• ControlTheoryPro.com 上的标准控制器形式
• ControlTheoryPro.com 上的 PID 控制
• ControlTheoryPro.com 上的 PI 控制