定义 3.1:
设
是
维
类流形,并设
是它的图集。我们称集合

为
的最大图集。
引理 3.2:我们有
.
证明:这是因为如果
,那么根据图集的定义,它与
的所有元素相容,因此根据
的定义,它包含在
中。
定理 3.3:最大图集确实是一个图集;也就是说,对于每一个点
,都存在
使得
,并且它里面的任何两个图都是兼容的。
证明:
1.
我们首先证明,对于每一个点
,都存在
使得
。
从引理 3.2 我们知道
的图集被包含在
中。
现在令
。根据图集的定义,我们找到一个
使得
。由于
,我们得到
。
2.
我们证明,任何两个图
,使得
,都是兼容的。
因此,令
使得
为“任意”的(当然我们仍然要求
)。
如果我们有
,这直接意味着兼容性(回想一下,我们定义兼容性,如果
对于两个图表
,那么这两个定义上是自动兼容的)。
所以在这种情况下,我们就完成了。现在我们将证明另一种情况,即
。
根据
类的兼容性定义,我们必须证明该函数

包含在
中,并且

包含在
中。
令
。由于
是
的图集,我们可以找到一个图
使得
。根据
的定义,
和
是相容的,并且
和
是相容的。因此,函数

和

是
次可微分(或者,如果
,则连续),特别是在
,
分别。由于
是任意的,因此

和

(你可以通过直接计算来证明!)而且由于
是双射的,这证明了定理。
事实上,这就是将
称为 '最大图集' 的原因。
证明:我们证明不存在
的图集
使得
。
假设存在这样一个图集,用反证法。然后我们找到一个元素
. 但由于
是一个图集,
与所有其他图表
兼容,对于这些图表,
. 这意味着,根据引理 3.2,它与每个
兼容。因此,根据
的定义,
. 这与假设矛盾!
定义 3.6:
令
是一个拓扑空间。我们称
为第二可数,当且仅当
的拓扑具有可数基。
例子 3.8:
集合
是实数的开覆盖。
现在我们将证明几个引理,它们将帮助我们证明每一个拓扑具有可数基的流形都承认单位分解。然后,我们将证明每一个拓扑具有可数基的流形都承认单位分解 :-)
引理 3.11:
令
是一个拓扑具有可数基的流形。那么
具有一个可数基
使得对于每个
,
是紧致的。
证明:
令
是
的一个可数基。对于每个
,我们选择一个图
使得
。然后我们选择
。由于在
中,集合是紧致的当且仅当有界且闭合,
是紧致的。拓扑学中有一个定理,它表明一个紧致集在同胚下的像仍然是紧致的。因此,
是
的一个紧致子集。
此外,如果
是
的开子集覆盖,那么集合
是
的
的开子集覆盖。因为
在
中是紧致的,我们可以从后者中选出一个有限子覆盖
。然后,因为

, 集合
是
的一个有限子覆盖。因此,
也是
中的紧致子集。
由于
是一个同胚,
在
中是开集,并且从
可以得出
。因此,也

因为
的闭包,根据定义(在某些讲座的定义中),等于

此外,拓扑学中的另一个定理指出紧集的闭子集是紧集。因此,
是紧集。
由于
是一个基底,因此每个
都可以写成
中元素的并集。现在我们选择新的基底,它由
上
中最小索引
的元素的并集组成,使得
且
。现在
的闭包是紧的:由
可以得到
,由于
,
作为紧集的闭子集,也是紧的。
由于我们的新的基底是可数集的子集,因此它本身也是可数的(这里我们将有限集包含在“可数”类别中)。因此,我们获得了具有紧闭包元素的可数基底。 
引理 3.12:
令
是一个具有可数基底的流形(即一个第二可数流形)。那么对于
的每个覆盖,都存在一个局部有限细化。
证明:
令
为
的一个覆盖。根据引理 3.11,我们可以选择
的一个可数基
,使得每个
都是紧致的。我们现在用归纳法定义一系列紧致集合
如下:我们令
。一旦我们定义了
,我们定义

, 其中
是满足以下条件的最小的自然数:

它是紧致的,因为拓扑学中有一个定理指出有限个紧致集合的并集是紧致的。由于之前已经提到,拓扑学中有一个定理指出紧致集合的闭子集是紧致的,因此由
和

定义的集合对于
(直观上,闭环)都是紧致的。此外,由
,
和

对于
(直观上就是下一个更大的开环)是开的,并且对于所有的 

现在,由于
被
覆盖,所以每个集合
也被覆盖。现在我们如下构造局部有限细化:我们包含所有集合,这些集合是
与
的有限子覆盖(由紧致性存在)的交集,这些子覆盖取自
。这是一个局部有限细化。
引理 3.13:
设
为一个
-维
类流形,其图集为
,设
,设
在
中是开集(关于 子空间拓扑),并设
以及设
使得
。如果我们定义

,以及
,
那么我们有
.
证明:
令
。那么我们有,对于 

这个函数是
次可微(或连续的,如果
)作为
次可微(或连续的,如果
)函数的复合。
定理 3.14:
令
是一个类
的流形,具有可数基,即第二可数流形。那么
允许单位分解。
证明:
令
是
的一个开覆盖。
对于每个点
,我们选择一个图集
,使得
。此外,我们在开覆盖中任意选择一个
,使得
。根据 子空间拓扑 的定义,我们有
在
中是开集。因此,根据引理 3.13,我们可以选择一个
,使得
。由于
是连续的,所以所有
都是开集;这是因为它们是开集
的原像。此外,由于对于每个
都存在一个
,且总是
,所以
构成
的一个覆盖。根据引理 3.12,我们可以选择一个局部有限的细化。这个开覆盖,我们用
来表示这组开集。
现在我们定义函数

该函数属于
类,是一个有限和(因为对于每个
,只有有限多个
使得
,因为
是
函数的一个局部有限子覆盖),而
函数的有限和仍然是
函数(根据定理 2.22 和归纳法),而且在任何地方都不为零(因为对于每个
,存在一个
使得
在其中;记住有限细化是一个开覆盖),因此根据定理 2.26,所有函数
都包含在
中。这些函数是非负的,并且它们在每个点都加起来为
,并不难证明。此外,根据构造,它们每个的支持集都包含在一个
中。因此,它们构成了所需的单位分解。