可微流形/微分同胚及相关向量场

微分同胚

我们现在将定义流形之间映射的同胚和微分同胚的概念。

定义 6.1:

设 $M$ 是一个 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其中通常 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，设 $N$ 是一个 ${\mathcal {C}}^{k}$ 类流形，其中也 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$。函数 $\psi :M\to N$ 称为同胚，当且仅当

• 它是双射的
• 它本身和 $\psi ^{-1}$ 都是连续的

定义 6.2:

令 $M$ 为 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，令 $N$ 为 ${\mathcal {C}}^{k}$ 类流形，其中也满足 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$。令 $j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$。函数 $\psi :M\to N$ 称为 **${\mathcal {C}}^{j}$ 类微分同胚**，当且仅当

• 它是双射的
• 它本身和 $\psi ^{-1}$ 都是 ${\mathcal {C}}^{j}$ 可微的。

微分的秩

定义 6.3:

令 $d,b\in \mathbb {N}$，$M$ 为一个 $d$ 维 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，$N$ 为一个 $b$ 维 ${\mathcal {C}}^{k}$ 类流形，$U\subseteq M$ 为开集，$p\in U$，且 $\psi :U\to N$ 为 ${\mathcal {C}}^{m}$ 类可微的。**$d\psi _{p}$ 的秩** 定义为

${\text{rank }}d\psi _{p}:=\dim {\text{Im }}d\psi _{p}$.

${\text{Im }}d\psi _{p}$ 的维数是定义良好的，因为 $d\psi _{p}$ 是一个线性函数，因此它的像是一个向量空间；此外，它也是 $T_{\psi (p)}N$ 的一个向量子空间，而 $T_{\psi (p)}N$ 是一个 $b$ 维向量空间，因此它具有有限维数。

定理 6.4:

令 $M$ 为一个 $d$ 维流形，类别为 ${\mathcal {C}}^{n}$，并且令 $N$ 为一个 $b$ 维流形，类别为 ${\mathcal {C}}^{k}$.

相关向量场

定义 6.3:

令 $M$ 为一个类别为 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，令 $N$ 为一个类别为 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的流形，其中也存在 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，并且令 $\psi :M\to N$ 为类别为 ${\mathcal {C}}^{j}$ 的可微映射，其中也存在 $j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$。我们称 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 和 $\mathbf {W} \in {\mathfrak {X}}(N)$ 为 **$\psi$-相关**，当且仅当**

$\forall p\in M:\mathbf {W} (\psi (p))=d\psi _{p}(\mathbf {V} (p))$

定理 6.4:

设 $M$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，设 $N$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的流形，其中 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，设 $\psi :M\to N$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{j}$ 的微分同胚，其中 $j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$，设 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$。那么 $\mathbf {W}$

$\mathbf {W} (q)=d\psi _{\psi ^{-1}(q)}(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(q)))$

是唯一一个向量场，使得 $\mathbf {V}$ 和 $\mathbf {W}$ 关于 $\psi$ 相关联。

证明:

1. 我们证明了 $\mathbf {V}$ 和 $\mathbf {W}$ 是 $\psi$-相关的。

令 $p\in M$ 为任意点。那么我们有

$\mathbf {W} (\psi (p))=d\psi _{\psi ^{-1}(\psi (p))}(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(\psi (p))))=d\psi _{p}(\mathbf {V} (p))$

2. 我们证明了除了 $\mathbf {W}$ 之外，没有其他向量场与 $\mathbf {V}$ $\psi$-相关。

令 $\mathbf {Z}$ 也包含在 ${\mathfrak {X}}(N)$ 中，使得 $\mathbf {V}$ 和 $\mathbf {Z}$ 是 $\psi$-相关的。我们证明了 $\mathbf {Z} =\mathbf {W}$，从而排除了不同于 ${\mathcal {X}}$ $\psi$-相关向量场的可能性。

事实上，对于每个 $q\in N$，我们有

由于 $\psi$ 的双射性，存在唯一的 $p\in M$ 使得 $\psi (p)=q$，并且我们有 $p=\psi ^{-1}(q)$。因此，并且由于 $\mathbf {Z}$ 需要与 $\psi$ 相关联到 $\mathbf {V}$

$\mathbf {Z} (q)=\mathbf {Z} (\psi (p))=d\psi _{p}(\mathbf {V} (p))=d\psi _{\psi ^{-1}(q)}(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(q)))=\mathbf {W} (q)$

定理 6.5:

设 $M$ 是一个 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，设 $N$ 是一个 ${\mathcal {C}}^{k}$ 类流形，其中同样 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，设 $\psi :M\to N$ 是一个 ${\mathcal {C}}^{j}$ 类微分同胚，其中同样 $j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$。如果 $\mathbf {V}$ 是 ${\mathcal {C}}^{m}$ 类可微的，其中 $m\in N$ 且 $m\leq j$，那么唯一的 $\psi$-相关向量场

$\mathbf {W} (p)=d\psi _{\psi ^{-1}(q)}(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(q)))$

是 ${\mathcal {C}}^{m}$ 类可微的。

证明:

令 $\vartheta \in {\mathcal {C}}^{m}(N)$。插入第 2 章中的一些定义，我们得到

${\begin{aligned}\mathbf {W} \vartheta (p)&=(d\psi _{\psi ^{-1}(p)}(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(p))))(\vartheta )\\&=(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(p))\circ \psi ^{*})(\vartheta )\\&=\mathbf {V} (\psi ^{-1}(p))(\vartheta \circ \psi )\\&=\mathbf {V} (\vartheta \circ \psi )(\psi ^{-1}(p))\\&=\left(\left(\psi ^{-1}\right)^{*}\mathbf {V} (\vartheta \circ \psi )\right)(p)\\\end{aligned}}$

，因此

$\mathbf {W} \vartheta =\left(\psi ^{-1}\right)^{*}\mathbf {V} (\vartheta \circ \psi )$

由于 $\psi$ 是类 ${\mathcal {C}}^{j}$ 可微且 $j\geq m$，$\psi$ 也是类 ${\mathcal {C}}^{m}$ 可微的。此外，函数

$\mathbf {V} (\vartheta \circ \psi )$

是类 ${\mathcal {C}}^{m}$ 可微的，因为 $\mathbf {V}$ 是类 ${\mathcal {C}}^{m}$ 可微的。根据引理 2.17，可以得出以下结论

$\mathbf {W} \vartheta =\left(\psi ^{-1}\right)^{*}\mathbf {V} (\vartheta \circ \psi )$

可微分类${\mathcal {C}}^{m}$，因此，根据向量场的可微分性定义，$\mathbf {W}$ 也是如此。$\Box$