可微流形/最大图集、第二可数空间和单位分解

最大图集

定义 3.1:

设 $M$ 是 $d$ 维 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，并设 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是它的图集。我们称集合

$A:=\left\{(U,\theta )|U\subseteq M{\text{ open }},\theta :U\to \mathbb {R} ^{d},\theta {\text{ is compatible of class }}{\mathcal {C}}^{n}{\text{ to all }}\phi _{\upsilon },\upsilon \in \Upsilon \}\right\}$

为 $M$ 的最大图集。

引理 3.2：我们有 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}\subseteq A$.

证明：这是因为如果 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，那么根据图集的定义，它与 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 的所有元素相容，因此根据 $A$ 的定义，它包含在 $A$ 中。$\Box$

定理 3.3：最大图集确实是一个图集；也就是说，对于每一个点 $p\in M$，都存在 $(U,\theta )$ 使得 $p\in M$，并且它里面的任何两个图都是兼容的。

证明:

1.

我们首先证明，对于每一个点 $p\in M$，都存在 $(U,\theta )$ 使得 $p\in M$。

从引理 3.2 我们知道 $M$ 的图集被包含在 $A$ 中。

现在令 $p\in M$。根据图集的定义，我们找到一个 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 使得 $p\in O$。由于 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}\subseteq A$，我们得到 $(U,\theta )\in A$。

2.

我们证明，任何两个图 $\phi :O\to \mathbb {R} ^{d},\theta :U\to \mathbb {R} ^{d}$，使得 $(O,\phi ),(U,\theta )\in A$，都是兼容的。

因此，令 $\phi :O\to \mathbb {R} ^{d},\theta :U\to \mathbb {R} ^{d}$ 使得 $(O,\phi ),(U,\theta )\in A$ 为“任意”的（当然我们仍然要求 $(O,\phi ),(U,\theta )\in A$）。

如果我们有$O\cap U=\emptyset$，这直接意味着兼容性（回想一下，我们定义兼容性，如果$U\cap O=\emptyset$ 对于两个图表$\phi :O\to \mathbb {R} ^{d},\theta :U\to \mathbb {R} ^{d}$，那么这两个定义上是自动兼容的）。

所以在这种情况下，我们就完成了。现在我们将证明另一种情况，即$O\cap U\neq \emptyset$。

根据${\mathcal {C}}^{n}$ 类的兼容性定义，我们必须证明该函数

$\phi |_{U\cap O}\circ \psi |_{U\cap O}^{-1}:\psi (U\cap O)\to \phi (U\cap O)$

包含在${\mathcal {C}}^{n}(\psi (U\cap O),\mathbb {R} ^{d})$ 中，并且

$\psi |_{U\cap O}\circ \phi |_{U\cap O}^{-1}:\phi (U\cap O)\to \psi (U\cap O)$

包含在${\mathcal {C}}^{n}(\phi (U\cap O),\mathbb {R} ^{d})$ 中。

令 $p\in O\cap U$。由于 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是 $M$ 的图集，我们可以找到一个图 $(\chi ,V)\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 使得 $p\in V$。根据 $A$ 的定义，$\chi$ 和 $\psi$ 是相容的，并且 $\chi$ 和 $\phi$ 是相容的。因此，函数

$\phi |_{V\cap U\cap O}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}^{-1}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}\circ \psi |_{V\cap U\cap O}^{-1}:\psi (V\cap U\cap O)\to \phi (V\cap U\cap O)$

和

$\psi |_{V\cap U\cap O}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}^{-1}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}\circ \phi |_{V\cap U\cap O}^{-1}:\psi (V\cap U\cap O)\to \phi (V\cap U\cap O)$

是 $n$ 次可微分（或者，如果 $n=0$，则连续），特别是在 $\psi (p)$，$\phi (p)$ 分别。由于 $p\in O\cap U$ 是任意的，因此

$\phi |_{V\cap U\cap O}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}^{-1}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}\circ \psi |_{V\cap U\cap O}^{-1}=(\phi |_{U\cap O}\circ \psi |_{U\cap O}^{-1})|_{\psi (V\cap U\cap O)}$

和

$\psi |_{V\cap U\cap O}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}^{-1}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}\circ \phi |_{V\cap U\cap O}^{-1}=(\psi |_{U\cap O}\circ \phi |_{U\cap O}^{-1})|_{\phi (V\cap U\cap O)}$

（你可以通过直接计算来证明！）而且由于 $\phi ,\psi$ 是双射的，这证明了定理。$\Box$

定理 3.4:

设 $M$ 为一个 $d$ 维流形，其图集为 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设 $A$ 为其最大图集。不存在一个图集 $B$ 使得 $A\subsetneq B$（此符号表示 $A$ 包含于 $B$，但 $B$ 比 $A$ '严格更大'（这个不常见的表达是指在 $B$ 中至少存在一个元素不包含于 $A$ )）。

事实上，这就是将 $A$ 称为 '最大图集' 的原因。

证明：我们证明不存在 $M$ 的图集 $B$ 使得 $A\subsetneq B$。

假设存在这样一个图集，用反证法。然后我们找到一个元素$(U,\theta )\in B\setminus A$. 但由于$B$ 是一个图集，$\theta$ 与所有其他图表$\phi$ 兼容，对于这些图表，$(O,\phi )\in A$. 这意味着，根据引理 3.2，它与每个$\phi _{\upsilon },\upsilon \in \Upsilon$ 兼容。因此，根据$A$ 的定义，$(U,\theta )\in A$. 这与假设矛盾！$\Box$

第二可数空间

定义 3.5:

令$M$ 为一个拓扑空间，令$U_{\kappa },\kappa \in \mathrm {K}$ 为一组开集。我们称$\{U_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 为$M$ 的拓扑的基，当且仅当每个开集$O\subseteq M$ 可以写成$\{U_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 中元素的并集，即

$O=\bigcup _{\upsilon \in \Upsilon }U_{\upsilon }$

其中$\Upsilon \subseteq \mathrm {K}$.

定义 3.6:

令 $M$ 是一个拓扑空间。我们称 $M$ 为第二可数，当且仅当 $M$ 的拓扑具有可数基。

局部有限细化和单位分解

定义 3.7:

令 ${\mathcal {X}}$ 是一个拓扑空间。${\mathcal {X}}$ 的开覆盖是 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ ${\mathcal {X}}$ 的开子集的集合，使得

$\bigcup _{\kappa \in \mathrm {K} }V_{\kappa }={\mathcal {X}}$

例子 3.8:

集合 $\{B_{\epsilon }(x)|x\in \mathbb {R} ^{d},\epsilon >0\}$ 是实数的开覆盖。

定义 3.9:

令 $M$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的流形。我们说$M$ 允许单位分解，当且仅当对于每一个开覆盖 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$，都存在函数 $\{\varphi _{\iota }|\iota \in \mathrm {I} \}\subset {\mathcal {C}}^{n}(M)$，使得

1. 对于所有 $\iota \in \mathrm {I}$，存在一个 $\kappa \in \mathrm {K}$ 使得 ${\text{supp }}\varphi _{\iota }\subset V_{\kappa }$，
2. 对于所有 $\iota \in \mathrm {I}$ 和 $p\in M$，$\varphi _{\iota }(p)\geq 0$ 并且
3. 对于所有 $p\in M$，$\sum _{\iota \in \mathrm {I} }\varphi _{\iota }(p)=1$。

定义 3.10:

令 ${\mathcal {X}}$ 是一个拓扑空间，令 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 是 ${\mathcal {X}}$ 的一个开覆盖。$\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 的局部有限细化 被定义为 ${\mathcal {X}}$ 的另一个开覆盖，例如 $\{U_{\upsilon }|\upsilon \in \Upsilon \}$，使得

• 对于每个 $\upsilon \in \Upsilon$，存在一个 $\kappa \in \mathrm {K}$ 使得 $U_{\upsilon }\subseteq V_{\kappa }$，并且
• 对于每个 $x\in {\mathcal {X}}$，集合 $\{U_{\upsilon }|\upsilon \in \Upsilon \wedge x\in V_{\upsilon }\}$ 是有限的。

现在我们将证明几个引理，它们将帮助我们证明每一个拓扑具有可数基的流形都承认单位分解。然后，我们将证明每一个拓扑具有可数基的流形都承认单位分解 :-)

引理 3.11:

令 $M$ 是一个拓扑具有可数基的流形。那么 $M$ 具有一个可数基 $\{V_{j}|j\in \mathbb {N} \}$ 使得对于每个 $j\in \mathbb {N}$，${\overline {U_{j}}}$ 是紧致的。

证明:

令 $\{U_{k}|k\in \mathbb {N} \}$ 是 $M$ 的一个可数基。对于每个 $p\in M$，我们选择一个图 $(O,\phi )$ 使得 $p\in O$。然后我们选择 $W_{p}:=\phi (O)\cap B_{1}(\phi (p))$。由于在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中，集合是紧致的当且仅当有界且闭合，${\overline {W_{p}}}$ 是紧致的。拓扑学中有一个定理，它表明一个紧致集在同胚下的像仍然是紧致的。因此，$\phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$ 是 $O$ 的一个紧致子集。

此外，如果 $\{V_{\kappa },\kappa \in \mathrm {K} \}$ 是 $\phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$ 的开子集覆盖，那么集合 $\{V_{\kappa }\cap O,\kappa \in \mathrm {K} \}$ 是 $\phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$ 的 $O$ 的开子集覆盖。因为 $\phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$ 在 $O$ 中是紧致的，我们可以从后者中选出一个有限子覆盖 $V_{\kappa _{1}}\cap O,\ldots ,V_{\kappa _{n}}\cap O$。然后，因为

$O\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}V_{\kappa _{j}}\cap O\subseteq \subseteq \bigcup _{j=1}^{n}V_{\kappa _{j}}$

, 集合 $V_{\kappa _{1}},\ldots ,V_{\kappa _{n}}$ 是 $\{V_{\kappa },\kappa \in \mathrm {K} \}$ 的一个有限子覆盖。因此，$\phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$ 也是 $M$ 中的紧致子集。

由于 $\phi$ 是一个同胚，$W_{p}$ 在 $M$ 中是开集，并且从 $W_{p}\subset {\overline {W_{p}}}$ 可以得出 $\phi ^{-1}(W_{p})\subset \phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$。因此，也

${\overline {\phi ^{-1}(W_{p})}}\subseteq \phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$

因为 $\phi ^{-1}(W_{p})$ 的闭包，根据定义（在某些讲座的定义中），等于

$\bigcap _{A\supseteq \phi ^{-1}(W_{p}) \atop A{\text{ closed }}}A$

此外，拓扑学中的另一个定理指出紧集的闭子集是紧集。因此，${\overline {\phi ^{-1}(W_{p})}}$ 是紧集。

由于 $\{U_{k}|k\in \mathbb {N} \}$ 是一个基底，因此每个 $\phi ^{-1}(W_{p})$ 都可以写成 $\{U_{k}|k\in \mathbb {N} \}$ 中元素的并集。现在我们选择新的基底，它由 $p\in M$ 上 $\{U_{k}|k\in \mathbb {N} \}$ 中最小索引 $m_{p}$ 的元素的并集组成，使得 $p\in U_{m_{p}}$ 且 $U_{m_{p}}\subseteq \phi ^{-1}(W_{p})$。现在 $U_{m_{p}}$ 的闭包是紧的：由 $U_{m_{p}}\subseteq \phi ^{-1}(W_{p})$ 可以得到 ${\overline {U_{m_{p}}}}\subseteq {\overline {\phi ^{-1}(W_{p})}}$，由于 ${\overline {\phi ^{-1}(W_{p})}}\subseteq \phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$，${\overline {U_{m_{p}}}}$ 作为紧集的闭子集，也是紧的。

由于我们的新的基底是可数集的子集，因此它本身也是可数的（这里我们将有限集包含在“可数”类别中）。因此，我们获得了具有紧闭包元素的可数基底。 $\Box$

引理 3.12:

令 $M$ 是一个具有可数基底的流形（即一个第二可数流形）。那么对于 $M$ 的每个覆盖，都存在一个局部有限细化。

证明:

令 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 为 $M$ 的一个覆盖。根据引理 3.11，我们可以选择 $M$ 的一个可数基 $\{U_{j}|j\in \mathbb {N} \}$，使得每个 ${\overline {U_{j}}}$ 都是紧致的。我们现在用归纳法定义一系列紧致集合 $(A_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 如下：我们令 $A_{1}:={\overline {U_{1}}}$。一旦我们定义了 $A_{l}$，我们定义

$A_{l+1}:={\overline {U_{1}}}\cup \cdots \cup {\overline {U_{m}}}$

, 其中 $m\in \mathbb {N}$ 是满足以下条件的最小的自然数：

${\text{int }}A_{l}\subset {\overline {U_{1}}}\cup \cdots \cup {\overline {U_{m}}}$

它是紧致的，因为拓扑学中有一个定理指出有限个紧致集合的并集是紧致的。由于之前已经提到，拓扑学中有一个定理指出紧致集合的闭子集是紧致的，因此由 $B_{1}:=A_{1}$ 和

$B_{l}:=A_{l}\setminus {\text{int }}A_{l-1}$

定义的集合对于 $l\geq 2$ （直观上，闭环）都是紧致的。此外，由 $C_{1}:={\text{int }}A_{2}$，$C_{2}:={\text{int }}A_{3}$ 和

$C_{l}:={\text{int }}A_{l+1}\setminus A_{l-2}$

对于 $l\geq 3$ （直观上就是下一个更大的开环）是开的，并且对于所有的 $l\in \mathbb {N}$

$B_{l}\subset C_{l}$

现在，由于 $M$ 被 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 覆盖，所以每个集合 $B_{l}$ 也被覆盖。现在我们如下构造局部有限细化：我们包含所有集合，这些集合是 $C_{l}$ 与 $B_{l}$ 的有限子覆盖（由紧致性存在）的交集，这些子覆盖取自 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$。这是一个局部有限细化。$\Box$

引理 3.13:

设 $M$ 为一个 $d$-维 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其图集为 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设 $W\subseteq O$ 在 $O$ 中是开集（关于 子空间拓扑），并设 $p\in O$ 以及设 $\epsilon >0$ 使得 $B_{\epsilon }(\phi (p))\subseteq \phi (O\cap W)$。如果我们定义

$\eta :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta (x)={\begin{cases}e^{1-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}&{\text{ if }}\|x\|_{2}<1\\0&{\text{ if }}\|x\|_{2}\geq 1\end{cases}}$

，以及

$h_{p,W,\phi }:M\to \mathbb {R} ,h_{p,W,\phi }(q):={\begin{cases}\eta \left({\frac {1}{\epsilon }}(\phi (p)-\phi (q))\right)&q\in O\\0&q\notin O\\\end{cases}}$,

那么我们有 $h_{p,W,\phi }\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$.

证明:

令 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$。那么我们有，对于 $x\in \theta (U)$

$(h_{p,W,\phi }|_{U}\circ \theta ^{-1})(x)={\begin{cases}0&(\phi \circ \theta ^{-1})(x)\notin B_{\epsilon }(\phi (p))\\e^{1-{\frac {1}{1-\|{\frac {1}{\epsilon }}\left(\phi (p)-(\phi \circ \theta ^{-1})(x)\right)\|^{2}}}}&(\phi \circ \theta ^{-1})(x)\in B_{\epsilon }(\phi (p))\end{cases}}$

这个函数是 $n$ 次可微（或连续的，如果 $n=0$）作为 $n$ 次可微（或连续的，如果 $n=0$）函数的复合。$\Box$

定理 3.14:

令 $M$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，具有可数基，即第二可数流形。那么 $M$ 允许单位分解。

证明:

令 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 是 $M$ 的一个开覆盖。

对于每个点 $p\in M$，我们选择一个图集 $(O,\phi )$，使得 $p\in O$。此外，我们在开覆盖中任意选择一个 $V_{\kappa _{p}}$，使得 $p\in V_{\kappa _{p}}$。根据 子空间拓扑 的定义，我们有 $V_{\kappa _{p}}\cap O$ 在 $O$ 中是开集。因此，根据引理 3.13，我们可以选择一个 $h_{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，使得 $p\in \{q\in M|h_{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }(q)>0\}=:W_{p}$。由于 $h_{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }$ 是连续的，所以所有 $W_{p}$ 都是开集；这是因为它们是开集 $(0,\infty )$ 的原像。此外，由于对于每个 $p\in M$ 都存在一个 $W_{p}$，且总是 $p\in W_{p}$，所以 $W_{p}$ 构成 $M$ 的一个覆盖。根据引理 3.12，我们可以选择一个局部有限的细化。这个开覆盖，我们用 $S$ 来表示这组开集。

现在我们定义函数

$\varphi :M\to \mathbb {R} ,\varphi (q):=\sum _{W_{p}\in S}h_{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }(q)$

该函数属于 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 类，是一个有限和（因为对于每个 $p$ ，只有有限多个 $W\in S$ 使得 $p\in W$ ，因为 $S$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函数的一个局部有限子覆盖），而 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函数的有限和仍然是 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函数（根据定理 2.22 和归纳法），而且在任何地方都不为零（因为对于每个 $p$ ，存在一个 $W_{q}\in S$ 使得 $p$ 在其中；记住有限细化是一个开覆盖），因此根据定理 2.26，所有函数 $\varphi _{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }:={\frac {h_{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }}{\varphi }}$ 都包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 中。这些函数是非负的，并且它们在每个点都加起来为 $1$ ，并不难证明。此外，根据构造，它们每个的支持集都包含在一个 $V_{\kappa }$ 中。因此，它们构成了所需的单位分解。$\Box$

来源

• 朗，塞尔奇 (2002). 微分流形导论. 纽约: Springer. ISBN 0-387-95477-5.