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页面 命题语言 简要介绍了英语和 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 命题字母之间的翻译。我们在这里更详细地看一下。

英语命题连接词

在接下来的讨论中，我们将假设将以下英语句子分配给 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 命题字母

$\mathrm {P} \,:\,\!$  2 是一个质数。

$\mathrm {Q} \,:\,\!$  2 是一个偶数。

$\mathrm {R} \,:\,\!$  3 是一个偶数。

非

将 $\lnot \,\!$ 翻译成英语的规范方式是 “并非是……的情况”。根据上面的分配，

(1)    $\lnot \mathrm {P} \,\!$

翻译成英语为

并非是 2 是一个质数的情况。

但我们通常用 “不是” 或在单词末尾添加缩略词 “n't” 来表达英语中的否定。因此 (1) 也可以翻译成以下任何一种：

2 不是一个质数。

2 不是一个质数。

如果

将 $\rightarrow \,\!$ 翻译成英语的规范方式是 “如果……那么……”。因此

(2)    $\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

翻译成英语为

(3)    如果 2 是一个质数，那么 2 是一个偶数。

人们对规范翻译提出了异议，我们的例子可能说明了这个问题。将 (3) 视为真可能看起来很奇怪；然而，我们的语义规则确实将 (2) 视为真（因为 $\mathrm {P} \,\!$ 和 $\mathrm {Q} \,\!$ 都是真的）。我们可能期望，如果一个条件语句及其前提为真，则结论为真，因为前提为真。也许我们期望一个一般规则

(4)    如果 x 是一个素数，那么 x 是一个偶数

为真——但这条规则显然是假的。无论如何，我们通常期望前提的真值（如果它确实是真）在某种程度上与结论的真值相关（如果结论确实是真）。(2) 是一个数字是素数与一个数字是偶数之间通常相关性的例外。

$\rightarrow \,\!$ 的条件语句 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 被称为实质条件，以区别于严格条件或反事实条件。相关逻辑试图定义一个满足这些异议的条件语句。另请参阅斯坦福哲学百科全书关于相关逻辑的条目。

今天人们普遍接受，并非表达式的所有语言使用方面都是其语言意义的一部分。有些人认为，将“如果”解释为实质条件的异议是基于会话含义，因此不是基于“如果”的意义。有关更多信息，请参阅斯坦福哲学百科全书关于会话含义的条目。我们将采用这种观点，因为它更多的是一种简化假设，而不是其他什么。我们也可以指出，为了有用，翻译不必完全准确。即使我们的简化假设是错误的，$\rightarrow \,\!$ 仍然是 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 中最接近“如果”的表达式。还应该注意的是，在数学陈述和证明中，数学家总是将“如果”用作实质条件。他们接受 (2) 和 (3) 作为彼此的翻译，并且不认为将 (3) 视为真有任何奇怪之处。

“如果”可以出现在条件语句的开头或中间。“那么”可以省略。因此，以下两者（除了 (3) 之外）都翻译成 (2)。

如果 2 是一个素数，那么 2 是一个偶数。

如果 2 是一个素数，那么 2 是一个偶数。

蕴含

我们不将“蕴含”翻译成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$。特别地，我们拒绝

2 是一个素数蕴含 2 是一个偶数。

因为它在语法上是不合法的，因此不能翻译成 (2)。有关更多详细信息，请参阅蕴含部分的有效性。

当且仅当

英语

(5)    2 是一个素数当且仅当 2 是一个偶数

等价于英语

如果 2 不是一个偶数，那么 2 不是一个素数。

反过来，这翻译成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 为

(6)    $\lnot \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {P} \,\!$

我们在条件语句部分的命题联结词的性质中看到，(6) 等价于

(7)    $\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

许多逻辑书籍将此作为 (5) 翻译成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 的首选翻译。这允许使用方便的规则“如果”总是引入一个前提，而“当且仅当”总是引入一个结论。

与“如果”一样，“当且仅当”可以出现在条件语句的第一个位置或中间位置。(5) 等价于

2 是一个素数当且仅当 2 是一个偶数。

只要

“只要”——以及类似的表达，如“鉴于”和“假设”——可以与“如果”等价使用。因此，以下每个都翻译成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ as (2)。

2 是一个偶数，只要 2 是一个质数。

2 是一个偶数，假设 2 是一个质数。

只要 2 是一个质数，2 就是一个偶数。

在“只要”前面加上“只有”，作用与在“如果”前面加上“只有”相同。因此，以下每个都翻译成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ as (6) 或 (7)。

2 是一个质数，只有当 2 是一个偶数的时候。

2 是一个质数，只有假设 2 是一个偶数的时候。

只有当 2 是一个偶数的时候，2 才是质数。

或者

将 $\lor \,\!$ 翻译成英语的规范方法是“[…] 或者 […]”（其中“或者”是可选的）。因此

(8)    $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$

翻译成英语为

(9)    2 是一个质数，或者 2 是一个偶数。

或者

2 是一个质数，或者 2 是一个偶数。

我们在 连接词的可互定义性 部分看到了 可表达性，(8) 等价于

$\lnot \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

就像对理解“如果”为 $\rightarrow \,\!$ 有异议一样，对理解“或者”为 $\lor \,\!$ 也有类似的异议。我们再次做出简化的假设，即我们可以忽略这些异议。

英语中的“或者”既有包含性的，也有——有点争议地——排他性的用法。包含性或 当至少一个析取式为真时为真；排他性或 当且仅当只有一个析取式为真时为真。 $\lor \,\!$ 运算符与包含性用法相匹配。包含性用法在否定中尤为明显。如果布什总统承诺不入侵伊朗或朝鲜，即使是最好的共和党宣传家也不会声称他可以通过入侵两国来信守承诺。对 (9) 的排他性解读翻译成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ as

$(\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\land \lnot (\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\,\!$

或者更简单地（更不直观地）为

$\mathrm {P} \leftrightarrow \lnot \mathrm {Q} \,\!$

在英语中，可以使用“或者”来进行缩略。因此，(8) 翻译为

2 既是一个质数，又是一个偶数。

同样，

$\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} \,\!$

翻译为

2 或者 3 是一个偶数。

除非

“除非”与“如果不是”意思相同。因此

(10)    $\lnot \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} \,\!$

翻译为

(11)    除非 2 是偶数，否则 2 是质数

并且

(12)    除非 2 是偶数，否则 2 是质数。

我们在连词的可互定义性部分的可表达性中看到，(10) 等价于 (8)。许多逻辑书籍将 (8) 作为将 (11) 或 (12) 翻译成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 的首选翻译。

也不

在联合否定部分的可表达性中，我们临时将 $\downarrow \,\!$ 添加到 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 作为联合否定的连词。如果我们仍然可以使用该连词，我们可以将

2 不是质数，也不是偶数

翻译为

$\mathrm {P} \downarrow \mathrm {Q} \,\!$.

然而，由于 $\downarrow \,\!$ 实际上并不在 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 的词汇中，我们需要改写。以下任何一种都可行

(13)    $\lnot (\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\,\!$.

(14)    $(\lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} )\,\!$.

与“或”一样，也适用相同的缩写。

2 既不是质数，也不是偶数

翻译成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 作为 (13) 或 (14) 之一。类似地，

2 和 3 都不是偶数

翻译成以下任一

$\lnot (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )\,\!$.

$(\lnot \mathrm {Q} \land \lnot \mathrm {R} )\,\!$.

并且

将 $\land \,\!$ 翻译成英语的规范方式是“[...] 并且 [...]”（其中“both”是可选的）。因此

(15)    $\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \,\!$

翻译成英语为

2 是一个质数，2 也是一个偶数。

或者

2 既是质数，又是偶数。

我们将“和”翻译成 $\land \,\!$ 并不特别有争议。然而，“和”有时用来表达时间顺序。这两句话

她结婚了，然后怀孕了。

她怀孕了，然后结婚了。

通常听起来很不一样。

“和”与“或”具有相同的伸缩性。

2 既是质数，又是偶数。

翻译成 ${\mathcal {L_{S}}}\,\!$ 为（15）

2 和 3 都是偶数。

翻译成英语为

$\mathrm {Q} \land \mathrm {R} \,\!$.

当且仅当

$\leftrightarrow \,\!$ 到英语的标准翻译是“... 当且仅当 ...”。因此

(16)    $\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} \,\!$

翻译成英语为

2 是一个质数，当且仅当 2 是一个偶数。

英文句子

(17)    2 是一个质数，当且仅当 2 是一个偶数。

是

2 是一个质数，如果 2 是一个偶数，并且 2 是一个质数，只有当 2 是一个偶数。

的简短形式，翻译为

$(\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} )\land (\lnot \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {P} )\,\!$

或者更简洁地，作为等效公式

(18)    $(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\land (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} )\,\!$.

我们在 连接词的可互定义性 部分看到了（18）等价于（16）。关于“如果”的物质解释和非物质解释的问题也适用于“当且仅当”。

当且仅当

数学家和其他专业人士有时使用“iff”作为“当且仅当”的缩写形式。所以

2 是一个质数，iff 2 是一个偶数。

是（17）的缩写，翻译为（16）。