控制系统/系统延迟

延迟

一个系统可以被构建成具有固有的延迟。延迟是指导致输入信号时间推移的单元，但不影响信号特性。理想延迟是指不会影响信号特性的延迟系统，它会将信号延迟一个精确的时间。一些延迟，例如处理延迟或传输延迟，是无意的。然而，其他延迟，例如同步延迟，是系统不可或缺的一部分。本章将讨论如何在拉普拉斯域中使用和表示延迟。一旦我们用拉普拉斯域表示延迟，通过变量转换，就可以轻松地将延迟表示到其他域中。

理想延迟

理想延迟会导致输入函数在时间上向前推移一个特定时间段。具有理想延迟的系统会导致系统输出延迟一个有限的、预定的时间。

时间推移

假设我们在时间域有一个函数，它被一个常数时间段T推移。为了方便，我们将这个函数表示为x(t - T)。现在，我们可以证明x(t - T)的拉普拉斯变换如下

${\mathcal {L}}\{x(t-T)\}\Leftrightarrow e^{-sT}X(s)$

这表明时间域中的时间推移在复拉普拉斯域中变为指数函数。

Z域的推移

由于我们知道Z变换和星形变换之间的以下一般关系

$z\Leftrightarrow e^{sT}$

我们可以证明离散时间域中的时间推移在Z域中会变成什么

$x((n-n_{s})\cdot T)\equiv x[n-n_{s}]\Leftrightarrow z^{-n_{s}}X(z)$

延迟与稳定性

时间域中的时间推移在拉普拉斯域中变为指数增长。这似乎表明时间推移会影响系统的稳定性，并可能导致系统变得不稳定。我们定义一个名为时间裕度的新参数，它表示在系统变得不稳定之前可以推移输入函数的时间量。如果系统能够承受任何任意的时间推移而不变得不稳定，我们说系统的時間裕度是无限的。

延迟裕度

当谈论正弦信号时，谈论“时间推移”没有意义，因此我们改为谈论“相位推移”。因此，通常也把時間裕度称为系统的相位裕度。相位裕度表示在系统变得不稳定之前可以应用于系统输入的相位推移量。

我们用希腊字母φ（phi）的小写字母表示系统的相位裕度。相位裕度对于二阶系统定义如下

[延迟裕度]

$\phi _{m}=\tan ^{-1}\left[{\frac {2\zeta }{({\sqrt {4\zeta ^{4}+1}}-2\zeta ^{2})^{1/2}}}\right]$

通常，相位裕度可以用以下关系近似

[延迟裕度（近似）]

$\phi _{m}\approx 100\zeta$

希腊字母zeta（ζ）表示一个名为阻尼比的量，我们将在下一章中详细讨论这个量。

变换域延迟

普通的Z变换不能解释一个经历任意时间延迟或处理延迟的系统。然而，Z变换可以被修改以解释任意延迟。这种新的Z变换版本通常被称为修正Z变换，尽管在一些文献（尤其是在维基百科中）被称为高级Z变换。

延迟星形变换

为了演示理想延迟的概念，我们将展示星形变换如何响应具有指定延迟时间T的时移输入。函数 :$X^{*}(s,\Delta )$是具有延迟参数Δ的延迟星形变换。延迟星形变换定义为星形变换，如下所示

[延迟星形变换]

$X^{*}(s,\Delta )={\mathcal {L}}^{*}\left\{x(t-\Delta )\right\}=X(s)e^{-\Delta Ts}$

正如我们所看到的，在星形变换中，时延信号在变换域中乘以衰减指数值。

延迟Z变换

由于我们知道星形变换与Z变换通过以下变量变化相关

$z=e^{-sT}$

我们可以解释以上结果，以显示Z变换如何响应延迟

${\mathcal {Z}}(x[t-T])=X(z)z^{-T}$

此结果是预期的。

现在我们知道了Z变换如何响应时移，将此行为概括为一种称为延迟Z变换的形式通常很有用。延迟Z变换是两个变量z和Δ的函数，定义如下

$X(z,\Delta )={\mathcal {Z}}\left\{x(t-\Delta )\right\}={\mathcal {Z}}\left\{X(s)e^{-\Delta Ts}\right\}$

最后

[延迟Z变换]

${\mathcal {Z}}(x[n],\Delta )=X(z,\Delta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n-\Delta ]z^{-n}$

修正Z变换

延迟Z变换有一些用途，但数学家和工程师认为需要一个更有用的变换版本。Z变换的新版本类似于延迟Z变换，但变量发生了变化，被称为修正Z变换。修正Z变换定义为延迟Z变换，如下所示

$X(z,m)=X(z,\Delta ){\big |}_{\Delta \to 1-m}={\mathcal {Z}}\left\{X(s)e^{-\Delta Ts}\right\}{\big |}_{\Delta \to 1-m}$

它的明确定义是

[修正Z变换]

$X(z,m)={\mathcal {Z}}(x[n],m)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n+m-1]z^{-n}$

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