可微流形/李代数和向量场李括号

李代数

定义 7.1:

令 $L$ 为 $d$-维实向量空间。 $L$ 被称为 李代数 当且仅当它具有一个函数

$[\cdot ,\cdot ]:L\times L\to L$

使得对于所有 $\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in L$ 和 $b\in \mathbb {R}$ 这三个规则

1. $[\mathbf {u} ,\mathbf {v} +b\mathbf {w} ]=[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]+b[\mathbf {u} ,\mathbf {w} ]$ 和 $[\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} ]=[\mathbf {u} ,\mathbf {w} ]+b[\mathbf {v} ,\mathbf {w} ]$ (双线性)
2. $[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=-[\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]$ (反对称性)
3. $[\mathbf {u} ,[\mathbf {v} ,\mathbf {w} ]]+[\mathbf {w} ,[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]]+[\mathbf {v} ,[\mathbf {w} ,\mathbf {u} ]]=0$ (雅可比恒等式)

成立。

定义 7.2:

设 $L$ 是一个带有 $[\cdot ,\cdot ]$ 的李代数。在 $L$ 的子集，它是一个李代数，且其上的 $[\cdot ,\cdot ]$ 是限制的，被称为 **李子代数**。

向量场李括号

定义 7.3:

设 $M$ 是一个类为 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形。我们定义 **向量场李括号**，用 $[\cdot ,\cdot ]$ 表示，如下所示

$[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\varphi ):=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )$

定理 6.4：如果 $\mathbf {V} ,\mathbf {W}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类向量场在 $M$ 上，那么 $[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类向量场在 $M$ 上（即 $[\cdot ,\cdot ]$ 确实映射到 ${\mathfrak {X}}(M)$）。

证明:

1. 我们证明对于每个 $p\in M$，$[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)\in T(p)M$。令 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 且 $c\in \mathbb {R}$。

1.1 我们证明线性性

${\begin{aligned}{[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]}(p)(\varphi +c\vartheta )&=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} (\varphi +c\vartheta ))-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} (\varphi +c\vartheta ))\\&=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi +c\mathbf {W} \vartheta )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi +c\mathbf {V} \vartheta )\\&=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )+c(\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \vartheta )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \vartheta ))\\&=[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\varphi )+c[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\vartheta )\end{aligned}}$

1.2 我们证明乘积规则

${\begin{aligned}{[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]}(p)(\varphi \vartheta )&=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} (\varphi \vartheta ))-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} (\varphi \vartheta ))\\&=\mathbf {V} (p)(\varphi \mathbf {W} \vartheta +\vartheta \mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\varphi \mathbf {V} \vartheta +\vartheta \mathbf {V} \varphi )\\&=\mathbf {V} (p)(\varphi \mathbf {W} \vartheta )+\mathbf {V} (p)(\vartheta \mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\varphi \mathbf {V} \vartheta )-\mathbf {W} (p)(\vartheta \mathbf {V} \varphi )\\&=\varphi (p)\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \vartheta )+\overbrace {\mathbf {(} Y\vartheta )(p)} ^{=Y(p)(\vartheta )}\mathbf {V} (p)(\varphi )+\vartheta (p)\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi )+\overbrace {\mathbf {(} Y\varphi )(p)} ^{=Y(p)(\varphi )}\mathbf {V} (p)(\vartheta )\\&~~~~-\varphi (p)\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \vartheta )-\overbrace {\mathbf {(} X\vartheta )(p)} ^{=X(p)(\vartheta )}\mathbf {W} (p)(\varphi )-\vartheta (p)\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )-\overbrace {\mathbf {(} X\varphi )(p)} ^{=X(p)(\varphi )}\mathbf {W} (p)(\vartheta )\\&=\varphi (p)\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \vartheta )-\varphi (p)\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \vartheta )+\vartheta (p)\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi )-\vartheta (p)\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )\\&=\varphi (p)[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\vartheta )+\vartheta (p)[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\varphi )\end{aligned}}$

2. 我们证明 $[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类的可微函数。

令 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 是任意函数。由于 $\mathbf {V} ,\mathbf {W}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类向量场，所以 $\mathbf {V} \varphi$ 和 $\mathbf {W} \varphi$ 都属于 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 。但由于 $\mathbf {V} ,\mathbf {W}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类向量场，所以 $\mathbf {V} (\mathbf {W} \varphi )$ 和 $\mathbf {W} (\mathbf {V} \varphi )$ 都属于 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$。但是，两个可微函数的和仍然可微（这就是定理 2.? 所说的），因此 $[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]\varphi$ 属于 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$，由于 $\varphi$ 是任意的，所以 $[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类可微的。 $\Box$

定理 6.5:

如果 $M$ 是一个流形，并且 $[\cdot ,\cdot ]$ 是向量场的李括号，那么 ${\mathfrak {X}}(M)$ 和 $[\cdot ,\cdot ]$ 共同构成一个李代数。

证明:

1. 首先我们注意到，根据定义 5.？，${\mathfrak {X}}(M)$ 是一个向量空间（这在练习 5.？ 中已经讨论过了）。

2. 其次，我们证明对于向量李括号，定义 6.1 中的三个计算规则都满足。设 $\mathbf {V} ,\mathbf {W} ,\mathbf {U} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 以及 $c\in \mathbb {R}$.

2.1 我们证明双线性。对于所有 $p\in M$ 和 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，我们有

${\begin{aligned}{[\mathbf {V} ,\mathbf {W} +c\mathbf {U} ]}(p)(\varphi )&=\mathbf {V} (p)((\mathbf {W} +c\mathbf {U} )\varphi )-(\mathbf {W} +c\mathbf {U} )(p)(\mathbf {V} \varphi )\\&=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi +c\mathbf {U} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )-c\mathbf {U} (p)(\mathbf {V} \varphi )\\&=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )+c\mathbf {V} (p)(\mathbf {U} \varphi )-c\mathbf {U} (p)(\mathbf {V} \varphi )\\&=[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\varphi )+c[\mathbf {V} ,\mathbf {U} ](p)(\varphi )\end{aligned}}$

因此，由于 $p\in M$ 和 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 是任意的，

$[\mathbf {V} ,\mathbf {W} +c\mathbf {U} ]=[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]+c[\mathbf {V} ,\mathbf {U} ]$

类似地（参见习题 1），可以证明

$[\mathbf {V} +c\mathbf {W} ,\mathbf {U} ]=[\mathbf {V} ,\mathbf {U} ]+c[\mathbf {W} ,\mathbf {U} ]$

2.2 我们证明反对称性。对于所有 $p\in M$ 和 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$

$[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\varphi )=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )=-(\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )-\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi ))=-[\mathbf {W} ,\mathbf {V} ](p)(\varphi )$

2.3 我们证明雅可比恒等式。对于所有 $p\in M$ 和 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$

${\begin{aligned}{[\mathbf {V} ,[\mathbf {W} ,\mathbf {U} ]]}(p)(\varphi )+[\mathbf {U} ,[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]](p)(\varphi )+[\mathbf {W} ,[\mathbf {U} ,\mathbf {V} ]](p)(\varphi )&=\mathbf {V} (p)([\mathbf {W} ,\mathbf {U} ]\varphi )-[\mathbf {W} ,\mathbf {U} ](p)(\mathbf {V} \varphi )\\&~~~~+\mathbf {U} (p)([\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]\varphi )-[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\mathbf {U} \varphi )\\&~~~~+\mathbf {W} (p)([\mathbf {U} ,\mathbf {V} ]\varphi )-[\mathbf {U} ,\mathbf {V} ](p)(\mathbf {W} \varphi )\\&=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} (\mathbf {U} \varphi )-\mathbf {U} (\mathbf {W} \varphi ))-\mathbf {W} (p)(\mathbf {U} (\mathbf {V} \varphi ))+\mathbf {U} (p)(\mathbf {W} (\mathbf {V} \varphi ))\\&~~~~+\mathbf {U} (p)(\mathbf {V} (\mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (\mathbf {V} \varphi ))-\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} (\mathbf {U} \varphi ))+\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} (\mathbf {U} \varphi ))\\&~~~~+\mathbf {W} (p)(\mathbf {U} (\mathbf {V} \varphi )-\mathbf {V} (\mathbf {U} \varphi ))-\mathbf {U} (p)(\mathbf {V} (\mathbf {W} \varphi ))+\mathbf {V} (p)(\mathbf {U} (\mathbf {W} \varphi ))\\&=0\end{aligned}}$

，其中最后一个等式来自$\mathbf {V} (p),\mathbf {W} (p)$和$\mathbf {U} (p)$的线性性。$\Box$