控制系统/控制器和补偿器

控制器

有许多不同的标准类型的控制系统已被广泛研究。这些控制器，特别是 P、PD、PI 和 PID 控制器，在物理系统的生产中非常普遍，但正如我们将看到的，它们各自都存在一些缺点。

比例控制器

比例控制器框图

比例控制器只是增益值。这些本质上是乘法系数，通常用 *K* 表示。P 控制器只能将系统极点强制到系统根轨迹上的一个点。P 控制器不能用于任意极点配置。

我们用许多不同的名称来指代这种控制器：比例控制器、增益和零阶控制器。

微分控制器

比例微分控制器框图

在拉普拉斯域中，我们可以使用以下符号表示信号的微分

$D(s)={\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)-f(0)$

由于我们正在考虑的大多数系统都具有零初始条件，因此它简化为

$D(s)={\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=sF(s)$

微分控制器用于考虑未来的值，通过取微分，并根据信号在未来的走向进行控制。应谨慎使用微分控制器，因为即使少量的高频噪声也会导致非常大的微分，表现为放大的噪声。此外，微分控制器很难在硬件或软件中完美实现，因此通常情况下，仅包含积分控制器或比例控制器的解决方案比使用微分控制器更受青睐。

请注意，微分控制器不是适当的系统，因为系统的分子阶数大于系统的分母阶数。这种非适当系统的特性也使得对这些系统进行某些数学分析变得困难。

Z 域微分

我们不会在这里推导出这个公式，但可以肯定地说，Z 域中的以下公式执行与拉普拉斯域微分相同的函数

$D(z)={\frac {z-1}{Tz}}$

其中 T 是信号的采样时间。

积分控制器

比例积分控制器框图

要在拉普拉斯域传递函数中实现积分，我们使用以下公式

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(t)\,dt\right\}={1 \over s}F(s)$

这种类型的积分控制器将过去时间的曲线下的面积加起来。通过这种方式，PI 控制器（以及最终的 PID）可以考虑控制器的过去性能，并根据过去的误差进行校正。

Z 域积分

可以使用以下公式在 Z 域中实现积分控制器

$D(z)={\frac {z+1}{z-1}}$

PID 控制器

PID 控制器的框图

PID 控制器是比例、微分和积分控制器的组合。因此，PID 控制器具有很高的灵活性。我们将在下面看到 PID 控制有一些明确的限制。

PID 传递函数

标准 PID 控制器的传递函数是比例、积分和微分控制器传递函数的加和（因此得名 PID）。此外，我们为每一项赋予一个增益常数，以控制每个因素对最终输出的权重。

[PID]

$D(s)=K_{p}+{K_{i} \over s}+K_{d}s$

请注意，我们可以用稍微不同的方式写出 PID 控制器的传递函数。

$D(s)={\frac {A_{0}+A_{1}s}{B_{0}+B_{1}s}}$

当我们研究多项式设计时，这种形式的方程式将特别有用。

PID 信号流图

PID 控制器的信号流图

PID 调节

选择各种系数值以使 PID 控制器正常工作称为 **PID 调节**。有许多不同的方法可以确定这些值：

1) 直接合成 (DS) 法

2) 内部模型控制 (IMC) 法

3) 控制器调节关系

4) 频率响应技术

5) 计算机仿真

6) 控制系统安装后的在线调节

7) 试错法

注释

数字 PID

在 Z 域中，PID 控制器具有以下传递函数

[数字 PID]

$D(z)=K_{p}+K_{i}{\frac {T}{2}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]+K_{d}\left[{\frac {z-1}{Tz}}\right]$

我们可以通过对上述方程进行操作来将其转换为规范方程，得到

$D(z)={\frac {a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}}{1+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}}}$

其中

$a_{0}=K_{p}+{\frac {K_{i}T}{2}}+{\frac {K_{d}}{T}}$

$a_{1}=-K_{p}+{\frac {K_{i}T}{2}}+{\frac {-2K_{d}}{T}}$

$a_{2}={\frac {K_{d}}{T}}$

$b_{1}=-1$

$b_{2}=0$

一旦我们获得了 PID 控制器在 Z 域的传递函数，就可以将其转换为数字时间域

$y[n]=x[n]a_{0}+x[n-1]a_{1}+x[n-2]a_{2}-y[n-1]b_{1}-y[n-2]b_{2}$

最后，从这个差分方程，我们可以创建一个数字滤波器结构来实现 PID。

Bang-Bang 控制器

尽管 Bang-Bang 控制器听起来很低级，但它是一种非常有用的工具，实际上只有通过数字方法才能实现。也许一个更好的 Bang-Bang 控制器名称是开/关控制器，其中一个数字系统根据目标值和阈值做出决策，并决定是否打开或关闭控制器。Bang-Bang 控制器是一种非线性控制方式。

以家用炉子为例。炉子里的油在特定温度下燃烧——它不能燃烧得更热或更冷。为了控制您家里的温度，恒温器控制单元决定何时打开炉子，何时关闭炉子。这种开/关控制方案就是一个 Bang-Bang 控制器。

补偿

可以使用许多不同的补偿单元来帮助修复某些超出正常工作范围的系统指标。最常见的是，相位特性需要补偿，尤其是如果幅度响应需要保持恒定。主要有四种类型的补偿 1. 超前补偿 2. 滞后补偿 3. 超前滞后补偿 4. 滞后超前补偿

相位补偿

有时，需要改变给定系统的相位特性，而无需改变幅度特性。为此，我们需要以一种改变相位响应但不会改变幅度响应的方式改变频率响应。为此，我们实施了一种特殊类型的控制器，称为相位补偿器。它们被称为补偿器，因为它们有助于改善系统的相位响应。

补偿器主要有两种类型：超前补偿器和滞后补偿器。如果我们将两种类型组合起来，我们可以得到一个特殊的滞后超前补偿器系统。（滞后超前系统在实践中不可实现）。

在设计和实现相位补偿器时，重要的是要分析对系统增益和相位裕度的影响，以确保补偿不会导致系统变得不稳定。相位超前补偿：- 1 它与在开环传递函数中添加零相同，因为从零极点角度来看，零比极点更靠近原点，因此零的影响占主导地位。

相位超前

超前补偿器的传递函数如下

[超前补偿器]

$T_{lead}(s)={\frac {s-z}{s-p}}$

为了使补偿器正常工作，必须满足以下属性

$|z|<|p|$

并且极点和零点的位置都应该靠近原点，位于左半平面。因为只有一个极点和一个零点，所以它们都应该位于实轴上。

相位超前补偿器有助于将传递函数的极点移向左侧，这对稳定性很有利。

相位滞后

滞后补偿器的传递函数与超前补偿器相同，如下所示

[滞后补偿器]

$T_{lag}(s)={\frac {s-z}{s-p}}$

但是，在滞后补偿器中，极点和零点的位置应该互换

$|p|<|z|$

极点和零点都应该靠近原点，位于实轴上。

相位滞后补偿器有助于改善系统的稳态误差。滞后补偿器的极点应该非常靠近，以帮助防止系统的极点向右移动，从而降低系统稳定性。

相位滞后超前

滞后-超前补偿器 的传递函数只是超前补偿器和滞后补偿器传递函数的乘积，表示如下：

[滞后-超前补偿器]

$T_{Lag-lead}(s)={\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})}{(s-p_{1})(s-p_{2})}}.$

通常，以下关系必须成立：

$|p_{1}|>|z_{1}|>|z_{2}|>|p_{2}|$

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外部链接

• ControlTheoryPro.com 上的标准控制器形式
• ControlTheoryPro.com 上的 PID 控制
• ControlTheoryPro.com 上的 PI 控制