FHSST 物理学/动量/冲量

本章开头提到，动量与力密切相关。现在我们将解释这种联系的性质。

考虑一个质量为 m 的物体，以恒定加速度 ${\overrightarrow {a}}$ 运动。在时间 $\Delta$t 内，物体的速度从初速度 ${\overrightarrow {u}}$ 变为末速度 ${\overrightarrow {v}}$（参见图 6.3）。我们从牛顿第一定律知道，一定有一个合力 ${\overrightarrow {F}}_{Res}$ 作用于该物体。

图 6.3：一个物体在合力的作用下。

从牛顿第二定律出发，

${\begin{matrix}{\overrightarrow {F}}_{Res}&=&m{\overrightarrow {a}}\\&=&m({\frac {{\overrightarrow {v}}-{\overrightarrow {u}}}{\Delta t}})\qquad \qquad {\rm {{since}\qquad {\overrightarrow {a}}={\frac {{\overrightarrow {v}}-{\overrightarrow {u}}}{\Delta t}}}}\\&=&{\frac {m{\overrightarrow {v}}-m{\overrightarrow {u}}}{\Delta t}}\\&=&{\frac {{\overrightarrow {p}}_{final}-{\overrightarrow {p}}_{initial}}{\Delta t}}\\&=&{\frac {\Delta {\overrightarrow {p}}}{\Delta t}}\end{matrix}}$

这种牛顿第二定律的另一种形式被称为动量定律。

数学上，

${\overrightarrow {F}}_{Res}={\frac {\Delta {\overrightarrow {p}}}{\Delta t}}$
${\overrightarrow {F}}_{Res}$	: 合力 (N + 方向)
$\Delta {\overrightarrow {p}}$	: 动量变化 ($kg.m.s^{-1}$ + 方向)
$\Delta$t	: ${\overrightarrow {F}}_{Res}$ 作用的时间 (s)

重新整理动量定律,

${\begin{matrix}{\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t&=&\Delta {\overrightarrow {p}}.\end{matrix}}$

乘积 ${\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t$ 称为冲量,

$\mathrm {Impulse} \equiv {\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t=\Delta {\overrightarrow {p}}$

从这个方程式中我们可以看到，对于给定的动量变化，${\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t$ 是固定的。因此，如果 F_Res 减小，$\Delta t$ 必须增加（即合力必须作用更长时间）。或者，如果 $\Delta t$ 减小（即合力作用时间更短），则合力必须增加才能产生相同的动量变化。

例题 36 冲量和动量变化

问题：一个 150   N 的合力作用在一个 300   kg 的物体上。计算此力使物体速度从 $2\ m.s^{-1}\ to\ the\ right$ 改变到 $6\ m.s^{-1}\ to\ the\ right$ 所需的时间。

答案

步骤 1 

分析问题以确定已知条件。问题明确给出

• 物体的质量，
• 物体的初速度，
• 物体的末速度，以及
• 作用在物体上的合力

所有都以正确的单位给出！

步骤 2 

要求计算什么？我们被要求计算使物体从给定的初速度加速到末速度所需的时间 $\Delta t$。根据动量定律，

${\begin{matrix}{\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t&=&\Delta {\overrightarrow {p}}\\&=&m{\overrightarrow {v}}-m{\overrightarrow {u}}\\&=&m({\overrightarrow {v}}-{\overrightarrow {u}}).\end{matrix}}$

因此，我们拥有寻找 $\Delta t$ 所需的一切！

步骤 3

首先，我们选择一个正方向。虽然没有明确说明，但合力向右作用。这是由于物体在这个方向上的速度增加。因此，我们选择右为正方向。

步骤 4

代入，

右为正方向

${\begin{matrix}{\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t&=&m({\overrightarrow {v}}-{\overrightarrow {u}})\\(+150N)\Delta t&=&(300kg)((+6{\frac {m}{s}})-(+2{\frac {m}{s}}))\\(+150N)\Delta t&=&(300kg)(+4{\frac {m}{s}})\\\Delta t&=&{\frac {(300kg)(+4{\frac {m}{s}})}{+150N}}\\\Delta t&=&8s\end{matrix}}$

实例 37 计算冲量

问题： 一个重量为 156 克的板球以 54 公里/小时的速度向一名击球手移动。击球手将其击回给投球手，速度为 36 公里/小时。计算 i) 球的冲量，以及 ii) 球与球棒接触 0.13 秒时球棒施加的平均力。

答案

步骤 1 

分析问题以确定已知条件。问题明确给出

• 球的质量，
• 球的初始速度，
• 球的最终速度，以及
• 球棒和球接触的时间

除了时间之外的所有单位都错误！

答案 (i)

步骤 2 

要求什么？要求我们计算冲量

${\begin{matrix}\mathrm {Impulse} =\Delta {\overrightarrow {p}}={\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t.\end{matrix}}$

由于我们没有球棒对球施加的力 (${\overrightarrow {F}}_{Res}$)，我们必须从球的动量变化中计算冲量。现在，由于

${\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {p}}&=&{\overrightarrow {p}}_{final}-{\overrightarrow {p}}_{initial}\\&=&m{\overrightarrow {v}}-m{\overrightarrow {u}},\end{matrix}}$

我们需要球的质量、初始速度和最终速度，这些都已给出。

步骤 3：首先，让我们更改质量的单位

${\begin{matrix}1000g&=&1kg\\1&=&{\frac {1kg}{1000g}}\\156g\times 1&=&156g\times {\frac {1kg}{1000g}}\\&=&0.156kg\end{matrix}}$

步骤 4

接下来我们改变速度的单位。

${\begin{matrix}1km&=&1000m\\1&=&{\frac {1000m}{1km}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}3600s&=&1hr\\1&=&{\frac {1hr}{3600s}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}54{\frac {km}{hr}}\times 1\times 1&=&54{\frac {km}{hr}}\times {\frac {1000m}{1km}}\times {\frac {1hr}{3600s}}\\&=&15{\frac {m}{s}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}36{\frac {km}{hr}}\times 1\times 1&=&36{\frac {km}{hr}}\times {\frac {1000m}{1km}}\times {\frac {1hr}{3600s}}\\&=&10{\frac {m}{s}}\end{matrix}}$

步骤 5

接下来我们必须选择一个正方向。我们选择从击球手到投球手的方向为正方向。那么球的初速度为 ${\overrightarrow {u}}=-15\ m.s^{-1}$，而球的末速度为 ${\overrightarrow {v}}=+10\ m.s^{-1}$

步骤 6

现在我们计算动量的变化

从击球手到投球手的方向是正方向

${\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {p}}&=&{\overrightarrow {p}}_{final}-{\overrightarrow {p}}_{initial}\\&=&m{\overrightarrow {v}}-m{\overrightarrow {u}}\\&=&m({\overrightarrow {v}}-{\overrightarrow {u}})\\&=&(0.156kg)((+10\ m.s^{-1})-(-15\ m.s^{-1}))\\&=&+3.9\ kg.m.s^{-1}\\&=&3.9\ kg.m.s^{-1}\ {\textbf {in\ the\ direction\ from\ batsman\ to\ bowler}}\end{matrix}}$

在最后一步，我们记住了用文字描述动量变化的方向。

步骤 7

最后，由于冲量只是球的动量变化，

${\begin{matrix}\mathrm {Impulse} &=&\Delta {\overrightarrow {p}}\\&=&3.9\ {\mbox{kg}}\cdot {\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-1}\\&=&3.9\ {\mbox{N}}\cdot {\mbox{s}}\ {\textbf {in\ the\ direction\ from\ batsman\ to\ bowler}}\end{matrix}}$

问题 (ii) 的答案

步骤 8

要求我们做什么？我们被要求计算球拍对球施加的平均力，${\overrightarrow {F}}_{Res}$。 现在，

${\begin{matrix}\mathrm {Impulse} ={\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t=\Delta {\overrightarrow {p}}.\end{matrix}}$

我们被告知了$\Delta t$，并且我们在部分 (i) 中计算了球的动量变化或冲量！

步骤 9

接下来我们选择一个正方向。 让我们选择从击球手到投球手的方向作为正方向。 然后代入，

从击球手到投球手的方向是正方向

${\begin{matrix}{\overrightarrow {F}}_{Res}\Delta t&=&\mathrm {Impulse} \\{\overrightarrow {F}}_{Res}(0.13s)&=&+3.9{\frac {kg.m}{s}}\\{\overrightarrow {F}}_{Res}&=&{\frac {+3.9{\frac {{\mbox{kg}}\cdot {\mbox{m}}}{\mbox{s}}}}{0.13{\mbox{ s}}}}\\&=&30{\mbox{ N}}\ {\textbf {in\ the\ direction\ from\ batsman\ to\ bowler}}\end{matrix}}$

在最后一步中，我们记得用文字包含力的方向。