控制系统/Jury 测试

数字系统中的劳斯-赫维茨判据

由于 Z 域和 S 域之间的差异，劳斯-赫维茨判据不能直接用于数字系统。这是因为数字系统和连续时间系统具有不同的稳定性区域。但是，有一些方法可以用于分析数字系统的稳定性。我们的第一个选择（可以说不是一个很好的选择）是使用双线性变换将数字系统转换为连续时间表示。双线性变换将 Z 域中的方程转换为 W 域中的方程，该方程具有类似于 S 域的属性。另一种可能性是使用Jury 稳定性测试。Jury 测试类似于 RH 测试，但经过修改以直接分析 Z 域中的数字系统。

双线性变换

一种常见但耗时的分析 z 域中数字系统稳定性的方法是使用双线性变换将传递函数从 z 域转换为 w 域。w 域类似于 s 域，方式如下：

• 右半平面中的极点是不稳定的
• 左半平面中的极点是稳定的
• 虚轴上的极点是部分稳定的

然而，w 域相对于 s 域是扭曲的，除了极点相对于虚轴的相对位置外，它们的位置与它们在 s 域中的位置不同。

然而，请记住，劳斯-赫维茨判据可以告诉我们一个极点是否不稳定，而不会告诉我们其他信息。因此，只要极点位于正确的半平面，它的确切位置并不重要。由于我们知道稳定极点位于 w 平面和 s 平面的左侧，不稳定极点位于两个平面的右侧，因此我们可以使用 w 域中的函数进行劳斯-赫维茨测试，就像我们在 s 域中一样。

其他映射

还有一些其他方法可以将 Z 域中的方程映射到 S 域或类似域中的方程。我们将讨论这些不同的方法在附录中。

Jury 测试

Jury 测试与劳斯-赫维茨判据类似，但它可以用于分析 Z 域中 LTI 数字系统的稳定性。为了使用 Jury 测试来确定数字系统是否稳定，我们必须根据一些特定的规则和要求检查我们的 z 域特征方程。如果函数未通过任何要求，则它是不稳定的。如果函数通过了所有要求，则它是稳定的。Jury 测试是数字系统稳定性的必要且充分的测试。

同样，我们称 D(z) 为系统的特征多项式。它是 Z 域传递函数的分母多项式。Jury 测试将完全关注特征多项式。要执行 Jury 测试，我们必须对系统执行许多较小的测试。如果系统未通过任何测试，则它是不稳定的。

Jury 测试

给定一个特征方程，其形式为：

$D(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{N}z^{N}$

以下测试确定该系统是否在单位圆之外存在任何极点（不稳定区域）。这些测试将使用 N 的值作为特征多项式的次数。

系统必须通过所有这些测试才能被认为是稳定的。如果系统未通过任何测试，则可以立即停止：无需尝试任何其他测试。

规则 1

如果 z 为 1，则系统输出必须为正

$D(1)>0$

规则 2

如果 z 为 -1，则以下关系必须成立

$(-1)^{N}D(-1)>0$

规则 3

常数项 (a₀) 的绝对值必须小于最高系数 (a_N) 的值

$|a_{0}|<|a_{N}|$

如果规则 1、规则 2和规则 3得到满足，则构造Jury 数组（如下所述）。

规则 4

一旦 Jury 数组形成，所有以下关系必须得到满足，直到数组结束

$|b_{0}|>|b_{N-1}|$

$|c_{0}|>|c_{N-2}|$

$|d_{0}|>|d_{N-3}|$

以此类推，直到数组的最后一行。如果所有这些条件都满足，则系统稳定。

在构建 Jury 数组时，你可以进行 **规则 4** 的测试。如果数组在任何点上不满足 **规则 4**，你可以停止计算数组：你的系统不稳定。我们将在下面讨论 Jury 数组的构建。

Jury 数组

Jury 数组的构建方法是，首先写出一行系数，然后写出另一行，系数顺序相反。例如，如果你的多项式是三阶系统，我们可以写出 Jury 数组的前两行，如下所示：

${\overline {\underline {\begin{matrix}z^{0}&z^{1}&z^{2}&z^{3}&\ldots &z^{N}\\a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{N}\\a_{N}&\ldots &a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{matrix}}}}}$

现在，一旦我们写出第一行系数，我们再添加一行系数（我们将使用 **b** 表示这一行，**c** 表示下一行，按照我们之前的约定），我们将根据上面几行的值来计算下面几行的值。我们添加的每一行都比前一行少一个系数。

${\overline {\underline {\begin{matrix}1)&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{N}\\2)&a_{N}&\ldots &a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\3)&b_{0}&b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{N-1}\\4)&b_{N-1}&\ldots &b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\2N-3)&v_{0}&v_{1}&v_{2}\end{matrix}}}}$

注意：最后一行是 (2N-3) 行，始终有 3 个元素。如果 N=1，则此测试没有意义，但在这种情况下，你已经知道极点！

一旦我们得到一个只有 2 个成员的行，我们就可以停止构建数组。

要计算奇数行的值，我们可以使用以下公式。偶数行等于上一行反转顺序。我们将使用 k 作为任意下标值。这些公式可以重复用于数组中的所有元素

$b_{k}={\begin{vmatrix}a_{0}&a_{N-k}\\a_{N}&a_{k}\end{vmatrix}}$

$c_{k}={\begin{vmatrix}b_{0}&b_{N-1-k}\\b_{N-1}&b_{k}\end{vmatrix}}$

$d_{k}={\begin{vmatrix}c_{0}&c_{N-2-k}\\c_{N-2}&c_{k}\end{vmatrix}}$

如果需要，可以将此模式继续应用到数组的所有下面几行。

示例：计算 e₅

给出陪审团阵列成员 e₅ 的方程（假设原始多项式足够大，需要 e₅ 成员）。

从我们上面设置的模式来看，我们可以得到成员 e 的方程

$e_{k}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-R-k}\\d_{N-R}&d_{k}\end{vmatrix}}$

其中我们使用 R 作为上面方程的减法元素。由于行 c 有 R → 1，行 d 有 R → 2，我们可以遵循模式，对于行 e 设置 R → 3。将这个 R 值代入我们上面的方程，得到

$e_{k}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-3-k}\\d_{N-3}&d_{k}\end{vmatrix}}$

由于我们想要 e₅，我们知道 k 是 5，所以我们可以将它代入方程

$e_{5}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-3-5}\\d_{N-3}&d_{5}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-8}\\d_{N-3}&d_{5}\end{vmatrix}}$

当我们取行列式时，我们得到以下方程

$e_{5}=d_{0}d_{5}-d_{N-8}d_{N-3}$

进一步阅读

我们将在附录中讨论双线性变换和其他在拉普拉斯域和 Z 域之间转换的方法

• Z 变换映射

← 劳斯-赫维茨判据

控制系统

根轨迹 →