可微流形/积分曲线和李导数

积分曲线

定义 8.1:

设 $M$ 为一个流形，设 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$，并设 $I\subseteq \mathbb {R}$ 为一个区间。$\mathbf {V}$ 的积分曲线 是一个函数 $\gamma :I\to M$，使得

$\forall x\in I:\gamma _{x}'=\mathbf {V} (\gamma (x))$

定理 8.2:

令 $M$ 为 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，$n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$（重要的是 $n\geq 1$），令 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 为 ${\mathcal {C}}^{j}$ 类可微向量场，$j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$，并令 $p\in M$。那么存在一个区间 $I\subseteq \mathbb {R}$ 和 $\mathbf {V}$ 的一条积分曲线 $\gamma :I\to M$，使得 $0\in I$ 且 $\gamma (0)=p$.

证明:

令 $p\in M$ 为任意点，令 $(O,\phi )$ 为 $M$ 的图集中包含的图，使得 $p\in O$.

引理 2.3 指出，如果我们记 $\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$，则 $\phi _{k}$，$k\in \{1,\ldots ,d\}$ 包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 中。由于 $\mathbf {V}$ 是 ${\mathcal {C}}^{j}$ 类可微的，其中 $j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$，因此函数 $\mathbf {V} \phi _{k}$，$k\in \{1,\ldots ,d\}$ 包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 中。

因此，皮卡德-林德洛夫定理 适用，它告诉我们，每个初值问题

$y_{k}'(x)=(\mathbf {V} \phi _{k}\circ y_{k})(x)$，$k\in \{1,\ldots ,d\}$

$y_{k}(0)=\phi _{k}(p)$

有一个解 $y_{k}:I_{k}\to \mathbb {R}$，其中每个 $I_{k}\subseteq \mathbb {R}$ 是包含零的区间。现在我们选择

$I:=\bigcap _{k=1}^{d}I_{k}$

和

$\gamma :I\to M,\gamma (x):=\phi ^{-1}(y_{1}(x),\ldots ,y_{d}(x))$

我们注意到

$(\phi _{k}\circ \gamma )(x)=\phi _{k}(\phi ^{-1}(y_{1}(x),\ldots ,y_{d}(x)))=\phi (\phi ^{-1}(y_{1}(x),\ldots ,y_{d}(x)))_{k}=y_{k}(x)$

因此对于每个 $x\in I$ 和 $k\in \{1,\ldots ,d\}$

$\gamma _{x}'(\phi _{k})=(\phi _{k}\circ \gamma )'(x)=y_{k}'(x)=(\mathbf {V} \phi _{k}\circ \gamma )(x)=\mathbf {V} (\gamma (x))(\phi _{k})$

根据定理 2.7，可以得出

$\gamma '_{x}=\sum _{k=1}^{d}\gamma _{x}'(\phi _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{\phi ^{-1}(x)}=\sum _{k=1}^{d}\mathbf {V} (\phi ^{-1}(x))(\phi _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{\phi ^{-1}(x)}=\mathbf {V} (\gamma (x))$$\Box$

李导数

在接下来的内容中，我们将定义所谓的李导数，用于

• ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函数和
• 向量场。

定义 8.3:

设 $M$ 为 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，$\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 且 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$。$\varphi$ 在 $\mathbf {V}$ 方向上的 **李导数**，记为 ${\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\varphi$，定义如下

${\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\varphi :M\to \mathbb {R} ,{\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\varphi (p):=\mathbf {V} \varphi (p)$

定义 8.4:

设 $M$ 为一个流形，且 $\mathbf {V} ,\mathbf {W} \in {\mathfrak {X}}(M)$。**$\mathbf {W}$ 在 $\mathbf {V}$ 方向上的李导数**，记为 ${\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\mathbf {W}$，定义如下

${\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\mathbf {W} :M\to TM,L_{\mathbf {V} }\mathbf {W} (p):=[V,W](p)$

因此，我们只是定义了函数在向量场方向上的李导数，就像定义 5.1 中定义的那样，以及向量场在另一个向量场方向上的李导数，即第一个向量场的李括号，然后是另一个向量场（这里顺序很重要，因为李括号是反对称的（参见定理？和定义？)）。由于我们已经有了这些符号，为什么我们还要定义新的符号呢？原因是，在某些情况下，李导数实际上是微分商的极限意义上的导数，这将在下一章中解释。