可微流形/向量场、余向量场、张量代数和张量场

可微流形
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在本节中，将介绍向量场、余向量场和张量场的概念。我们还将定义这些概念（向量场、余向量场、张量场）中哪一个可微。然后，我们将展示如何将所有这些东西的适当限制写成由图表诱导的各自空间的基的总和，并且我们将展示基于此总和表达式的一个既充分又必要的可微性条件。

向量场

定义 5.1:

令 $M$ 是一个流形，令 $O\subseteq M$ 是开放的，并令

\mathbf {X} :O\to TM

是一个从 $O$ 到 $M$ 的切丛的函数，使得

\forall p\in O:\mathbf {X} (p)\in T_{p}M

那么我们称 $\mathbf {X}$ 是 $O$ 上的 **向量场**。

如果 $\mathbf {X} :O\to TM$ 和 $\mathbf {Y} :U\to TM$ 是两个向量场，并且 $c\in \mathbb {R}$ ，我们定义

\mathbf {X} +c\mathbf {Y} :O\cap U\to TM,(\mathbf {X} +c\mathbf {Y} )(p):=\mathbf {X} (p)+c\mathbf {Y} (p)

我们用 ${\mathfrak {X}}(M)$ 表示 $M$ 上所有向量场的集合。

定义 5.2:

设 $M$ 为 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，设 $O\subseteq M$ 为开集，设 $\mathbf {X}$ 为 $O$ 上的向量场，设 $0\leq k\leq n$ 。我们称 $\mathbf {X}$ 为 ** ${\mathcal {C}}^{k}$ 类可微** 当且仅当对所有 $\varphi :U\to \mathbb {R}$ 在 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 中，函数

\mathbf {X} \varphi :O\cap U\to \mathbb {R} ,\mathbf {X} \varphi (p):=\mathbf {X} (p)(\varphi )

包含在 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 中。

所有 ${\mathcal {C}}^{k}$ 类向量场的集合记为 ${\mathfrak {X}}^{k}(M)$ 。

引理 5.4:

设 $M$ 为 $d$ 维 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，并且 $(O,\phi )$ 包含在其图册中。那么，向量场

p\mapsto \left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p},j\in \{1,\ldots ,d\}

是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类的可微函数。

证明:

令 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 。那么我们有

\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\varphi (p)=\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\phi (p))

现在令 $(V,\theta )$ 是 $M$ 图集中的另一个图。那么函数

\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)\varphi {\big |}_{O\cap U\cap V}\circ \theta |_{O\cap U\cap V}^{-1}=\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})\circ (\phi |_{O\cap U\cap V}\circ \theta |_{O\cap U\cap V}^{-1})

是光滑的，因为它是光滑函数的复合。 $\Box$

如果 $M$ 是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类的流形，我们甚至有，由于 $\mathbf {X} (p)$ 包含在 $T_{p}M$ 中，对于所有 $p\in O$ ，如果 $q\in O$ 周围的图由 $\theta :U\to \theta (U)\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 给出，那么对于所有 $p\in O\cap U$

\mathbf {X} (p)=\sum _{j=1}^{d}x_{j}(p)\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}~~~~~(*)

其中

x_{j}:U\cap O\to \mathbb {R}

是来自 $U\cap O$ 到 $\mathbb {R}$ 的函数。这源于第 2 章，我们根据该节的两个定理得出，

\left\{\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}{\Bigg |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}

是 $T_{p}M$ 的基底，其中 $p\in O$ .

定理 5.5:

设 $\mathbf {X}$ 是 $d$ 维 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 流形 $M$ 的开子集 $U$ 上的向量场，并且令 $(O,\phi )$ 包含在 $M$ 的图集中。那么向量场 $\mathbf {X} |_{O\cap U}$ 是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微，当且仅当所有 $x_{j},j\in \{1,\ldots ,d\}$ （如上式 $(*)$ 定义）包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 中。

证明:

1.) 我们证明如果所有 $\mathbf {V} _{\phi ,j}$ 由 $(*)$ 定义，包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 中，那么 $\mathbf {V}$ 是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微。

这是因为，如果 $\varphi$ 包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 中，那么由于引理 5.4 和定理 2.24，该函数的所有被加数

\sum _{j=1}^{d}\mathbf {V} _{\phi ,j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)\varphi

是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微的。根据定理 2.23 和归纳法，我们可以得出该函数本身也是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微的。根据 $(*)$ ，该函数与 $\mathbf {V}$ 相同。

2.) 我们证明如果 $\mathbf {V}$ 是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微的，那么由 $(*)$ 定义的 $V_{\phi ,j}$ 也是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微的。

根据引理 2.3，如果我们写出 $\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$ ，函数 $\phi _{k}:M\to \mathbb {R}$ ， $k\in \{1,\ldots ,d\}$ 包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 中。

根据 $\mathbf {V}$ 的 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微的定义，我们有以下函数：

\mathbf {V} \phi _{k},k\in \{1,\ldots ,d\}

包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 中。但是根据 $(*)$ 和引理 2.4，我们对所有 $p\in O\cap U$ 有

{\begin{aligned}\mathbf {V} \phi _{k}(p)&=\mathbf {V} _{\phi ,j}(p)\sum _{j=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\phi _{k})\\&=\mathbf {V} _{\phi ,j}(p)\end{aligned}}

因此

\mathbf {V} \phi _{k}=\mathbf {V} _{\phi ,j}

, 其中由于这两个函数相等，并且其中一个函数是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微的，它们都是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微的。 $\Box$

余向量场

定义 5.6:

令 $M$ 是一个流形，令 $O\subseteq M$ 是开放的，并令

\alpha :O\to TM^{*}

是从 $O$ 到 $M$ 的余切丛的函数，使得

\forall p\in O:\alpha (p)\in T_{p}M^{*}

然后我们称 $\alpha$ 为 $O$ 上的 **余向量场**。

定义 5.7:

设 $M$ 为一个流形，设 $O\subseteq M$ 为开集，设 $\alpha :O\to TM^{*}$ 为一个余向量场。然后我们称 $\alpha$ 为 ** ${\mathcal {C}}^{k}$ 类可微**，当且仅当对于所有 ${\mathcal {C}}^{k}$ 类可微的向量场 $\mathbf {X} :U\to TM$ ，函数

\alpha \mathbf {X} :O\cap U\to \mathbb {R} ,\alpha \mathbf {X} (p):=\alpha (p)(\mathbf {V} (p))

包含在 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 中。

引理 5.9:

设 $M$ 为一个 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，并且 $(O,\phi )$ 包含在其图集中。那么余向量场

p\mapsto (d\phi _{j}),j\in \{1,\ldots ,d\}

是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类的可微函数。

证明:

令 $\mathbf {V}$ 为 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微函数，并令 $j\in \{1,\ldots ,d\}$ 。根据引理 2.3，函数 $\phi _{j}$ 为 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微函数。由于 $\mathbf {V}$ 为 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微函数，因此

\mathbf {V} \phi _{j}=d\phi _{j}\mathbf {V}

为 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微函数（最后一个等式源于 $d\phi _{j}$ 的定义）。 $\Box$

如果 $M$ 是一个类 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 的流形，我们甚至有，因为 $\alpha (p)$ 包含在 $T_{p}M^{*}$ 中，对于所有 $p\in O$ ，如果围绕 $q\in O$ 的图表由 $\theta :U\to \theta (U)\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 给出，那么对于所有 $p\in O\cap U$

\alpha (p)=\sum _{j=1}^{d}x_{j}^{*}(p)(d\varphi _{j})_{p}~~~~~(**)

其中

x_{j}^{*}:U\cap O\to \mathbb {R}

是来自 $U\cap O$ 到 $\mathbb {R}$ 的函数。这来自第 2 章，我们在那里根据本章的两个定理指出

\left\{(d\phi _{j})_{p}{\big |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}

是 $T_{p}M^{*}$ 的基，对于 $p\in O$ 。

定理 5.10:

令 $\alpha :O\to TM^{*}$ 为 $d$ 维 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 流形 $M$ 上的协向量场。那么 $\alpha$ 是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微的，当且仅当所有在方程 $(**)$ 中定义的 $x_{j}^{*}$ ， $j\in \{1,\ldots ,d\}$ ，都包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 中。

证明:

1.) 我们证明，由 $(**)$ 定义的 $\alpha _{\phi ,j}$ 的 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微性意味着 $\alpha$ 的可微性。

令 $\mathbf {V}$ 为 $M$ 上的向量场，该向量场是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 类可微的。根据引理 5.9 和定理 2.24，函数

\sum _{j=1}^{d}\alpha _{\phi ,j}d\phi _{j}\mathbf {V}

包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 中。因此，根据定理 2.23 和归纳法，该函数本身也包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 中。但根据 $(**)$ ，该函数等于 $\alpha \mathbf {V}$ 。

2.) 我们证明，如果 $\alpha$ 可微，那么由 $(**)$ 定义的 $\alpha _{\phi ,j}$ ， $j\in \{1,\ldots ,d\}$ 也是可微的。

根据引理 5.4，对于 $k\in \{1,\ldots ,d\}$ ，向量场 $\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)$ 是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 可微的。因此，由于 $\alpha$ 的可微性，函数