控制系统/系统辨识

系统

系统，从某种意义上说，是接收输入并产生输出的设备。可以认为系统对输入进行操作以产生输出。输出与输入之间的关系被称为系统响应。系统响应通常可以用输入和输出之间的数学关系来建模。

系统属性

物理系统可以根据系统所表现的特定属性划分为许多不同的类别。一些系统分类非常容易处理，并且有大量的分析理论基础。一些系统分类非常复杂，至今还没有得到成功的研究。通过正确识别系统的属性，可以选择某些分析和设计工具用于系统。

本书的前几节将主要关注线性时不变 (LTI) 系统。LTI 系统是最容易处理的系统类别，并且具有一些使它们成为理想研究对象的属性。本章讨论了一些系统的属性。

本书后面的章节将讨论时变系统和非线性系统。时变系统和非线性系统都是当前研究的非常复杂的领域，并且可能难以正确分析。不幸的是，大多数现实世界的物理系统都是时变的、非线性的，或者两者兼而有之。

可以在这里找到有关系统辨识和最小二乘技术的介绍：这里。可以在这里找到有关参数辨识技术的介绍：这里.

初始时间

系统的初始时间是指没有输入的时间之前。通常，系统的初始时间被定义为零，这将显著简化分析。一些技术，例如拉普拉斯变换，要求系统的初始时间为零。系统的初始时间通常用 t₀ 表示。

任何变量在初始时间 t₀ 的值将用 0 下标表示。例如，变量 x 在时间 t₀ 的值由下式给出

$x(t_{0})=x_{0}$

同样，任何带有正下标的时间 t 都是在 t₀ 之后的时间点，按升序排列

$t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}\leq \cdots \leq t_{n}$

因此 t₁ 发生在 t₀ 之后，而 t₂ 发生在这两个时间点之后。与上面类似，带有正下标的变量（除非指定向量中的索引）也发生在那个时间点

$x(t_{1})=x_{1}$

$x(t_{2})=x_{2}$

这对于所有时间点 t 都有效。

可加性

如果输入的总和导致输出的总和，则系统满足可加性属性。根据定义：一个输入为 $x_{3}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$ 将导致一个输出为 $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$。为了确定系统是否可加，请使用以下测试

给定一个接收输入 x 并输出值 y 的系统 f，假设两个输入 (x₁ 和 x₂) 产生两个输出

$y_{1}=f(x_{1})$

$y_{2}=f(x_{2})$

现在，创建一个复合输入，它是之前输入的总和

$x_{3}=x_{1}+x_{2}$

然后，如果以下方程成立，则系统是可加的

$y_{3}=f(x_{3})=f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})=y_{1}+y_{2}$

满足此属性的系统称为可加的。可加系统很有用，因为可以使用简单输入的总和来分析系统对更复杂输入的响应。

例如：正弦波

给定以下方程

$y(t)=\sin(3x(t))$

创建一个输入的总和为

$x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$

并构建预期的输出总和

$y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$

现在，将这些值代入我们的方程，测试是否相等

$y_{1}(t)+y_{2}(t)=\sin(3[x_{1}(t)+x_{2}(t)])$

等式不满足，因此正弦运算不可加。

齐次性

如果输入乘以某个因子产生的输出也乘以相同的因子，则系统满足齐次性条件。根据定义：$ax_{1}$的输入会导致$ay_{1}$的输出。换句话说，要查看函数f()是否为齐次的，请执行以下测试

用任意输入x刺激系统f，以产生输出y

$y=f(x)$

现在，创建一个第二个输入x₁，将其乘以一个乘法因子C（C是一个任意常数值），并产生相应的输出y₁

$y_{1}=f(Cx_{1})$

现在，将x设为等于x₁

$x_{1}=x$

为了使系统成为齐次系统，以下等式必须成立：

$y_{1}=f(Cx)=Cf(x)=Cy$

齐次系统在许多应用中都有用，特别是那些涉及增益或放大的应用。

示例：直线

给定直线的方程式：

$y=f(x)=2x+3$

$y_{1}=f(Cx_{1})=2(Cx_{1})+3=C2x_{1}+3$

$x_{1}=x$

比较这两个结果，很容易看出它们不相等。

$y_{1}=C2x+3\neq Cy=C(2x+3)=C2x+C3$

因此，该方程式不是齐次的。

练习

证明加性蕴含齐次性，但齐次性不蕴含加性。

线性

如果一个系统满足加性和齐次性的条件，则该系统被认为是**线性的**。简而言之，如果以下内容为真，则该系统是线性的：

取两个任意输入，并产生两个任意输出。

$y_{1}=f(x_{1})$

$y_{2}=f(x_{2})$

现在，输入的线性组合应该产生输出的线性组合。

$f(Ax_{1}+Bx_{2})=f(Ax_{1})+f(Bx_{2})=Af(x_{1})+Bf(x_{2})=Ay_{1}+By_{2}$

加性和齐次性的这个条件称为**叠加**。如果一个系统满足叠加条件，则该系统是线性的。

示例：线性微分方程

以下方程式是否线性？

${\frac {dy(t)}{dt}}+y(t)=x(t)$

为了确定该系统是否为线性系统，构建一个新的复合输入：

$x(t)=Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)$

现在，创建预期的复合输出：

$y(t)=Ay_{1}(t)+By_{2}(t)$

将这两个代入原始方程：

${\frac {d[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]}{dt}}+[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]=Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)$

将导数算子分解出来，如下所示

${\frac {d}{dt}}[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]+[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]=Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)$

最后，将各种组合项转换为相应的变量，以证明该系统是线性的

${\frac {dy(t)}{dt}}+y(t)=x(t)$

记录一下，导数和积分是线性算子，而常微分方程通常是线性方程。

记忆

如果系统的输出依赖于系统过去（或未来！）的输入，则称该系统具有记忆。如果输出仅依赖于当前输入，则称该系统为无记忆系统。无记忆系统更容易处理，但在数字信号处理应用中，具有记忆的系统更为常见。

具有记忆的系统被称为动态系统，而没有记忆的系统被称为静态系统。

因果性

因果性是一个与记忆非常相似的属性。如果系统仅依赖于过去和/或当前的输入，则称该系统为因果系统。如果系统的输出仅依赖于未来的输入，则称该系统为反因果系统。如果输出依赖于过去和/或当前和未来的输入，则称该系统为非因果系统。

时间不变性

如果输入和输出信号之间的系统关系不依赖于时间的推移，则称该系统为时间不变系统。如果输入信号$x(t)$产生输出$y(t)$，则任何时间偏移的输入，$x(t+\delta )$，都会产生时间偏移的输出$y(t+\delta )$。如果系统的传递函数不是时间的函数（除了由输入和输出表示），则可以满足此属性。如果系统是时间不变的，那么系统块与任意延迟是可交换的。时间不变系统的这一方面将在后面讨论。

要确定系统 f 是否是时间不变的，请执行以下测试

将任意输入 x 应用于系统并产生任意输出 y

$y(t)=f(x(t))$

将第二个输入 x₁ 应用于系统，并产生第二个输出

$y_{1}(t)=f(x_{1}(t))$

现在，将 x₁ 设置为等于第一个输入 x，并按给定常数值 δ 进行时间偏移

$x_{1}(t)=x(t-\delta )$

最后，如果 y₁ 等于 y 按相同值 δ 偏移，则该系统是时间不变的

$y_{1}(t)=y(t-\delta )$

LTI 系统

如果系统满足时间不变性和线性的要求，则认为该系统是线性时不变 (LTI) 系统。LTI 系统是最重要的系统类型之一，并且在本书的开头几章中，将几乎专门讨论 LTI 系统。

在实践中，非 LTI 系统更为常见，但分析起来要困难得多。

集中性

如果满足以下两个条件之一，则称系统为集中系统

1. 系统可以处于有限数量的状态。
2. 存在有限数量的状态变量。

"状态"和"状态变量"的概念比较高级，将在讨论现代控制时详细介绍。

非集中式系统被称为**分布式**系统。分布式系统的简单例子是一个具有延迟的系统，即 $A(s)y(t)=B(s)u(t-\tau )$，它具有无限数量的状态变量（这里我们用 $s$ 表示拉普拉斯变量）。然而，尽管分布式系统非常常见，但实际上它们很难分析，而且很少有工具可以用于处理此类系统。幸运的是，在大多数情况下，可以用帕德逼近方法充分地对延迟进行建模。本书不会过多讨论分布式系统。

松弛

如果系统是因果的，并且在初始时间 t₀ 系统的输出为零，则称该系统为**松弛**的，即系统中没有存储能量。输出仅由随后施加的输入唯一地激发。

$y(t_{0})=f(x(t_{0}))=0$

在微分方程方面，松弛系统被称为具有“零初始状态”。没有初始状态的系统更容易处理，但非松弛系统通常可以修改为近似松弛系统。

稳定性

控制系统工程师经常会说，不稳定的系统“爆炸”了。一些物理系统在变得不稳定时确实会破裂或爆炸。

**稳定性**是系统中非常重要的概念，但也是最难证明的功能特性之一。系统稳定性有多种不同的标准，但最常见的需求是系统在受到有限输入时必须产生有限的输出。例如，如果在给定电路的输入端施加 5 伏，最好是电路的输出不会趋于无穷大，并且电路本身不会熔化或爆炸。这种类型的稳定性通常被称为“**有界输入，有界输出**”稳定性，或简称**BIBO**。

还有许多其他类型的稳定性，其中大多数都基于 BIBO 稳定性的概念。由于稳定性是一个如此重要和复杂的话题，本书专门有一节内容来研究它。

输入和输出

系统也可以根据系统的输入数量和输出数量进行分类。例如，将电视机视为一个系统。该系统有两个输入：电源线和信号线。它有一个输出：视频显示。具有一个输入和一个输出的系统称为**单输入单输出**系统，简称**SISO**。具有多个输入和多个输出的系统称为**多输入多输出**系统，简称**MIMO**。

这些系统将在后面更详细地讨论。

练习

根据上面对 SISO 和 MIMO 的定义，确定 SIMO 和 MISO 的缩写含义。

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