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极点和零点

极点和零点是传递函数中复频变量 ( s ) 的值，使传递函数分别变成无穷大（极点）或零（零点）。具体来说，零点是使传递函数分子为零的 ( s ) 值，而极点是使传递函数分母为零的 ( s ) 值。系统的极点和零点值决定了系统是否稳定，以及系统性能如何。在最简单的意义上，控制系统可以通过简单地为系统的极点和零点指定特定值来设计。

物理上可实现的控制系统必须具有大于零点数量的极点数。满足此关系的系统称为真。我们将在下面详细说明这一点。

时域关系

假设我们有一个具有 3 个极点的传递函数

$H(s)={\frac {a}{(s-l)(s-m)(s-n)}}$

极点位于 s = l、m、n。现在，我们可以使用部分分式展开将传递函数分离出来

$H(s)={\frac {a}{(s-l)(s-m)(s-n)}}={\frac {A}{s-l}}+{\frac {B}{s-m}}+{\frac {C}{s-n}}$

对每个分式使用逆变换（在我们的表中查找变换），我们得到以下结果

$h(t)=Ae^{lt}u(t)+Be^{mt}u(t)+Ce^{nt}u(t)$

但是，由于 s 是一个复变量，l、m 和 n 都可能是复数，具有实部 (σ) 和虚部 (jω)。如果我们只看第一项

$Ae^{lt}u(t)=Ae^{(\sigma _{l}+j\omega _{l})t}u(t)=Ae^{\sigma _{l}t}e^{j\omega _{l}t}u(t)$

对虚指数使用欧拉方程，我们得到

$Ae^{\sigma _{l}t}[\cos(\omega _{l}t)+j\sin(\omega _{l}t)]u(t)$

如果存在复极点，它总是伴随着另一个复极点，该复极点是它的复共轭。因此，它们的时域表示的虚部会抵消，我们剩下 2 个相同的实部。假设存在第一项的复共轭极点，我们可以取该方程的实部的 2 倍，然后得到我们的最终结果

$2Ae^{\sigma _{l}t}\cos(\omega _{l}t)u(t)$

我们可以从这个方程中看到，每个极点在其响应中都会有一个指数部分和一个正弦部分。我们还可以构建一些规则

1. 如果 σ_l = 0，则极点的响应是一个完美的正弦曲线（一个振荡器）
2. 如果 ω_l = 0，则极点的响应是一个完美的指数函数。
3. 如果 σ_l < 0，则响应的指数部分将衰减到零。
4. 如果 σ_l > 0，响应的指数部分将上升到无穷大。

从最后两条规则可以看出，系统的全部极点必须具有负的实部，因此，为了使系统稳定，它们必须都具有 (s + l) 的形式。我们将在后面的章节中讨论稳定性。

什么是极点和零点

假设我们有一个定义为两个多项式之比的传递函数

$H(s)={N(s) \over D(s)}$

其中 N(s) 和 D(s) 是简单的多项式。零点是 N(s)（传递函数的分子）的根，通过设置 N(s) = 0 并求解 s 获得。

函数的多项式阶数是多项式中最高指数的值。

极点是 D(s)（传递函数的分母）的根，通过设置 D(s) = 0 并求解 s 获得。由于我们上面的限制，传递函数的零点不能多于极点，因此我们可以说 D(s) 的多项式阶数必须大于或等于 N(s) 的多项式阶数。

示例

考虑传递函数

$H(s)={s+2 \over s^{2}+0.25}$

我们定义 N(s) 和 D(s) 为分子和分母多项式，如下所示

$N(s)=s+2$

$D(s)=s^{2}+0.25$

我们将 N(s) 设置为零，并求解 s

$N(s)=s+2=0\to s=-2$

因此，我们在 s → -2 处有一个零点。现在，我们将 D(s) 设置为零，并求解 s 以获得方程的极点

$D(s)=s^{2}+0.25=0\to s=+i{\sqrt {0.25}},-i{\sqrt {0.25}}$

简化后，我们在以下位置得到极点：-i/2 , +i/2。记住，s 是一个复变量，因此它可以取虚数和实数值。

极点和零点的影响

当 s 接近零点时，传递函数的分子（因此传递函数本身）接近 0。当 s 接近极点时，传递函数的分母接近零，传递函数的值接近无穷大。对于熟悉 BIBO 稳定性的人来说，无穷大的输出值应该敲响警钟。我们将在后面讨论这个问题。

正如我们在上面看到的，极点的位置以及极点的实部和虚部的值决定了系统的响应。实部对应于指数，虚部对应于正弦值。在传递函数中添加极点会将根轨迹拉向右侧，使系统变得不稳定。在传递函数中添加零点会将根轨迹拉向左侧，使系统变得更稳定。

二阶系统

二阶系统的规范形式如下

[二阶传递函数]

$H(s)={\frac {K\omega ^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega s+\omega ^{2}}}$

其中 K 是系统增益，ζ 称为函数的阻尼比，ω 称为系统的固有频率。如果二阶系统的 ζ 和 ω 准确已知，则可以轻松绘制时间响应并轻松检查稳定性。有关二阶系统的更多信息，请参见这里。

阻尼比

二阶系统的阻尼比用希腊字母 zeta (ζ) 表示，是一个实数，它定义了系统的阻尼特性。更大的阻尼会减少过冲百分比，并延长稳定时间。阻尼是系统固有地抵抗系统瞬态响应振荡性质的能力。较大的阻尼系数或阻尼系数会产生具有较小振荡性质的瞬态响应。

固有频率

固有频率有时会用下标表示

$\omega \to \omega _{n}$

当很明显地指代固有频率时，我们将省略下标，但在使用变量 ω 的其他值时，我们将包含下标。此外，$\omega ~=~\omega _{n}$ 当 $\zeta ~=0$.

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