控制系统/MIMO 系统

多输入多输出

具有多个输入和/或多个输出的系统被称为多输入多输出系统，或简称为MIMO系统。 这与只具有单个输入和单个输出 (SISO) 的系统形成对比，例如我们之前讨论过的系统。

状态空间表示

如果本页中的符号令你感到困惑，请参阅引言中的格式部分。

集中式和线性 MIMO 系统可以用状态空间方程轻松描述。为了表示多个输入，我们将输入 u(t) 展开为一个具有所需输入数量的向量 U(t)。类似地，为了表示具有多个输出的系统，我们将 y(t) 展开为 Y(t)，它是一个包含所有输出的向量。为了使这种方法起作用，输出必须线性依赖于输入向量和状态向量。

$X'(t)=AX(t)+BU(t)$

$Y(t)=CX(t)+DU(t)$

示例：两个输入和两个输出

假设我们有两个输出 y₁ 和 y₂，以及两个输入 u₁ 和 u₂。它们在我们的系统中通过以下微分方程组相关联

$y_{1}''+a_{1}y_{1}'+a_{0}(y_{1}+y_{2})=u_{1}(t)$

$y_{2}'+a_{2}(y_{2}-y_{1})=u_{2}(t)$

现在，我们可以这样分配状态变量，并生成一阶微分方程

$x_{1}=y_{1}$

$x_{4}=y_{2}$

$x_{1}'=y_{1}'=x_{2}$

$x_{2}'=-a_{1}x_{2}-a_{0}(x_{1}+x_{4})+u_{1}(t)$

$x_{3}'=x_{4}$

$x_{4}'=-a_{2}(x_{4}-x_{1})+u_{2}(t)$

最后，我们可以将状态空间方程组合起来

$x'={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-a_{0}&-a_{1}&0&-a_{0}\\0&0&0&1\\a_{2}&0&0&-a_{2}\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}x(t)$

传递函数矩阵

如果系统是 LTI 且集中参数，我们可以对状态空间方程进行拉普拉斯变换，如下所示

${\mathcal {L}}[X'(t)]={\mathcal {L}}[AX(t)]+{\mathcal {L}}[BU(t)]$

${\mathcal {L}}[Y(t)]={\mathcal {L}}[CX(t)]+{\mathcal {L}}[DU(t)]$

这给我们带来了结果

$s\mathbf {X} (s)-X(0)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)$

$\mathbf {Y} (s)=C\mathbf {X} (s)+D\mathbf {U} (s)$

其中 X(0) 是系统状态向量在时域中的初始条件。如果系统是松弛的，我们可以忽略这一项，但为了完整起见，我们将继续推导它。

我们可以将状态方程中的变量分离如下

$s\mathbf {X} (s)-A\mathbf {X} (s)=X(0)+B\mathbf {U} (s)$

然后分解出一个X(s)

$\mathbf {[} sI-A]{X}(s)=X(0)+B\mathbf {U} (s)$

然后我们可以将两边乘以[sI - A] 的逆矩阵，得到状态方程

$\mathbf {X} (s)=[sI-A]^{-1}X(0)+[sI-A]^{-1}B\mathbf {U} (s)$

现在，如果我们将此值代入我们上面给出的输出方程，我们将得到一个更复杂的方程

$\mathbf {Y} (s)=C([sI-A]^{-1}X(0)+[sI-A]^{-1}B\mathbf {U} (s))+D\mathbf {U} (s)$

我们可以将矩阵C分配进去，得到我们的答案

$\mathbf {Y} (s)=C[sI-A]^{-1}X(0)+C[sI-A]^{-1}B\mathbf {U} (s)+D\mathbf {U} (s)$

现在，如果系统是松弛的，因此X(0)为0，这个方程的第一项就变为0。在这种情况下，我们可以从剩下的两项中提取一个U(s)

$\mathbf {Y} (s)=(C[sI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (s)$

我们可以进行以下替换，得到传递函数矩阵，或者更简单的说，传递矩阵，H(s)

[传递矩阵]

$C[sI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (s)$

并根据传递矩阵将输出方程改写如下

[传递矩阵描述]

$\mathbf {Y} (s)=\mathbf {H} (s)\mathbf {U} (s)$

如果Y(s)和X(s)是1 × 1向量（SISO 系统），那么我们就有了外部描述

$Y(s)=H(s)X(s)$

现在，由于X(s) = X(s)，以及Y(s) = Y(s)，那么H(s)必须等于H(s)。这些只是描述相同方程、相同系统的两种不同方式。

维度

如果我们的系统有q个输入和r个输出，那么我们的传递函数矩阵将是一个r × q矩阵。

与传递函数的关系

对于SISO 系统，传递函数矩阵将简化为传递函数，这可以通过对系统响应方程进行拉普拉斯变换得到。

对于 MIMO 系统，有n个输入和m个输出，传递函数矩阵将包含n × m个传递函数，其中每个条目都是每个单独输入和每个单独输出之间的传递函数关系。

通过对传递函数矩阵的推导，我们证明了拉普拉斯方法和状态空间方法在表示系统方面的等效性。此外，我们还展示了拉普拉斯方法如何可以推广以解决 MIMO 系统。在本解释的其余部分，我们将交替使用拉普拉斯方法和状态空间方法，选择在适当的时候使用其中一种方法。

零状态和零输入

如果我们有上面给出的完整的系统响应方程

$\mathbf {Y} (s)=C[sI-A]^{-1}\mathbf {x} (0)+(C[sI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (s)$

我们可以将其分成两个独立的部分

• $C[sI-A]^{-1}X(0)$零输入响应。
• $(C[sI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (s)$ 零状态响应。

之所以这样命名，是因为如果系统没有输入（零输入），则输出是系统对初始系统状态的响应。如果系统没有状态，则输出是系统对系统输入的响应。完整的响应是无输入系统的响应和无状态的输入的响应之和。

离散 MIMO 系统

在离散情况下，我们最终得到类似的方程，只是X(0) 初始条件项前多了z 变量。

$\mathbf {X} (z)=[zI-A]^{-1}zX(0)+[zI-A]^{-1}B\mathbf {U} (z)$

$\mathbf {Y} (z)=C[zI-A]^{-1}zX(0)+C[zI-A]^{-1}B\mathbf {U} (z)+D\mathbf {U} (z)$

如果X(0) 为零，该项就会消失，我们也可以在 Z 域中推导出传递函数矩阵。

$\mathbf {Y} (z)=(C[zI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (z)$

[传递矩阵]

$C[zI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (z)$

[传递矩阵描述]

$\mathbf {Y} (z)=\mathbf {H} (z)\mathbf {U} (z)$

示例：脉冲响应

对于数字系统，通常建议从状态空间方程编写脉冲响应方程。

$x[k+1]=Ax[k]+Bu[k]$

$y[k]=Cx[k]+Du[k]$

我们可以使用系数矩阵A、B、C 和D 将这两个方程合并成一个差分方程。为此，我们找到系统输出向量Y[n] 与系统输入向量U[n] 之比。

${\frac {Y(z)}{U(z)}}=H(z)=C(zI-A)^{-1}B+D$

因此，数字系统的系统响应可以通过脉冲响应方程得到，方法是

$Y(z)=H(z)U(z)$

我们可以通过以下 Z 变换将U(z) 设置为阶跃输入。

$u(t)\Leftrightarrow U(z)={\frac {z}{z-1}}$

将此代入我们的脉冲响应，我们得到阶跃响应。

$Y(z)=(C(zI-A)^{-1}B+D)\left({\frac {z}{z-1}}\right)$

$\mathbf {Y} (z)=\mathbf {H} (z)\left({\frac {z}{z-1}}\right)$

控制器设计

MIMO 系统的控制器设计比 SISO 系统更广泛，也更复杂。Ackermann 公式，SISO 系统典型的全状态反馈设计，不能用于 MIMO 系统，因为额外的输入会导致一个超定系统。这意味着，在 MIMO 系统的情况下，反馈矩阵K是**不唯一的**。

控制器设计的几种方法在MIMO 系统的特征值分配一节中介绍。

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