控制系统/控制器和补偿器

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控制器

有很多种不同的标准类型的控制系统，已被广泛研究。这些控制器，特别是 P、PD、PI 和 PID 控制器在物理系统的生产中非常常见，但正如我们将看到的那样，它们各自都存在一些缺陷。

比例控制器

比例控制器只是增益值。它们本质上是乘法系数，通常用K表示。P 控制器只能将系统极点强制到系统根轨迹上的某个点。P 控制器不能用于任意极点配置。

我们将这种类型的控制器称为不同的名称：比例控制器、增益和零阶控制器。

微分控制器

在拉普拉斯域中，我们可以使用以下符号表示信号的导数

D(s)={\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)-f(0)

由于我们正在考虑的大多数系统都具有零初始条件，因此简化为

D(s)={\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)

实施微分控制器是为了考虑未来的值，通过求导数，并根据信号在未来的走向进行控制。微分控制器应该谨慎使用，因为即使是少量的高频噪声也会导致非常大的导数，就像放大了的噪声一样。此外，在硬件或软件中完美地实现微分控制器很困难，因此通常优先考虑仅使用积分控制器或比例控制器的解决方案，而不是使用微分控制器。

请注意，微分控制器不是真系统的，因为系统的分子阶数大于系统的分母阶数。这种非真系统的特性也使得对这些系统进行某些数学分析变得困难。

Z 域微分

我们不会在此推导出这个等式，但可以说，Z 域中的以下等式执行与拉普拉斯域导数相同的函数

D(z)={\frac {z-1}{Tz}}

其中 T 是信号的采样时间。

积分控制器

要在拉普拉斯域传递函数中实施积分，我们使用以下内容

{\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(t)\,dt\right\}={1 \over s}F(s)

这种类型的积分控制器累加过去时间的曲线下面积。通过这种方式，PI 控制器（最终是 PID）可以考虑控制器的过去性能，并根据过去的误差进行校正。

Z 域积分

可以使用以下等式在 Z 域中实现积分控制器

D(z)={\frac {z+1}{z-1}}

PID 控制器

PID 控制器是比例 (P)、微分 (D) 和积分 (I) 控制器的组合。因此，PID 控制器具有很大的灵活性。我们将在下面看到 PID 控制存在明显的局限性。

PID 传递函数

标准 PID 控制器的传递函数是比例、积分和微分控制器传递函数的总和（因此得名 PID）。此外，我们为每个项赋予一个增益常数，以控制每个因素对最终输出的影响权重。

[PID]

D(s)=K_{p}+{K_{i} \over s}+K_{d}s

请注意，我们可以用稍微不同的方式写出 PID 控制器的传递函数。

D(s)={\frac {A_{0}+A_{1}s}{B_{0}+B_{1}s}}

当我们讨论多项式设计时，这种形式的方程将特别有用。

PID 信号流图

Signal flow diagram for a PID controller — PID 控制器的信号流图

PID 调节

选择各种系数值以使 PID 控制器正常运行的过程称为 **PID 调节**。有多种方法可以确定这些值：^[1]

1) 直接合成 (DS) 方法

2) 内部模型控制 (IMC) 方法

3) 控制器调节关系

4) 频率响应技术

5) 计算机仿真

6) 控制系统安装后的在线调节

7) 试错

注释

↑ Seborg, Dale E.; Edgar, Thomas F.; Mellichamp, Duncan A. (2003). Process Dynamics and Control, Second Edition. John Wiley & Sons,Inc. ISBN 0471000779

数字 PID

在 Z 域中，PID 控制器具有以下传递函数

[数字 PID]

D(z)=K_{p}+K_{i}{\frac {T}{2}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]+K_{d}\left[{\frac {z-1}{Tz}}\right]

我们可以通过操作上述方程来将其转换为规范方程，得到

D(z)={\frac {a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}}{1+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}}}

其中

a_{0}=K_{p}+{\frac {K_{i}T}{2}}+{\frac {K_{d}}{T}}

a_{1}=-K_{p}+{\frac {K_{i}T}{2}}+{\frac {-2K_{d}}{T}}

a_{2}={\frac {K_{d}}{T}}

b_{1}=-1

b_{2}=0

一旦我们有了 PID 控制器在 Z 域的传递函数，我们就可以把它转换成数字时间域

y[n]=x[n]a_{0}+x[n-1]a_{1}+x[n-2]a_{2}-y[n-1]b_{1}-y[n-2]b_{2}

最后，从这个差分方程，我们可以创建一个数字滤波器结构来实现 PID。

Bang-Bang 控制器

尽管 Bang-Bang 控制器这个名字听起来很土，但它是一个非常有用的工具，只有使用数字方法才能真正实现。Bang-Bang 控制器更准确的名字可能是开/关控制器，其中一个数字系统根据目标值和阈值做出决策，并决定是否打开或关闭控制器。Bang-Bang 控制器是一种非线性控制方式。

以家用炉子为例。炉子中的油在特定温度下燃烧——它不能燃烧得更热或更冷。因此，要控制你房子里的温度，恒温器控制单元决定何时打开炉子，何时关闭炉子。这种开/关控制方案就是 Bang-Bang 控制器。

补偿

有许多不同的补偿单元可以用来帮助修复某些超出正常工作范围的系统指标。最常见的是需要补偿相位特性，尤其是在幅频响应需要保持不变的情况下。有四种主要的补偿类型：1. 超前补偿 2. 滞后补偿 3. 超前-滞后补偿 4. 滞后-超前补偿

相位补偿

有时，需要改变给定系统的相位特性，而不改变幅度特性。要做到这一点，我们需要以改变相位响应但不改变幅度响应的方式改变频率响应。为此，我们实现了一种特殊类型的控制器，称为相位补偿器。它们被称为补偿器，因为它们有助于改善系统的相位响应。

补偿器主要有两种类型：超前补偿器和滞后补偿器。如果我们将两种类型组合在一起，就可以得到一个特殊的滞后-超前补偿器系统。（滞后-超前系统在实践中不可实现）。

在设计和实现相位补偿器时，重要的是要分析对系统增益裕度和相位裕度的影响，以确保补偿不会导致系统变得不稳定。相位超前补偿：- 1 它与在开环传递函数中增加零相同，因为从零极点观点来看，零比极点更接近原点，因此零的影响占主导地位。

相位超前

超前补偿器的传递函数如下

[超前补偿器]

T_{lead}(s)={\frac {s-z}{s-p}}

为了使补偿器正常工作，必须满足以下属性

|z|<|p|

并且极点和零点的位置都应该靠近原点，位于左半平面。因为只有一个极点和一个零点，所以它们都应该位于实轴上。

相位超前补偿器有助于将传递函数的极点移向左侧，这对稳定性很有利。

相位滞后

滞后补偿器的传递函数与超前补偿器相同，如下所示

[滞后补偿器]

T_{lag}(s)={\frac {s-z}{s-p}}

然而，在滞后补偿器中，极点和零点的位置应该互换

|p|<|z|

极点和零点都应该靠近原点，位于实轴上。

相位滞后补偿器有助于改善系统的稳态误差。滞后补偿器的极点应该非常接近，以防止系统的极点向右移动，从而降低系统稳定性。

相位滞后-超前

维基百科在 滞后-超前补偿器 中有相关信息。

滞后-超前补偿器的传递函数只是超前和滞后补偿器传递函数的乘积，表示为

[滞后-超前补偿器]

T_{Lag-lead}(s)={\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})}{(s-p_{1})(s-p_{2})}}.

通常，以下关系必须成立

|p_{1}|>|z_{1}|>|z_{2}|>|p_{2}|

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外部链接

[1] Seborg, Dale E.; Edgar, Thomas F.; Mellichamp, Duncan A. (2003). Process Dynamics and Control, Second Edition. John Wiley & Sons,Inc. ISBN 0471000779

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