分形/复平面迭代/曼德勃罗集/MF点12

$F_{1/2}$ 家族的梅尔贝格-费根鲍姆点是什么？

名称

• MF = 梅尔贝格-费根鲍姆点
• 费根鲍姆点
• 周期倍增级联的累积点

图像

• 
  朝费根鲍姆点放大
• 
  费根鲍姆点（红色箭头）是分岔点的极限
• 
  费根鲍姆点朱利亚集

属性

梅尔贝格-费根鲍姆点是

• 参数平面上的一个点 c
• 一个米修列维奇点
• 一个双可达点。这意味着它是两条具有无理角度的外部射线的着陆点。射线根本不旋转（没有转弯），因为如果米修列维奇点是一个实数，它根本不会转弯
• 混沌（-2 < c < MF）和周期区域（MF< c < 1/4）之间的边界点
• 累积点是圆盘中心的极限
• 它是周期-2ⁿ分量的分岔参数（根点 $c_{n}$）序列的极限。换句话说，周期倍增级联在梅尔贝格-费根鲍姆点结束。
• 它是带合并点 $m_{n}$ 序列的极限。换句话说，混沌带的周期倍增级联也从相反方向在 MF 点结束。

$\lim _{n\to \infty }c_{n}=c_{\infty }=c_{F}$

$\lim _{n\to \infty }m_{n}=m_{\infty }=c_{F}$

费根鲍姆点的地址是什么？

带角度的内部地址:

$\mathbf {MF} _{1/2}{\xleftarrow {1/2}}....{\xleftarrow {1/2}}\ 16\quad {\xleftarrow {1/2}}\ 8\quad {\xleftarrow {1/2}}\ 4\quad {\xleftarrow {1/2}}\ 2\quad {\xleftarrow {1/2}}\ 1$

费根鲍姆点的值是多少？

梅尔贝格-费根鲍姆点

$\mathbf {MF} _{1/2}=c=-1.401155\ldots$

哪些外部射线落在梅尔贝格-费根鲍姆点上？

落在梅尔贝格-费根鲍姆点上的射线的外部角度 t 的十进制值为（0.412454...，0.58755...）

如何计算外部射线的角度？

要计算角度，可以使用两种方法

• 找到周期-2ⁿ分量的分岔参数（根点 $c_{n}$）序列的极限。
• 找到带合并点 $m_{n}$ 序列的极限

如何计算落在分岔参数上的角度的极限？

候选上外部角通过使用替换（字符串替换）获得：0 -> 01 和 1 -> 10 重复

• 0
• 01
• 0110
• 01101001
• 0110100110010110
• ...

但尚不清楚射线是否实际上会落在上面；也许 M 在费根鲍姆点处不是局部连通的，并且一些长的装饰物正在将其屏蔽在外部射线之外。

可以使用 Maxima CAS 程序计算它

kill(all);
remvalue(all);

f(x):=if (x=0) then [0,1] else [1,0];
compile(all);

a:[];
a:endcons([0],a);

for n:2 thru 10 step 1 do (
   a:endcons([],a),
   for x in a[n-1] do (
      a[n]:endcons(first(f(x)),a[n]),
      a[n]:endcons(second(f(x)),a[n])),
      print(n,a[n])
);

如何计算周期的 n 倍分叉点？

• 复杂映射中周期 n 倍的普遍性，由 Predrag CVITANOVIC 和 Jan MYRHEIM 撰写。物理快报 A，第 94 卷，第 8 期，1983 年 3 月 28 日，第 329-333 页。
• 周期三倍
  • Golberg - Sinai - Khanin (GSK) 点 lGSK = 0.0236411685 + 0.7836606508i
  • 对应的临界点（GSK 点）位于 λc = 0.0236411685377 + 0.7836606508052i 处，并以以下临界指数 [2] 为特征，即临界乘数 µc，比例因子 α 和参数缩放常数 δ：
    • µc = −0.47653179 − 1.05480867i
    • α = −2.0969 + 2.3583i
    • δ = 4.6002 − 8.9812i
  • 在临界点 GSK 附近，Mandelbrot 集的“叶”结构具有关于用复数因子 d=4.60022558 -8.98122473i 对 g-gGSK 进行重新缩放的尺度不变性。

缩放

• "一系列插图，每个视图都以费根鲍姆点为中心，放大倍数每次增加 4.6692（费根鲍姆常数）。细丝变得越来越密集，直到它们充满视野。"

参考文献

• 逻辑映射的累积点的十进制展开。