控制系统/矩阵运算

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线性代数
和
工程分析

矩阵代数定律

矩阵必须是兼容的大小才能使运算有效

加法

矩阵必须具有相同的维度（相同行数，相同列数）。矩阵加法是可交换的

$A+B=B+A$

乘法

矩阵必须具有相同的内部维度（第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数）。例如，如果矩阵 A 为 n × m，矩阵 B 为 m × k，那么我们可以乘以

$AB=C$

其中 C 为 n × k 矩阵。矩阵乘法不可交换

$AB\neq BA$

由于不可交换，必须区分“左乘”和“右乘”。

除法

在矩阵代数中没有除法，尽管乘以矩阵的逆矩阵执行相同的基本功能。要找到逆矩阵，矩阵必须是非奇异的，并且必须具有非零行列式。

转置矩阵

矩阵的转置，用

$X^{T}$

表示，是将 X 的行和列互换得到的矩阵。在某些情况下，矩阵的转置用

$X'$

表示。当在单个等式中对大量矩阵使用上标 T 时，这种简写表示法会使用，否则表示法会变得过于拥挤。当本书中使用这种表示法时，导数将用

${\frac {d}{dt}}X(t)$

行列式

矩阵的行列式是一个标量值。它类似于标量的绝对值

$|X|$

如果矩阵是方阵，并且矩阵的行列式不为零，则矩阵具有逆矩阵。

逆矩阵

矩阵 A 的逆矩阵，我们在这里用“B”表示，是任何满足以下等式的矩阵

$AB=BA=I$

具有这种伴随矩阵的矩阵被称为“可逆矩阵”或“非奇异矩阵”。没有满足此等式的逆矩阵的矩阵称为“奇异矩阵”或“不可逆矩阵”。

逆矩阵可以用多种不同的方法计算

1. 将矩阵 A 与相同大小的单位矩阵拼接。使用行变换使矩阵的左侧成为单位矩阵。拼接矩阵的右侧将是逆矩阵

   $[A|I]\to [I|B]$

2. 逆矩阵由伴随矩阵除以行列式给出。伴随矩阵是伴随矩阵的转置。

   $A^{-1}={\frac {\operatorname {adj} (A)}{|A|}}$

3. 逆矩阵可以从凯莱-哈密尔顿定理计算。

特征值

矩阵的特征值，用希腊字母 lambda λ 表示，是矩阵特征方程的解

$|X-\lambda I|=0$

特征值仅存在于方阵中。非方阵没有特征值。如果矩阵 X 是实矩阵，特征值将全部为实数，或者将存在复共轭对。

特征向量

矩阵的特征向量是特征方程的零空间解

$(X-\lambda _{i}I)v_{i}=0$

对于每个不同的特征值，至少存在一个不同的特征向量。特征向量的倍数也是特征向量。然而，线性无关的特征值被称为“非不同”特征向量，可以忽略。

左特征向量

左特征向量是特征方程的右手零空间解

$w_{i}(A-\lambda _{i}I)=0$

这些也是逆转换矩阵的行。

广义特征向量

在重复特征值的情况下，可能不存在与这些特征值相关的完整的一组 *n* 个不同特征向量（右或左特征向量）。广义特征向量可以按如下方式生成

$(A-\lambda I)v_{n+1}=v_{n}$

由于广义特征向量是相对于另一个特征向量或广义特征向量形成的，因此它们构成一个有序集，并且不应该在该顺序之外使用。

变换矩阵

变换矩阵是所有特征向量或广义特征向量有序集的矩阵

$T=[v_{1}v_{2}\cdots v_{n}]$

逆转换矩阵是左特征向量的矩阵

$T^{-1}={\begin{bmatrix}w_{1}'\\w_{2}'\\\cdots \\w_{n}'\end{bmatrix}}$

通过乘以转换矩阵，可以对矩阵进行对角化

$A=TDT^{-1}$

或

$T^{-1}AT=D$

如果矩阵有一组不完整的特征向量，因此有一组广义特征向量，则该矩阵无法对角化，但可以转换为约旦标准型

$T^{-1}AT=J$

MATLAB

MATLAB 编程环境专门为矩阵代数和操作而设计。以下是关于如何在 MATLAB 中操作矩阵的简要复习

加法

要将两个矩阵加在一起，请使用加号（“+”）

C = A + B;

乘法

要将两个矩阵相乘，请使用星号（“*”）

C = A * B;

如果您的矩阵尺寸不正确，MATLAB 将发出错误。

转置

要查找矩阵的转置，请使用单引号（“’”）

C = A';

行列式

要查找行列式，请使用det函数

d = det(A);

逆矩阵

要查找矩阵的逆矩阵，请使用函数inv

C = inv(A);

特征值和特征向量

要查找矩阵的特征值和特征向量，请使用eig命令

[E, V] = eig(A);

其中 E 是一个方阵，其对角线条目是 A 的特征值，而 V 是由相应的特征向量组成的矩阵。如果特征值不不同，则特征向量将重复。MATLAB 不会计算广义特征向量。

左特征向量

要查找左特征向量，假设存在一组完整的不同右特征向量，我们可以取特征向量矩阵的逆矩阵

[E, V] = eig(A);
C = inv(V);

C 的行将是矩阵 A 的左特征向量。

有关 MATLAB 的更多信息，请参阅维基教科书MATLAB 编程。

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