此页面介绍：扭曲的微型曼德勃罗集，岛屿的扭曲（曼德勃罗集和参数平面的一部分）。

名称

曼德勃罗集在其自身内部的微型副本有很多名称

小型曼德勃罗集
迷你曼德勃罗集
婴儿曼德勃罗集
婴儿勃罗
虫
岛屿：“岛屿”一词由贝努瓦·曼德勃罗在其关于《自然的分形几何》中对曼德勃罗集的描述中引入” 罗伯特·穆纳福
岛屿 μ-分子
嵌入的曼德勃罗集副本
曼德勃罗蒂
侏儒
迷你勃罗
原始 M 副本
原始形状略微变形后的副本
曼德勃罗集在其自身内部的近似副本

扭曲的不同名称^[1]

扭曲的微型曼德勃罗集的名称

扭曲的微型曼德勃罗集

示例

中心为 c = 0.359259224758007 +0.642513737138542 i，周期为 5 的迷你曼德勃罗集，位于 1/4 尾迹中
c = -0.77028065155993652446 by -0.11144667326007166574 放大倍数：281748
mag =2369369 中心坐标 (-0.175875248 , 1.075392007 )
中心：-0.164,1.032；宽度/高度：0.04
周期为 36 的岛屿，中心为 c = -0.763926983955582 +0.092287538419582 i，来自周期为 2 的分量的 1/34 子尾迹

参见

commons:Category:Near-copies_of_the_Mandelbrot_set_within_itself

来自象谷的一系列位置，周期倍增（由克劳德·海兰德-艾伦提供）^[4]

# period	 center 			                radius
     4 	-1.565201668337550811e-01+ 1.032247108922831780e+00 i 	1.697e-02
     8 	4.048996651751222142e-01 + 1.458203637665893004e-01 i 	2.743e-03
    16 	2.925037532341934199e-01 + 1.492506899834379792e-02 i 	3.484e-04
    32 	2.602618199285006706e-01 + 1.667791320926506355e-03 i 	4.113e-05
    64 	2.524934589775105209e-01 + 1.971526796077277316e-04 i 	4.920e-06
   128 	2.506132008410751344e-01 + 2.396932642510365971e-05 i 	5.997e-07
   256 	2.501519680089798192e-01 + 2.954962325906881015e-06 i 	7.398e-08
   512 	2.500378219137852631e-01 + 3.668242052764790239e-07 i 	9.185e-09
  1024 	2.500094340031833728e-01 + 4.569478652064613658e-08 i 	1.144e-09
  2048 	2.500023558032561377e-01 + 5.701985912706845832e-09 i 	1.428e-10
  4096 	2.500005886128087162e-01 + 7.121326948562731412e-10 i 	1.783e-11
  8192 	2.500001471109009610e-01 + 8.897814201389539302e-11 i 	2.228e-12

marcm200 编制的列表

cardioid       angle             
period p       p<-2p->4p         eccentricity   cardioid center
------------------------------------------------------------------------------------------------------
5              177.1             1.35           0.35925922475800742273-0.64251373713854231795*i
6              176.5             1.47           0.4433256333996235532-0.37296241666284651872*i
7              176.1             1.55           0.43237619264199450564-0.22675990443534863039*i
8              175.8             1.52           0.40489966517512215871-0.14582036376658927268*i
10             175.4             1.65           0.35681724849231194474-0.069452865466830299157*i
12             175.1             1.72           0.32558950955066034982-0.038047880934755723414*i
15             174.8             1.79           0.29844800890399547644-0.018383367322073254635*i
17             174.7             1.80           0.28756611704687790043-0.012281055409848253349*i
21             174.6             1.84           0.27436979919551240936-0.0062585874913430950342*i
25             174.5             1.87           0.2652783219046058732 -0.0037120599898783183101*i
31             174.4             1.90           0.26095224231422198269-0.0018410978175303128503*i
43             174.34            1.91           0.2556052938434967281 -0.00066797029763820438275*i

位置

0,25000102515011806826817597033225524583655 + 0,0000000016387052819136931666219461i 放大倍数 = 6,871947673*(10^10) 所以半径 = 0.14556040756914119* 10^{-10}
0.2925294 + 0.0149698 i @ 0.0006675
c = 0.292503753234193 -0.014925068998344i 周期 = 16，图像大小 +0.0005 ^[5]
by marcm200
- 周期 7 c =0.43237619264199450564-0.22675990443534863039i
- 周期 14 c=0.4325688150887696537-0.22873440581356344059i
- 周期 28 c=0.43266973566541755414-0.22933968667591089763i

自相似性

曼德勃罗集在 Misiurewicz 点的邻域中放大时是自相似的。据推测，它在广义费根鲍姆点（例如，−1.401155 或 −0.1528 + 1.0397i）周围也是自相似的，从收敛到极限集的意义上讲。^[6]^[7] 总体而言，曼德勃罗集不是严格自相似的，但它是准自相似的，因为可以在任意小的尺度上找到其自身略微不同的较小版本。这些曼德勃罗集的小副本都略有不同，主要是因为连接它们与集合主体之间的细线。

"this combination of familiarity (small copies of the Mandelbrot set) and novelty (subtly distorted, differently decorated) that make the Mandelbrot set much more interesting than the fractals generated by IFS."^[8]

问答

它们是完全相同的副本吗？

它们是

不是完全相同的副本
略微变形后的副本
近似自相似的副本
与整个曼德勃罗集拟共形等价
准自相似
婴儿曼德勃罗集不是完全自相似的。婴儿曼德勃罗集与原始曼德勃罗集同胚

为什么曼德勃罗集包含自身的副本？

为什么曼德勃罗集包含（略微变形后的）自身的副本？^[9]

“重整化解释了为什么会出现婴儿曼德勃罗集：婴儿曼德勃罗集中的所有二次多项式都进行重整化，并且所有都以本质上相同的方式进行重整化。”
“分形是反射的反射的反射……”
“迭代创造复杂性。曼德勃罗集基于对无限序列行为的检查。该序列的行为非常复杂。事实上，它可能是混沌的。我们正处于对初始条件的敏感依赖（也称为蝴蝶效应）之中。” ^[10]
“虽然过程非常简单，但由于过程的迭代性质，根据您开始时复平面上点的不同，会导致截然不同的结果。”

为什么其他分形中存在曼德勃罗集的副本？

曼德勃罗集是通用的^[11]，因此可以在以下位置找到

迭代复映射^[12]
参数化全纯函数族的分岔轨迹：有理函数族，超越函数族 ^[13]
任何全纯有理映射族的分岔轨迹^[14]
Douady 和 Hubbard 的类二次映射 ^[15]

如何描述迷你勃罗？

测量指标

主伪心形线的周期
主伪心形线的中心
参数平面的窗口（半径和中心）
落在伪心形线尖点上的外部射线的角度
主伪心形线的大小
方向
变形

如何计算大小和方向？

大小和方向

混沌动力系统的周期n窗口的缩放

叶夫根尼·德米多夫的周期性缩放窗口
J.A.Yorke、C.Grebogi、E.Ott和L.Tedeschini-Lalli，“耗散动力系统中窗口的缩放行为”，物理评论快报54，1095（1985）
B.R.Hunt、E.Ott，“二次映射的有序和混沌参数依赖性中的结构”，J.Phys.A 30（1997），7067。
克劳德·海兰德-艾伦推导尺寸估计
克劳德·海兰德-艾伦的近似自相似性
- 克劳德·海兰德-艾伦的mandelbrot-graphics库中的m-island-zoom.c

大小和方向的公式

 $r={\frac {1}{\beta \Lambda _{p}^{2}}}$

输入和相关值

迷你布罗特主伪心形线的核 $c$
迷你布罗特主伪心形线的周期 $p$
$\beta$
$\Lambda _{n}$
$\lambda _{n}$

输出

复数大小和方向估计r（复数）。要计算它，只需对结果使用arg和abs

其中

 $z_{1}=0;z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$

 $\lambda _{n}=2z_{n}$

 $\Lambda _{n}=\lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n}$ 

 $\beta =1+\Lambda _{2}^{-1}+\Lambda _{3}^{-1}+\dots +\Lambda _{p}^{-1}$

如何使用？

"if the nucleus of the baby is c and the complex size is r , there is another miniature copy near the baby around  $c+rc$  with size approximately  $r^{2}$ " 	Claude Heiland-Allen

迷你布罗特示例

周期3，靠近-2
周期4，靠近i
周期5，靠近-1.5+0.5i

另请参见克劳德·海兰德-艾伦的mandelbrot-numerics库中的c函数m_size

// mandelbrot-numerics -- numerical algorithms related to the Mandelbrot set
// Copyright (C) 2015-2018 Claude Heiland-Allen
// License GPL3+ http://www.gnu.org/licenses/gpl.html

#include <mandelbrot-numerics.h>

extern double _Complex m_d_size(double _Complex nucleus, int period) {
  double _Complex l = 1;
  double _Complex b = 1;
  double _Complex z = 0;
  for (int i = 1; i < period; ++i) {
    z = z * z + nucleus;
    l = 2 * z * l;
    b = b + 1 / l;
  }
  return 1 / (b * l * l);
}

面积

周期p+1的岛屿的面积 $A$ 由罗伯特·穆纳福给出的公式近似表示：^[16]

$A_{p+1}\approx 0.05{\frac {sin^{2}({\frac {\pi }{p}})}{p^{4}}}$

如何测量变形？

测量

用0的原像处迭代的导数来表示这些^[17]
卫星半径与主心形线半径之比
次级（子）分量的角位置
以度数（或弧度）表示，因为迷你布罗特的各个部分只是旋转（保角变换）
到尖点的两个距离之比^[18]
“使用一种算法测量了曼德勃罗集中的扭曲侏儒，该算法允许在找到任何侏儒的头部和心形原子（北和南）的位置，一旦将光标放在计算机终端上的任何侏儒内部。我们描述了侏儒的两种变形：线性变形和角度变形。当在南北角平面中绘制南北角时，会形成点族。来自曼德勃罗集的海马谷和其他侏儒海马谷（无论是在尖刺上还是在原子上的卷须上）的扭曲侏儒的角度和距离测量值在南北平面的一个部分紧密地聚集在一起。来自心形表面主要原子上方卷须的扭曲侏儒的测量值在南北平面的另一部分紧密地聚集在一起。这种看待曼德勃罗集的不同方式提供了一种研究侏儒变形的有意思的方法。” A. G. 戴维斯·菲利普、迈克尔·弗雷姆、亚当·罗布奇：曼德勃罗集中的扭曲侏儒。计算机与图形18(2)：239-248 (1994)

伪心形线的偏心率

伪心形线的偏心率以几何方式计算，并定义为从尖点到（待补充）的两个距离之比。

$ecc={\frac {cusp_{B}}{cusp_{A}}}$

子分量的位置

2个分量
- 父分量（周期=p的伪心形线）=p-分量
- 子分量（周期=2*p的伪圆）=2p-分量
父分量（伪心形线）内部的两条线
- 父分量（伪心形线）下半部分的轴线=穿过两点的直线：伪心形线的核和尖点=下轴线
- 父分量上半部分的轴线=穿过两点的直线：核和根点（子分量和父分量之间）=上轴线
以圈数为单位测量的两条线之间的角度
- 无变形时为0=所有3个点都在同一条线上（例如，整个M集以主心形线作为父分量，周期2分量作为子分量的情况）
- 变形时>0

用数学语言来说，通过两点

$z_{1}=x_{1}+y_{1}*i$
$z_{2}=x_{2}+y_{2}*i$

的直线的斜率 m 为

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.

斜率为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 的两条直线之间的夹角是^[19]

 $\tan ^{-1}{\dfrac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}$

这里有一个 C 函数^[20]

 
// Function to find the angle between two lines. Each line is defined by 2 points
double findAngleBetweenLines(const complex double z1a, const complex double z1b, const complex double z2a, const complex double z2b)
{
	// slope of line 1 and 2 
	double m1 = (cimag(z1a) - cimag(z1b))/(creal(z1a) - creal(z1b));
	double m2 = (cimag(z2a) - cimag(z2b))/(creal(z2a) - creal(z2b));
	
	double angle = abs((m2 - m1)/ (1 + m1 * m2));

	// Calculate tan inverse of the angle
	double ret = atan(angle);

	// Convert the angle from radian to degree
	double val = (ret * 180) / PI;

	// return the result
	return val;
}

迷你分形集可以有多扭曲？

迷你分形集的最大扭曲度是多少？^[21]

如何找到迷你分形集？

定位 = 查找^[22]

如何找到扭曲的迷你分形集？

使用曼德勃罗集图形库和程序：m-warped-midgets

扭曲与岛屿的其他度量之间有什么关系？

偏心率随着周期的增加而增加，但不是线性增加，甚至不是单调增加。^[23]
尾迹中最大的岛屿是最扭曲的。m/n 尾迹中最大的迷你分形集的周期是 n+1

参见

如何找到落在任何曼德勃罗集分量的根点上的外部射线的角度，而该分量无法通过有限次数的边界穿越从主心形（M0）访问？

参考文献

[1] 维基百科中的畸变（光学）

[2] 维基百科中的图像扭曲

[3] 孙雨荣的二维网格扭曲

[4] ractalforums.com：迷你分形集可以有多扭曲？

[5] 罗伯特·P·穆纳福的扭曲，2010 年 10 月 20 日。来自曼德勃罗集词汇表和百科全书

[6] Lei (1990). "曼德勃罗集和朱利亚集之间的相似性". 数学物理通讯. 134 (3): 587–617. Bibcode:1990CMaPh.134..587L. doi:10.1007/bf02098448. S2CID 122439436.

[7] J. Milnor (1989). "曼德勃罗集中的自相似性和毛发性". 在 M. C. Tangora（编辑）中。 几何与拓扑中的计算机. 纽约：泰勒和弗朗西斯。第 211-257 页。 ISBN 9780824780319.)

[8] 曼德勃罗集和朱利亚集。曼德勃罗集 - 耶鲁大学分形几何迈克尔·弗雷姆、贝努瓦·曼德勃罗（1924-2010）和尼尔·内格尔 2022 年 11 月 24 日的小副本

[9] th.stackexchange 问题：为什么曼德勃罗集包含其自身的略微变形副本？

[10] th.stackexchange 问题：曼德勃罗集分形 - 如何可能？

[11] 曼德勃罗集是普适的，作者：柯蒂斯·T·麦克米伦

[12] Quora：为什么曼德勃罗集很重要？

[13] th.stackexchange问题：当我使用牛顿法求逆时，为什么会出现曼德勃罗集？

[14] th.stackexchange问题：除了曼德勃罗集之外，其他分形中是否已知存在迷你曼德勃罗集？

[15] 曼德勃罗集的普适性，来自耶鲁大学分形几何，作者：迈克尔·弗雷姆，贝努瓦·曼德勃罗（1924-2010）和尼尔·内格

[16] 主序列，作者：罗伯特·P·穆纳福，2009年11月5日，来自曼德勃罗集词汇表和百科全书

[17] th.stackexchange问题：迷你曼德勃罗集是精确复制吗？

[18] ractalforums.org：迷你曼德勃罗集中的倍周期现象

[19] th.stackexchange问题：如何找到两条直线之间的夹角？

[20] 两条直线之间的夹角，来自geeksforgeeks

[21] ractalforums.com：迷你曼德勃罗集可以有多扭曲？

[22] th.stackexchange问题：“如何找到迷你曼德勃罗集？”

[23] ractalforums.org：迷你曼德勃罗集中的倍周期现象

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