控制系统/实现

实现

实现是指将系统的数学模型（在拉普拉斯域或状态空间域）转换为物理系统。有些系统不可实现。

需要牢记的一点是，拉普拉斯域表示和状态空间表示是等效的，并且两种表示都描述相同的物理系统。因此，我们需要一种方法在两种表示之间进行转换，因为每种表示都非常适合特定的分析方法。

例如，在将系统设计从绘图板转移到已构建的物理设备时，状态空间表示更可取。因此，我们将从拉普拉斯表示到状态空间表示的转换过程称为“实现”。

实现条件

注意
如果满足这些条件，离散系统G(z)也可以实现。

• 传递函数G(s)是可实现的，当且仅当该系统可以用有限维状态空间方程描述。
• (A B C D)，四个系统矩阵的有序集合，称为系统G(s)的实现。如果系统可以表示为这样一个有序四元组，则该系统是可实现的。
• 系统G是可实现的，当且仅当传递矩阵G(s) 是一个适当的有理矩阵。换句话说，矩阵G(s) 中的每个条目（对于 SISO 系统仅为 1）都是一个有理多项式，并且如果分母的次数大于或等于分子的次数。

我们已经涵盖了实现 SISO 系统的方法，本章的其余部分将讨论实现 MIMO 系统的一般方法。

实现传递矩阵

我们可以将传递矩阵G(s) 分解为一个严格适当的传递矩阵

$\mathbf {G} (s)=\mathbf {G} (\infty )+\mathbf {G} _{sp}(s)$

其中 G_sp(s) 是一个严格适当的传递矩阵。此外，我们可以用它来找到我们D 矩阵的值

$D=\mathbf {G} (\infty )$

我们可以将d(s) 定义为G(s) 中所有条目的最小公分母多项式

记住，q 是输入的数量，p 是内部系统状态的数量，r 是输出的数量。

$d(s)=s^{r}+a_{1}s^{r-1}+\cdots +a_{r-1}s+a_{r}$

然后我们可以将G_sp 定义为

$\mathbf {G} _{sp}(s)={\frac {1}{d(s)}}N(s)$

其中

$N(s)=N_{1}s^{r-1}+\cdots +N_{r-1}s+N_{r}$

并且N_i 是p × q 常数矩阵。

如果我们记得将传递函数转换为状态空间方程的方法，我们可以遵循相同的通用方法，除了新的矩阵A 将是一个块矩阵，其中每个块的大小与传递矩阵的大小相同

$A={\begin{bmatrix}-a_{1}I_{p}&-a_{2}I_{p}&\cdots &-a_{r-1}I_{p}&-a_{r}I_{p}\\I_{p}&0&\cdots &0&0\\0&I_{p}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &I_{p}&0\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}I_{p}\\0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}N_{1}&N_{2}&N_{3}&\cdots &Nr\end{bmatrix}}$

按列实现系统

我们可以将 **G(s)** 分成多个列，分别实现它们，然后再将它们组合起来，形成 **G(s)**

$G(s)={\begin{bmatrix}G_{1}&G_{2}&G_{3}&\dots &G_{n}\end{bmatrix}}$

其中我们实现它们，得到

$G_{i}=>(A_{i},B_{i},C_{i},D_{i})$

系统的实现将是

$A={\begin{bmatrix}A_{1}&0&0&\dots &0\\0&A_{2}&0&&\vdots \\0&0&A_{3}\\\vdots &&&\ddots &0\\0&0&0&\dots &A_{n}\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}B_{1}&0&0&\dots &0\\0&B_{2}&0&&\vdots \\0&0&B_{3}\\\vdots &&&\ddots &0\\0&0&0&\dots &B_{n}\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}C_{1}&C_{2}&C_{3}&\dots &C_{n}\end{bmatrix}}$

$D={\begin{bmatrix}D_{1}&D_{2}&D_{3}&\dots &D_{n}\end{bmatrix}}$

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