米休列维奇点是参数 c（参数平面的点），其中临界轨道是前周期的。

维基百科上的描述

名称

临界后前周期参数

特性

"在米休列维奇点附近（它们只是可数的但稠密的），曼德勃罗集在局部看起来像相应的朱利亚集，特别是它在每个米休列维奇点附近看起来非常不同。" 巴勃罗·施默金^[1]
曼德勃罗集在临界前周期米休列维奇点附近是渐近自相似的。
所有米休列维奇点的集合在曼德勃罗集边界上是稠密的^[2]

乘数

每个米休列维奇点都有一个乘数，它与螺旋的形状有关。

域

每个米休列维奇点都被一个米休列维奇域包围，在该域内，迭代受米休列维奇点的影响。
可以计算局部米休列维奇域坐标，它们在域的边界处大小为 1。
可以估计米休列维奇域的大小。

外部角

以圈数为单位测量的有理角对应于落在曼德勃罗集的（前）周期点上的外部射线。它们方便地用二进制表示。

外部角在角度加倍下的动力学与着陆点在迭代下的动力学不同：^[3] 外部角和着陆米休列维奇点之间的前周期和周期可能不同

示例

外部角 0.1(0) 具有前周期 1 和周期 1，并且它落在点 c = −2 = $M_{2,1}$ 上（前周期 2 和周期 1）
外部角 .001001(010010100) 射线落在点 c = 0.026593792304386393+0.8095285579867694i 上。外部角具有前周期 6 和周期 9，但着陆点具有前周期 7 和周期 3

符号

米休列维奇点（参数、多项式、映射）可以用以下符号标记：^[4]

前周期和周期
参数坐标 c ∈ M
角度 $\theta$ 的外部射线

角度

"Critically preperiodic polynomials are typically parameterized by the angle θ of the external ray landing at the critical value rather than by the critical value." MARY WILKERSON^[5]

落在

z = c 在 Julia 集 J(f) 上的动力平面
在参数平面上，曼德勃罗集 M 中的点 $c=\gamma _{M}(q/p)=M_{t,p}$ 。

所以

$z^{2}+c=z^{2}+\gamma _{M}(q/p)$

参数射线的例子

角度为 ${\frac {1}{2}}=0.0(1)$ 的射线落在了参数平面的点 $c=\gamma _{M}(1/2)=-2=M_{1,1}$ 上。它是主天线尖端（1/2 肢的末端）。
角度为 ${\frac {1}{4}}=0.00(1)$ 的射线落在了参数平面的点 $c=\gamma _{M}(1/4)=-0.228155493653962+1.115142508039937i=M_{2,1}$ 上。它是 1/3 尾迹的第一个尖端。
角度为 ${\frac {1}{6}}=0.0(01)$ 的射线落在了参数平面的点 $c=\gamma _{M}(1/6)=i=M_{1,2}$ 上。它是 1/3 尾迹的最后一个尖端。
角度为 ${\frac {17}{240}}=0001(0010)$ 的射线落在了参数平面的点 $c=\gamma _{M}(17/240)=0.366362983422764+0.591533773261445i=M_{4,4}$ 上。它是 1/4 尾迹的中心点（分支点或中心点）。
角度为 ${\frac {9}{56}}=0.001(010)$ 的射线落在了参数平面的点 $c=\gamma _{M}(9/56)=-0.101096363845622+0.956286510809142i=M_{3,3}$ 上。它是 1/3 尾迹的中心点（分支点或中心点）。
角度为 ${\frac {129}{16256}}=0.0000001(0000010)$ 的射线落在了参数平面的点 $c=\gamma _{M}(129/16256)=0.397391822296541+0.133511204871878i=M_{7,7}$ 上。它是 1/7 尾迹的中心点（分支点或中心点）。

在动态平面上，所有上述点 c（复二次多项式的参数）都会生成树状的 Julia 集。

动态平面根据与 kneading sequence 相关的动态射线进行分区。

1/4
1/6
9/56
129/16256

前周期和周期

 $M_{t,p}$

其中

t 是前周期
p 是周期

前周期有两种含义

T = 临界点的预周期 $z_{cr}=0$
t = 临界值的预周期 $z_{cv}=c$

注意

 $t=T-1$

临界值和临界点的周期 p 相同

预周期

临界值的预周期
- "通常用临界值外部射线的角度 θ 来参数化临界预周期多项式，而不是用临界值本身。" MARY WILKERSON^[6]
- Wolf Jung 使用： "... 通常的约定是用临界值的预周期。这样做的好处是，临界值的角度在倍增下具有与该点相同的预周期，并且在参数平面中可以找到相同角度。"
临界点的预周期
- Pastor 使用临界点的预周期： "所有 Misiurewicz 点的预周期都比它们的周期多 1，因此这个 $M_{2,1}$ 被写成 $M_{3,1}$ " ^[7]
- Demidov: libretexts：曼德勃罗集和朱利亚集的解剖（Demidov）或 ibiblio
- Claude Heiland-Allen

点

类型

周期

Misiurewicz 点 c

具有周期 1 的类型为：^[8]
- alpha，即 $f_{c}^{k}(c)=\alpha _{c}$
- beta，即 $f_{c}^{k}(c)=\beta _{c}$
周期 > 1

其中 alfa 和 beta 是复二次多项式的不动点

拓扑

视觉类型：^[9]

分支尖端 = 分支的端点^[10] 或小岛的尖端^[11]
螺旋中心^[12]
- 多于 1 臂的慢速螺旋中心
- 螺旋中心 = 快速螺旋
- 混沌带的带合并点（混沌带 $B_{i-1}$ 和 $B_{i}$ 的分隔符）^[13] = 2 臂螺旋 = 分支点 = 分支相遇的点^[14]

螺旋

Misiurewicz 点是 2 臂螺旋的中心
放大到对数螺旋

作为螺旋中心的 Misiurewicz 点可以根据转动速度进行分类

快速^[15]
缓慢
不转：如果 Misiurewicz 点是实数，它根本不会转动

螺旋也可以根据臂的数量进行分类。

Each Misiurewicz point has a multiplier which is related to the shape of the spiral.^[16]

外部射线数量

端点 = 尖端 = 1 个角度
原始类型 = 原始循环的 2 个角度
卫星类型 = 卫星循环的 2 个或多个角度

其中原始和卫星是双曲分量的类型

前周期和周期

通常，预周期临界值具有预周期 k、周期 p、射线周期 rp 和 v 个角度。有三种情况：

尖端：r = 1，v = 1
原始：r = 1，v = 2
卫星：r > 1，v = r

嵌入式朱利亚集中的结构性 Misiurewicz 点都具有相同的周期，即影响岛的周期。 ^[17]

尖端

"似乎主螺旋的第 n 长臂的尖端具有周期 n（从 1 开始计数），并且一些细丝的尖端具有周期 1" Claude Heiland-Allen ^[18]
并非所有端点都有预周期 1 或周期 1

命名类型

主

主 Misiurewicz 点 $c=b$ 肢体 $M_{k/m}$ ：^[19]

$f^{m}(b)=\alpha _{b}$
有 m 个外部角，这些外部角是 $\alpha _{b}$ 外部角的（在翻倍下）原像。

特征

曼德勃罗集混沌带的特征 Misiurewicz 点是：^[20]

混沌带中最突出、最明显的 Misiurewicz 点
与该带的周期相同
与该带基因的周期相同

分隔符

主分隔符

带合并点 = 合并两个混沌带 $B_{i-1}$ 和 $B_{i}$ 的点

  $m_{i}=M_{2^{i},2^{i-1}}$

例子：^[21]

$c=m_{0}=M_{1,1}\ \ =-2$ = 主天线的顶端，外部角 = 1/2^[22]
$c=m_{1}=M_{2,1}\ \ =-1.543689012692076...$ ，外部角为 5 和 7/12
$c=m_{2}=M_{4,2}\ \ =-1.430357632451307...$ ，外部角为 33 和 47/80
$c=m_{3}=M_{8,4}\ \ =-1.407405118164702...$ ，外部角为 1795 和 2557/4352
$c=m_{4}=M_{16,8}\ =-1.402492176358564...$
$c=m_{5}=M_{32,16}=-1.401441494253588...$
$c=m_{6}=M_{64,32}=-1.401216504309415..$
$c=m_{7}=M_{128,64}=-1.401168320839301..$
$c=m_{8}=M_{256,128}=-1.401158001505211..$
$c=m_{9}=M_{512,256}=-1.401155791424613..$
$c=m_{10}=M_{1024,512}=-1.401155318093230..$
$c=m_{11}=M_{2048,1024}=-1.401155216720152..$
...
$c=m_{\infty }=MF=-1.4011551890......$ = 费根鲍姆点 = MF = 米尔贝格-费根鲍姆

以文本形式

double m[12] = {
-2.0,
-1.543689012692076,
-1.430357632451307,
-1.407405118164702,
-1.402492176358564,
-1.401441494253588,
-1.401216504309415,
-1.401168320839301,
-1.401158001505211,
-1.401155791424613,
-1.401155318093230,
-1.401155216720152  

};

const complex double cf = -1.401155189093314712; //the Feigenbaum point -1.401155 = m[infinity]

二级分隔符

树形分隔符（树是带的子集）

  $m_{i,j}=M_{(j+1)2^{i}-1,2^{i}}$

非特征性

没有与带相同的周期

示例

米修列维奇点，是曼德勃罗集的一部分

中心 0.4244 + 0.200759i；最大迭代次数 100；视图半径 0.00479616 ^[23]

尾迹

1/2 尾迹

   ${\begin{cases}0.(s_{-})=0.(01)={\frac {1}{3}}={\frac {4}{12}}=0.(3)=wake\\0.s_{-}(s_{+})=0.01(10)={\frac {5}{12}}=0.41(6)=PrincipalMis=M_{2,2}\\0.0(1)={\frac {1}{2}}={\frac {6}{12}}=0.5=tip=M_{1,1}=c=-2\\0.s_{+}(s_{-})=0.10(01)={\frac {7}{12}}=0.58(3)=PrincipalMis=M_{2,2}\\0.(s_{+})=0.(10)={\frac {2}{3}}={\frac {8}{12}}=0.(6)=wake\\\end{cases}}$

尾迹的重要点

结合点 = 周期 1 和 2 分量之间的根点 = c = -0.75 = -3/4 = 内部角 1/2 的分叉点 = 2 个外部射线 1/3 和 2/3 的着陆点 = 1/2 尾迹的起点
周期 2 的核（分量的中心）= c = -1
主天线的尖端 c = -2 = $M_{1,1}$ . 它也是角度为 $0.01={\frac {1}{2}}=0.5$ 的外部射线的着陆点
c = -1.543689012692076 = 1/2 尾迹的主米修列维奇点 = 尾迹的主节点（分支点）= $M_{2,2}$ = 外部射线 5/12 和 7/12 的着陆点

与映射的关系

对于

复二次函数 f(z) = z^2 + c，分支点是米修列维奇点（简单点而不是岛屿）
复三次函数 f(z) = z^3 + c 这里有岛屿（迷你曼德勃罗集）。例如缩放：c = -0.574891209746913 +0.716327145043763 i

无论是 M2 还是 M3，米修列维奇点都有有限数量的分支，而双曲分量有无限数量的天线。

然而，每个 M3 中的小的多重勃罗集都有两个 1/2 长的肢体，而每个小曼德勃罗集只有一个。

多重勃罗集的乘数映射：这里它是一个 2 对 1 的映射，对于每个内部角，都有两个边界点。

特别是，从分量到圆盘的共形映射类似于乘数的平方根。

视频

演示

曼德勃罗集演示第 6 页 1

图像

维基共享资源：分类：米修列维奇点

如何着色？

"The legendary colour palette technique embeds an image in the iteration bands of an escape time fractal by linearizing it by scanlines and synchronizing the scan rate to the iterations in the fractal spirals so they line up to reconstruct the original image. Historically this has been done by preparing palettes for fractal software using external tools, and mostly only for small images (KF for example has a palette limited to 1024 colour slots).
Kalles Fraktaler 2 has an image texture feature, which historically only allowed you to warp a background through the semi-transparent fractal. I added the ability to create custom colouring algorithms in OpenGL shader language  (GLSL), with which it is possible to repurpose this texture and (for example) use it as a legendary palette.
Here I scaled my avatar (originally 256x256) to 128x16 pixels, and fine tuned the iteration count divisor by hand after zooming to a spiral in the Seahorse Valley of the Mandelbrot set. Then the face from the icon is visible in  the spirals all the way down to the end of the video. I used a work-in-progress (not yet released) build of KF 2.15.3, which has a new setting not to resize the texture to match the frame size: this allows the legendary technique  to work much more straightforwardly.
I rendered exponential map EXR frames from KF and assembled into a zoom video with zoomasm. From KF I exported just the RGB channels with the legendary palette colouring, and the distance estimate channels. I did not colour the  RGB with the distance estimate in KF, because with the exponential map transformation they would not be screen-space correct (the details would be smaller in the center of the reprojected video than at the edges). I could not do  all the colouring in zoomasm either, because it does not support image textures. I added the boundary of the fractal in zoomasm afterwards, by mixing pink with the RGB from KF according to the length of the screen-space distance  estimate channels (which zoomasm scales properly when reprojecting the exponential map)." Claude Heiland-Allen^[24]

如何计算……？

构造一个根恰好是多重分形Misiurewicz点的多项式？

fractalforums.org: misiurewicz-points-in-the-multibrot
多项式映射的Misiurewicz点和横截性，作者：Benjamin Hutz，Arxiv：于2013年9月16日提交（v1），最后修订于2014年8月8日（此版本，v2）] Adam Towsley。
marcm200文章中的两个错误
- 第2页，phi_f,n(z)的定义缺少每个乘积项中的减法-z。
- 对于m=0，广义dynatomic公式没有很好地定义，在这种情况下它应该与经典dynatomic多项式相同。）

marcm200的maxima脚本，使用主函数misiurewicz_multibrot_dmn(d,m,n)来表示度数为d、前周期为m、周期为n的多重分形。

kill(all);
numer:false;
display2d:false;

/* general dynatomic polynomial to arrive at Misiurewicz points for the quadratic or higher degree Mandelbrot set */
/* based on: B Hitz, A Towsley. Misiurewicz points for polynomial maps and transversality, 2014. */

/* n-fold composition */
composition_fn(f,n) := (
	ret:"Error. ,composition_fn",

	if n = 0 then ret:z
	else if n > 0 then (
		ret:f,

		for i from 2 thru n do (
			ret:subst(f,z,ret)
		)
	) else print("Error. composition_fn"),

	ratsimp(ret)

)$

/* the dynatomic polynomial */
dynatomic_fz0n(f,z0,n) := (
	erg:"Error. dynatomic_fz0n",

	if n < 1 then (
		erg:"Error. Period must be at least 1.",
		print("Error. Period must be at least 1.")
	) else (
		erg:1,
		for k from 1 thru n do (
			if mod(n,k) = 0 then (
				co:composition_fn(f,k),
				co:subst(z0,z,co),
				erg: erg * ( ( co - z0 ) ^ moebius(n/k) )
			)
		)
	),

	ratsimp(erg)
)$

/* generalized dynatomic polynomial */
general_dynatomic_fz0mn(f,z0,m,n) := (
	ret:"Error. general_dynatomic_fz0mn",

	if m = 0 and n > 0 then (
		ret: dynatomic_fz0n(f, z , n)
	) else if m > 0 and n > 0 then (
		ret: ratsimp(
			dynatomic_fz0n(f, composition_fn(f,m) , n)
			/
			dynatomic_fz0n(f, composition_fn(f,m-1) , n)
		),
		ret:subst(z0,z,ret)
	) else print("Error. general_dynatomic_fz0mn"),

	ratsimp(ret)
)$

/* Misiurewicz points for unicritical multibrot z^d+c with exact preperiod m and period n*/
misiurewicz_multibrot_dmn(d,m,n) := (
	numer:false,
	ret: "Error misiurewicz_multibrot_dmn",

	if m > 0 and n > 0 and d >= 2 then (
		ret1: general_dynatomic_fz0mn(z^d+c,z,m,n),
		ret1: ratsimp(subst(0,z,ret)),

		if m # 0 and mod(m-1,n) = 0 then (
			ret2: general_dynatomic_fz0mn(z^d+c,z,0,n),
			ret2: subst(0,z,ret2) ^ (d-1),
			ret: ret1 / ret2
		) else ret: ret1
	) else print("Error misiurewicz_multibrot_dmn"),

	ret:ratsimp(ret),
	print("Misiurewicz points as solution from"),
	print(ret,"= 0"),

	sol:solve(ret=0,c),
	numer:true,
	for i from 1 thru length(sol) do (
		print("solution",realpart(expand(rhs(sol[i])))," + i*", imagpart(expand(rhs(sol[i]))) )
	)
)$

Misiurewicz点的数量

math.stackexchange问题：counting-misiurewicz-points
Claude Heiland-Allen对Misiurewicz点的枚举
"……我们不知道如何计算（……）二次有理映射族的Misiurewicz参数（具有较高（前）周期）。可能需要一种非严格的方法来在合理的时间内找到Misiurewicz参数，例如Biham-Wenzel方法。" HIROYUKI INOU ^[25]
在线整数序列百科全书 (OEIS)
- $M_{0,p}$ 据说是 A000740
- $M_{2,p}$ 似乎是 A038199
- $M_{q,1}$ 似乎是 A000225
- $M_{q,2}$ 似乎是 A166920
来自多项式映射的Misiurewicz点和横截性，作者：Benjamin Hutz，Adam Towsley 的推论 3.3。

对于 $f_{d,c}$ ， $(m,n)$ Misiurewicz点的数量是 $M_{m,n}$

$M_{m,n}={\begin{cases}\sum _{k|n}\mu ({\frac {n}{k}})d^{k-1}&m=0\\(d^{m}-d^{m-1}-d+1)\sum _{k\mid n}\mu ({\frac {n}{k}})d^{k-1}&m\neq 0{\text{ and }}n\mid (m-1)\\(d^{m}-d^{m-1})\sum _{k\mid n}\mu ({\frac {n}{k}})d^{k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

其中

m 是
n 是
$f_{d,c}(z)=z^{d}+c$
d 是 $f$ 函数的度数
$\mu (n)$ 是自然数 n 的莫比乌斯函数
$\sum _{k|n}\;\mu (r)$ 是 $\mu (r)$ 对所有正整数 $r$ 除以 $n$ 的和。

实现

Maxima CAS 有 moebius (n) 函数

复二次映射的 Misiurewicz 点

数值方法
- 求解方程
- 找到具有预周期角度的外部射线的着陆点
图形方法
- Misiurewicz 域

"the best way of being sure you get to the correct point is to trace an external ray with the correct external angle, until you reach close enough (for example, the ray point has a tiny imaginary part, as these points are all on the real axis).  then use Newton's method starting from the ray point." Claude Heiland-Allen^[26]

跟踪射线

"使用所有 4 种方法跟踪预周期 + 周期 ~= 500 到驻点 ~1000 的射线，并改变锐度" ^[27]
"我通过跟踪每个预周期和周期总和小于或等于 16 的预周期射线来创建数据库。我将射线跟踪到双精度极限，在我的四核台式机上平均每秒跟踪 400 条射线。然后，我将着陆在相同点（或附近，具有很小的阈值半径）的射线分组在一起。我只将具有相同周期和预周期的射线分组在一起..."^[28]

Misiurewicz 域

求解方程

多项式的根

Misiurewicz 点 ^[29] 是特殊的边界点。

在 Maxima CAS 中定义多项式

P(n):=if n=0 then 0 else P(n-1)^2+c;

定义一个 Maxima CAS 函数，其根是 Misiurewicz 点，并找到它们。

M(preperiod,period):=allroots(%i*P(preperiod+period)-%i*P(preperiod));

使用示例

(%i6) M(2,1);
(%o6) [c=-2.0,c=0.0]
(%i7) M(2,2);
(%o7) [c=-1.0*%i,c=%i,c=-2.0,c=-1.0,c=0.0]

分解多项式

"分解确定 Misiurewicz 点的多项式。我相信你应该从

  ( f^(p+k-1) (c) + f^(k-1) (c) ) / c

这应该已经具有确切的预周期 k，但周期是 p 的任何因数。所以它应该进一步分解以获得周期。

例如：对于预周期 k = 1 和周期 p = 2，我们有

  c^3 + 2c^2 + c + 2 .

这分解为

(c + 2)*(c^2 + 1)

用于周期 1 和 2。我猜这些因子恰好出现一次，并且没有其他因子，但我不知道。"Wolf Jung

牛顿方法

着陆在 Misiurewicz 点上的射线的外部角度

方法

跟踪预周期射线（到双精度极限）^[30]
使用 Devaney 算法计算唤醒 p/q 的主 Misiurewicz 点的外部角度
枚举二进制字符串

另见

外部角度的预周期/周期与 Misurewicz 点之间的关系：^[31] 预周期和周期在外部角度和着陆 Misiurewicz 点之间可能不同

外部角度在角度加倍下的动力学与着陆点在迭代下的动力学不同！！！

示例

外部角 0.1(0) 具有前周期 1 和周期 1，并且它落在点 c = −2 = $M_{2,1}$ 上（前周期 2 和周期 1）
外部角 .001001(010010100) 射线落在点 c = 0.026593792304386393+0.8095285579867694i 上。外部角具有前周期 6 和周期 9，但着陆点具有前周期 7 和周期 3

枚举二进制字符串

要找到着陆在 Misiurewicz 点 $M_{p,q}$ 上的外部角度

枚举长度为 n = 预周期 + 周期的二进制字符串，其中有 2^n 个，然后丢弃在规范化时具有不同（预）周期的字符串。

示例：预周期 1，周期 2

有 2^(1 + 2) = 2^3 = 8 个候选者
- .000 = 0
- .001
- .010
- .011
- .100
- .101
- .110
- .111

示例：周期 = 2，预周期 = 5

有 2^(2 + 5) = 2^7 = 128 个候选者
其中一半可以立即消除，因为周期 ...(00) 和 ...(11) 的 4 个长度为 2 的字符串简化为 ...(0) 和 ...(1)（即，它们具有周期 1 而不是 2）。剩下 64 个
考虑最后一个预周期数字：如果它与最后一个周期数字相同，则真正的预周期更小（将周期部分向左移动）。所以另一半被消除，只剩下最后 3 个数字的可能性为 ...0(01) 和 ...1(10)。剩下 32 个
由于曼德尔布罗特集是对称的，你只需要考虑上半平面的射线，它们以 .0... 开头，这消除了另一半：剩下 16 个

你想要周期加倍级联的主要费根鲍姆点之外的射线，其角度为 .01 10 1001 10010110 ...（非重复，无理数，与图厄-摩斯序列相关）。因此，数字必须严格介于这两个数字之间

.0110100
.0111111

枚举它们得到

.01101(10)
.01110(01)
.01111(10)

所以剩下 3 个候选者。跟踪外部射线得到这些坐标

-1.6975553932375476
-1.8186201342243300
-1.9935450866059059

这些都不在你的序列中，现在我记得在 z^2+c 的迭代下，Misiurewicz 点的（预）周期不必与角度在角度加倍模 1 转下的（预）周期对应...

答案可能是“调整”，即找到第一个分离点的角度，然后通过周期加倍级联的外部角度对来调整它们。

天线的顶端具有外部角度 .0(1) = .1(0) : 跟踪给出 -2，周期 2 球具有外部角度 .(01) 和 .(10)，将每个 0 替换为 01，将 1 替换为 10，给出周期 2 球辐条顶端的外部角度: .01(10) 和 .10(01) : 跟踪给出 -1.5436890126920764 重复，给出周期 4 球辐条的顶端 .0110(1001) 和 .1001(1001) : 跟踪给出 -1.4303576324513074 重复，这将给出使用双精度跟踪的射线端点的表（所有射线端点的虚部都小于 1e-9）

-2
-1.5436890126920764
-1.4303576324513074
-1.4074051181647029
-1.4024921763585667
-1.4014414942535918
-1.4012165015160745

问题

参考文献

[1] thoverflow 问题: 是否存在某种已知方法来创建曼德勃罗集的边界？

[2] 某些无限重整化的点的曼德勃罗集的局部连通性，作者：姜云平

[3] Misiurewicz 点的外部角度，作者：克劳德·海兰德-艾伦

[4] 来自二次函数交配的有限细分规则: 存在和构建，作者：玛丽·伊丽莎白·威尔克森

[5] 对临界前周期二次交配的细分规则构建，作者：玛丽·威尔克森

[6] 对临界前周期二次交配的细分规则构建，作者：玛丽·威尔克森

[7] [https://www.hindawi.com/journals/ddns/2007/045920/ G. Pastor, M. Romera, G. Alvarez, J. Nunez, D. Arroyo, F. Montoya, "使用杜瓦迪和赫伯德的外部参数操作"，自然与社会中的离散动力学，第 2007 卷，文章 ID 045920，17 页，2007 年。 https://doi.org/10.1155/2007/45920]

[8] W Jung : 曼德勃罗集边界的同胚，2002 年博士论文

[9] 耶鲁大学的分形几何，作者：迈克尔·弗雷姆、贝努瓦·曼德勃罗（1924-2010）和尼尔·内格，2013 年 2 月 2 日

[10] 终点作者：罗伯特·P·穆纳福，2008 年 3 月 9 日。

[11] thoverflow 问题 : 除了简单地四处寻找之外，是否存在一种方法来查找曼德勃罗集中深度区域？

[12] th.stackexchange 问题 : 用于缩放曼德勃罗集中心的数值

[13] 一维二次映射点的符号序列，作者：G Pastor、Miguel Romera、Fausto Montoya Vitini

[14] 分支点作者：罗伯特·P·穆纳福，1997 年 11 月 19 日。

[15] 书 : 课堂的分形：第二部分：复杂系统和曼德勃罗集，第 461 页，作者：海因茨-奥托·佩特根、哈特穆特·尤尔根斯、迪特马尔·索普

[16] -describe，作者：克劳德·海兰德-艾伦

[17] ractalforums.org : 寻找 Misiurewicz 点

[18] Misiurewicz 域，作者：克劳德·海兰德-艾伦

[19] 曼德勃罗集的同胚子集族，作者：沃尔夫·容，第 7 页

[20] G. Pastor, M. Romera, G. Álvarez, D. Arroyo 和 F. Montoya, "论曼德勃罗集中的周期性和混沌区域"，混沌、孤立子与分形，第 32 卷（2007 年）15-25

[21] 一维二次映射中的等于 1 的缩放常数，作者：M. ROMERA、G. PASTOR 和 F. MONTOYA

[22] G. Pastor, M. Romera, G. Álvarez 和 F. Montoya, "在曼德勃罗集天线中使用外部参数操作"，物理学 D，第 171 卷（2002 年），52-71

[23] 示例

[24] 传奇调色板，作者：mathr

[25] 三次多项式族的分岔轨迹的可视化，作者：井上博之

[26] ractalforums.org : 曼德勃罗集实切片的初级分隔符-Misiurewicz 点

[27] 外部射线跟踪，作者：克劳德·海兰德-艾伦

[28] Misiurewicz 点的外部角度，作者：克劳德·海兰德-艾伦

[29] 维基百科中的 Misiurewicz 点

[30] Misiurewicz 点的外部角度，作者：克劳德·海兰德-艾伦

[31] Misiurewicz 点的外部角度，作者：克劳德·海兰德-艾伦

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