与单输入单输出系统相比，多输入多输出系统的控制律设计更加广泛，因为额外的输入 ( $q>1$ ) 提供了更多选择，例如定义特征向量或处理输入的活动。这也意味着闭环系统一组期望特征值的反馈矩阵 *K* 是**不唯一的**。所有提出的方法都有优点、缺点和某些限制。这意味着并非所有方法都适用于所有可能的系统，重要的是要检查哪种方法可以应用于自己考虑的问题。

参数状态反馈

可以通过参数状态反馈 (德语： *vollständige modale Synthese*) 找到反馈矩阵 *K* 的一个简单方法。一个多输入多输出系统

{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)

输入向量为

u(t)=(u_{1}(t),u_{2}(t),\cdots ,u_{q}(t))=-K~x(t)

输入矩阵 $B\in \mathbb {R} ^{p\times q}$ 和反馈矩阵 $K\in \mathbb {R} ^{q\times p}$ 。闭环系统的特征值问题

{\dot {x}}(t)=(A-B~K)~x(t)=A_{CL}~x(t)

表示为

A_{CL}~{\tilde {v}}_{i}=(A-B~K)~{\tilde {v}}_{i}={\tilde {\lambda }}_{i}~{\tilde {v}}_{i}

其中， ${\tilde {\lambda }}_{i}\in \mathbb {C}$ 表示指定的特征值，而 ${\tilde {v}}_{i}\in \mathbb {C} ^{p}$ 表示闭环系统的特征向量。接下来，引入新的参数向量 $\phi _{i}=K{\tilde {v}}_{i}$ 并进行分配，特征值问题被重新表述为

[1]

B~K~{\tilde {v}}_{i}=B~\phi _{i}=(A-{\tilde {\lambda }}_{i}~I)~{\tilde {v}}_{i}.

控制器综合

1. 从公式 [1] 中，我们可以定义特征向量为

{\tilde {v}}_{i}=(A-{\tilde {\lambda }}_{i}~I)^{-1}~B~\phi _{i}

2. 将新的参数向量 $\phi _{i}$ 连接起来，得到

\Phi =[\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{p}]=K[{\tilde {v}}_{1},{\tilde {v}}_{2},\cdots ,{\tilde {v}}_{p}],

其中，反馈矩阵 K 可以表示为

K=\Phi ~[{\tilde {v}}_{1},{\tilde {v}}_{2},\cdots ,{\tilde {v}}_{p}]^{-1}.

3. 最后，利用特征向量定义，可以得到反馈矩阵的完整描述

K=[\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{p}]~[(A-{\tilde {\lambda }}_{1}~I)^{-1}~B~\phi _{1},\cdots ,(A-{\tilde {\lambda }}_{p}~I)^{-1}~B~\phi _{p}]^{-1}.

参数向量可以任意定义，但必须线性无关。

备注

该方法适用于非二次 B 矩阵。
参数向量 $\phi _{i}$ 可以任意选择。

示例

考虑动态系统

{\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&1\\4&3\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}{x}_{1}(t)\\{x}_{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\end{bmatrix}}

由于正特征值 $\lambda _{i}\in \{1,5\}$ ，该系统是不稳定的。应找到一个反馈矩阵 *K*，以实现具有特征值 ${\tilde {\lambda }}_{1}=-4,{\tilde {\lambda }}_{2}=-2$ 的稳定闭环系统。

1. 参数向量定义为 $\phi _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ 和 $\phi _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

2. 产生的特征向量是

{\tilde {v}}_{1}=(A-{\tilde {\lambda }}_{1}~I)^{-1}~B~\phi _{1}=\left({\begin{bmatrix}3&1\\4&3\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}-4&0\\0&-4\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}0.09\\0.38\end{bmatrix}}

和

{\tilde {v}}_{2}=(A-{\tilde {\lambda }}_{2}~I)^{-1}~B~\phi _{2}=\left({\begin{bmatrix}3&1\\4&3\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}-2&0\\0&-2\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}0.29\\0.57\end{bmatrix}}.

3. 反馈矩阵使用以下公式计算

K=[\phi _{1},\phi _{2}]~[(A-{\tilde {\lambda }}_{1}~I)^{-1}~B~\phi _{1},(A-{\tilde {\lambda }}_{2}~I)^{-1}~B~\phi _{2}]^{-1}\approx {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}0.09&0.29\\0.38&0.57\end{bmatrix}}^{-1}\approx {\begin{bmatrix}-9.68&4.92\\6.45&-1.53\end{bmatrix}}.

更精确的舍入会导致一个反馈矩阵

K={\begin{bmatrix}-10&5\\6.6{\overline {1}}&-1.5{\overline {5}}\end{bmatrix}}

奇异值分解和对角化

如果系统状态矩阵 $A\in \mathbb {R} ^{p\times p}$

{\dot {x}}(t)=A~x(t)+B~u(t)

可对角化，这意味着特征值的个数和特征向量的个数相等，那么变换

x=M~x_{M}

可用于得出

M~{\dot {x}}_{M}(t)=AM~x_{M}(t)+B~u(t)

以及

{\dot {x}}_{M}(t)=M^{-1}AM~x_{M}(t)+M^{-1}~B~u(t).

变换矩阵 *M* 包含特征向量 $v_{i}\in \mathbb {C} ^{p}$ 如下：

M=[v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p}]

这导致了一个新的对角状态矩阵

A_{M}=M^{-1}~A~M={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{p}\end{bmatrix}}

由特征值组成 $\lambda _{i}\in \mathbb {C}$ ，以及新的输入

u_{M}(t)=M^{-1}~B~u(t)={\begin{bmatrix}u_{M,1}\\u_{M,2}\\\cdots \\u_{M,p}\end{bmatrix}}.

针对新的输入 $u_{M}$ ，控制律设计为

u_{M}(t)=-K_{M}x_{M}(t)=-{\begin{bmatrix}K_{M,1}\\&K_{M,2}\\&&\ddots \\&&&K_{M,p}\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}x_{M,1}(t)\\x_{M,2}(t)\\\cdots \\x_{M,p}(t)\end{bmatrix}}

闭环系统在新坐标系下的表达式为

{\dot {x}}_{M}(t)=A_{M}~x_{M}(t)+u_{M}(t)=(A_{M}-K_{M})~x_{M}(t)={\begin{bmatrix}\lambda _{1}-K_{M,1}\\&\lambda _{2}-K_{M,2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{p}-K_{M,p}\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}x_{M,1}(t)\\x_{M,2}(t)\\\cdots \\x_{M,p}(t)\end{bmatrix}}

反馈矩阵 $K_{M}$ 可以用于直接影响或改变每个特征值。

最后一步，将新的输入变换回原始坐标系，得到原始反馈矩阵 *K*。新的输入定义为

u_{M}(t)=M^{-1}~B~u(t)

和

u_{M}(t)=-K_{M}~x_{M}(t)=-K_{M}~M^{-1}~x(t).

从这些公式中可以得到如下恒等式：

M^{-1}~B~u(t)=-K_{M}~M^{-1}~x(t)

以及

u(t)=-B^{-1}~M~K_{M}~M^{-1}~x(t)=-K~x(t).

因此，反馈矩阵可以表示为

K=B^{-1}~M~K_{M}~M^{-1}.

要求

该控制器设计仅在以下要求得到满足的情况下适用。

状态矩阵 *A* 是可对角化的。
状态数和输入数相等 $p=q$ .
输入矩阵 $B\in \mathbb {R} ^{p\times p}$ 是可逆的。

示例

考虑动态系统

{\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}{x}_{1}(t)\\{x}_{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\end{bmatrix}}

由于正特征值 $\lambda _{i}\in \{1,3\}$ ，该系统是不稳定的。特征向量为

{\tilde {v}}_{1}={\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}

和

{\tilde {v}}_{2}={\begin{bmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}.

因此，变换矩阵可以记为

M={\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}

新坐标系下的状态矩阵可推导出为：

A_{M}=M^{-1}~A~M={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}}.

闭环系统所需的特征值为 ${\tilde {\lambda }}_{1}=-5$ 和 ${\tilde {\lambda }}_{2}=-1$ ，因此反馈矩阵可通过以下公式求得：

\lambda _{1}-K_{M,1}=1-K_{M,1}={\tilde {\lambda }}_{1}=-5\quad \Rightarrow K_{M,1}=1+5=6

和

\lambda _{2}-K_{M,2}=3-K_{M,1}={\tilde {\lambda }}_{2}=-1\quad \Rightarrow K_{M,2}=3+1=4

因此，可得：

K_{M}={\begin{bmatrix}6&0\\0&4\\\end{bmatrix}}.

最后，原坐标系下的反馈矩阵可通过以下公式计算：

K=B^{-1}~M~K_{M}~M^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}^{-1}~{\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}6&0\\0&4\\\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}-7&11\\11&-7\\\end{bmatrix}}.

西尔维斯特方程

该方法取自在线资源

KU Leuven: 第三章：状态反馈 - 极点配置 (PDF, 308,5 kB) （不再存在）.
类似资源: 第四章极点配置 (PDF, 269,3 kB) by Zsófia Lendek

考虑闭环系统

{\dot {x}}(t)=A~x(t)+B~u(t)=(A-B~K)~x(t)=A_{CL}~x(t)

其中输入为 $u(t)=-K~x(t)$ ，闭环状态矩阵为 $A_{CL}=A-B~K$ 。期望的闭环特征值为 ${\tilde {\lambda }}_{i}\in \mathbb {C}$ 可以选择实数或复数，形式为 ${\tilde {\lambda }}_{i}=\alpha _{i}\pm j\beta _{i}$ ，期望特征值的矩阵记为