可微流形/子流形

在本章中，我们将展示子流形是什么，以及如何在满足条件的情况下，从某些 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函数中获得子流形。

子流形的定义

定义 4.1:

令 $M$ 为 $d$ 维 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，令 $A$ 为其极大图谱。如果 $m\in \{1,\ldots ,d\}$，我们称子集 $N\subseteq M$ 为 **$m$ 维子流形**，当且仅当 $m$ 是 $\{1,\ldots ,d\}$ 中最大的数，使得对于每个 $p\in N$ 存在 $(O,\phi )\in A$ 使得 $p\in O$ 并且

$\phi (O\cap N)\subseteq \{(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}|x_{d-m+1}=x_{d-m+2}=\ldots =x_{d}=0\}$

如何从一组特定函数中获得子流形

引理 4.2：令 $M$ 为 $d$ 维的 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其图集为 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，令 $A$ 为其最大图集，令 $(O,\phi )\in A$，令 $V\subseteq O$ 是 $O$ 的一个开子集。则 $(V,\phi |_{V})\in A$。

证明:

1. 我们证明 $\phi |_{V}:V\to \phi (V)$ 是一个图。

由于同胚的限制仍然是同胚，并且如果 $V\subseteq O$ 是开放的，则 $\phi (V)$ 在 $\phi (O)$ 中是开放的，因为 $\phi$ 是一个同胚，并且进一步地，由于子空间拓扑的定义，并且由于 $\phi (V)$ 在 $\phi (O)$ 中是开放的，我们有 $\phi (V)=W\cap \phi (O)$ ，其中 $W\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是一个开放集，因此 $\phi (V)$ 在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中是开放的，因为它是两个开放集的交集。

2. 我们证明 $\phi |_{V}$ 与所有 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 兼容。

令 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 。

我们有

$\theta |_{V\cap U}\circ (\phi |_{V})|_{V\cap U}^{-1}=(\theta |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1})|_{\phi (V\cap U)}$

以及

$(\phi |_{V})|_{V\cap U}\circ \theta ^{-1}|_{V\cap U}=(\phi |_{O\cap U}\circ \theta |_{O\cap U}^{-1})|_{\theta (V\cap U)}$

, 可以通过直接计算来验证。但这些是 $n$-阶可微的（如果 $n=0$，则为连续的），因为它们是 $n$-阶可微（如果 $n=0$，则为连续的）函数的限制；这是因为 $\theta$ 和 $\phi$ 是相容的。根据 ${\mathcal {C}}$ 和 ${\mathcal {C}}$ 的定义，引理得证。$\Box$

引理 4.3：设 $M$ 是一个 $d$-维 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其图集为 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，设 $A$ 是其最大图集，设 $(O,\phi )\in A$，设 $\Phi :\phi (O)\to \mathbb {R} ^{d}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类的微分同胚。那么我们有：$(O,\Phi \circ \phi )\in A$.

证明:

1. 我们证明 $\Phi \circ \phi$ 是一个图表。

根据 域不变性，并且由于 $\phi (O)$ 在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中是开放的，因为 $\phi$ 是一个图表，$(\Phi \circ \phi )(O)$ 在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中是开放的。此外，$\Phi$ 和 $\phi$ 是同胚（$\Phi$ 是同胚，因为每个微分同胚都是同胚），因此，$\Phi \circ \phi$ 也是一个同胚。因此，$\Phi \circ \phi$ 是一个图表。

2. 我们证明 $\Phi \circ \phi$ 与所有 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 兼容。

令 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 。

我们有

$\theta |_{U\cap O}\circ (\Phi \circ \phi )|_{U\cap O}^{-1}=\theta |_{U\cap O}\circ \phi |_{U\cap O}^{-1}\circ \Phi |_{\phi (O\cap U)}^{-1}$

并且

$(\Phi \circ \phi )|_{U\cap O}\circ \theta |_{U\cap O}^{-1}=\Phi |_{\phi (O\cap U)}\circ \phi |_{O\cup U}\circ \theta |_{U\cap O}^{-1}$

这些函数是 $n$-阶可微的（如果 $n=0$，则为连续的），因为它们是函数的复合函数，这些函数是 $n$-阶可微的（如果 $n=0$，则为连续的）；这是因为 $\phi$ 和 $\theta$ 是兼容的。根据 ${\mathcal {C}}^{n}((\Phi \circ \phi )(O),\mathbb {R} ^{d})$ 和 ${\mathcal {C}}^{n}(\psi (O),\mathbb {R} ^{d})$ 的定义，我们完成了这个引理的证明。$\Box$

定理 4.4:

令 $M$ 是一个 $d$ 维 ${\mathcal {C}}^{n}$ 类流形，其中 $n$ 必须是 $\geq 1$，具有最大图集 $A$，令 $m\in \{1,\ldots ,d\}$ 并且令 $f_{1},\ldots ,f_{m}\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$（记住定义 1.5）。如果对于每一个 $p\in N$ 都存在 $(O,\phi )\in A$ 使得 $p\in O$ 并且矩阵

${\begin{pmatrix}\left(\partial _{x_{1}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{d}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left(\partial _{x_{1}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{d}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\end{pmatrix}}$

秩为$m$，那么集合 $\left\{q\in M|f_{1}(q)=\ldots =f_{m}(q)=0\right\}$是$M$ 的维数为 $d-m$ 的子流形。

证明:

由于矩阵

${\begin{pmatrix}\left(\partial _{x_{1}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{d}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left(\partial _{x_{1}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{d}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\end{pmatrix}}$

秩为$m$，它有 $m$ 线性无关的列（这是线性代数中的一个定理）。因此，存在一个排列$\sigma :\{1,\ldots ,d\}\to \{1,\ldots ,d\}$，使得矩阵的最后 $m$ 列

${\begin{pmatrix}\left(\partial _{x_{\sigma (1)}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{\sigma (d)}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left(\partial _{x_{\sigma (1)}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{\sigma (d)}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\end{pmatrix}}$

因此，$d\times d$ 矩阵

${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&0&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0&0&&&\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0&&&\\0&0&\cdots &0&1&0&\cdots &0\\\left(\partial _{x_{\sigma (1)}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&&\cdots &&&&\cdots &\left(\partial _{x_{\sigma (d)}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\\vdots &&&&\ddots &&&\vdots \\\left(\partial _{x_{\sigma (1)}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&&\cdots &&&&\cdots &\left(\partial _{x_{\sigma (d)}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\end{pmatrix}}$

可逆（可以使用归纳法和拉普拉斯公式证明其转置的逆矩阵）。但该矩阵是函数$\Phi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}$的雅可比矩阵，其定义为

$\Phi (x_{1},\ldots ,x_{d})={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{d-m}\\(f_{1}\circ \phi ^{-1})(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (d)}\\\vdots \\(f_{m}\circ \phi ^{-1})(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (d)})\end{pmatrix}}$

在$\phi (p)$处的。根据逆函数定理，存在一个开集$V\subseteq \mathbb {R} ^{d}$，使得$\phi (p)\in V$ 且 $\Phi |_{V}$ 是一个微分同胚。

由于 $\phi$ 是一个同胚，特别是连续的，$\phi ^{-1}(V)$ 是 $O$ 的一个开子集。根据引理 4.2，$(\phi ^{-1}(V),\phi |_{\phi ^{-1}(V)})\in A$。根据引理 4.3，$(\phi ^{-1}(V),\Phi \circ \phi |_{\phi ^{-1}(V)})\in A$。但对于 $q$ 满足 $f_{1}(q)=\ldots =f_{m}(q)=0$ 也成立

$\Phi \circ \phi |_{\phi ^{-1}(V)}(q)=(\phi _{1}(q),\ldots ,\phi _{d-m}(q),f_{1}(q),\ldots ,f_{m}(q))=(\phi _{1}(q),\ldots ,\phi _{d-m}(q),0,\ldots ,0)$

因此，$\left\{q\in M|f_{1}(q)=\ldots =f_{m}(q)=0\right\}$ 是一个维度为 $d-m$ 的子流形。$\Box$

来源

• Torres del Castillo, Gerardo (2012). Differentiable Manifolds. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-8271-2.