周期为 p 的抛物不动点是 p 个动态外射线的着陆点。这些射线将邻域划分为曲线扇区。

在主心形上

Maxima CAS 代码

kill(all);
remvalue(all);

DoublingMap(r):=
block([d,n],
 n:ratnumer(r),
 d:ratdenom(r),
 mod(2*n,d)/d)$

GivePeriod (r):=
block([rNew, rOld, period, pMax, p],
      pMax:100,
      period:0,
       
      p:1, 
      rNew:DoublingMap(r),
      while ((p<pMax) and notequal(rNew,r)) do
        (rOld:rNew,
         rNew:DoublingMap(rOld),
         p:p+1
        ),
      if equal(rNew,r) then period:p,
      period
);

/* f(z) is used as a global function
   I do not know how to put it as a argument */

GiveOrbit(r0,OrbitLength):=
block(
 [r,Orbit],
 r:r0,
 Orbit:[r], 
 for i:1 thru OrbitLength step 1 do
        ( r:DoublingMap(r),
          Orbit:endcons(r,Orbit)),
         
 return(sort(Orbit))

)$

compile(all);

R: 4985538889/17179869183;
p: GivePeriod(R);

orbit:GiveOrbit(R, p);

/* angles around critical point */
e1:first(orbit);
e2:last(orbit);

1/p

视频展示外部动态射线在主心形内角为 1/p 的抛物不动点上的着陆

在象谷^[1]^[2]（来自参数平面）很容易找到落在根上的射线和落在抛物不动点 z 上的动态外射线。

首先选择内部角（= 组合旋转数） : 1/p
计算参数射线对，尾迹的角度 : $({\frac {1}{2^{p}-1}};{\frac {2}{2^{p}-1}})$
计算动态射线的 p 个外角列表 : $({\frac {1}{2^{p}-1}}...{\frac {n}{2^{p}-1}})$

主心形的内部角	参数射线	动态射线
0/1	(0/1; 1/1)	(1/1)
1/2	(1/3; 2/3)	(1/3; 2/3)
1/3	(1/7; 2/7)	(1/7; 2/7; 4/7)
1/4	(1/15; 2/15)	(1/15; 2/15; 4/15; 8/15)
1/5	(1/31; 2/31)	(1/31; 2/31; 4/31; 8/31; 16/31)
1/6	(1/63; 2/63)	(1/63; 2/63; 4/63, 8/63, 16/33; 32/63)
1/7	(1/127; 2/127)	(1/127; 2/127; 4/127, 8/127, 16/127; 32/127; 64/127)
1/p	$({\frac {1}{2^{p}-1}};{\frac {2}{2^{p}-1}})$	$({\frac {1}{2^{p}-1}}...{\frac {n}{2^{p}-1}})$

注意

内部射线 0/1 = 1/1
内部角 1/p 表示射线从周期 1 分量（父周期 = 1）到周期 p 分量（子周期 = p）
随着子周期的增长，计算变得更难
指数增长^[3] 的 $2^{p}$ 。人们可以很容易地创建一个数值，该数值太大而无法在可用存储空间内表示（整数溢出^[4]）。例如， $2^{34}$ 对短整型（16 位）和长整型（32 位）来说太大了。

从周期 1 到周期 ...
1/1 = 花椰菜
$1/2 = San Marco fractal [5]$

1/2 = 圣马可分形 ^[5]
1/3 = 杜瓦迪肥兔 ^[6]
1/4
1/5
1/7
1/10
1/15
1/20
1/30

n/p

与 1/p 的情况不同，计算抛物不动点的轨道图像^[7]并不简单。

算法

选择子周期 p
计算内部角（有理数）= n/p（其中 n<p 且 n/p 是 ... (待办)）
计算尾迹的角度
切换到动态平面 : 使用参数射线对中的一个角度（具有相同角度的射线落在抛物不动点上）来计算抛物不动点的轨道图像

计算尾迹角度的的方法

组合算法 = 德瓦内方法
步进方法
计算外角的分母 = $2^{p}-1$
找到落在根点上的参数射线，该根点位于主心形的边界上
- 计算周期 1-p 的所有对
- 删除落在主心形之外的对（在 < 1/3; 2/3 > 尾迹内）
- 计算不在较低周期对内的外角对（参见右侧图像）
- 选择落在根点上的第 n 对角度

子周期 5

在所有 15 个周期 5 分量中，只有 4 个分量直接连接到主心形 ^[8]

主心形的内部角	参数 c = 根点	参数射线	动态射线
1/5		(1/31; 2/31)	(1/31; 2/31; 4/31; 8/31; 16/31)
2/5	-0.504+0.568 i	(9/31,10/31)	(5/31 , 10/31 , 20/31 , 9/31 , 18/31)
3/5		(21/31,22/31)	(11/31 , 22/31 , 13/31 , 26/31 , 21/31)
4/5		(29/31,30/31)	(15/31 , 30/31 , 29/31 , 27/31 , 23/31)

子周期 7

在所有 63 个周期 7 分量中，只有 6 个分量直接连接到主心形 ^[9]

主心形的内部角	参数射线	动态射线
1/7	(1/127; 2/127)	(1/127; 2/127; 4/127; 8/127; 16/127, 32/127, 64/127)
2/7	(17/127; 18/127)	(17/127; 34/127; 68/127; 9/127; 18/127, 36/127, 72/127)
3/7	(42/127; 43/127)	(42/127, 84/127, 82/127, 37/127, 74/127, 21/127, 42/127)
4/7	(84/127; 85/127)	(84/127, 41/127, 82/127, 37/127, 74/127, 21/127, 42/127)
5/7	(109/127; 110/127)	(109/127, 91/127, 55/127, 110/127, 93/127, 59/127, 118/127)
6/7	(125/127; 126/127)	(125/127, 123/127, 119/127, 111/127, 95/127, 63/127, 126/127)

子周期 11

主心形的内部角	参数 c = 根点	参数射线	抛物不动点 z	动态射线
1/11
5/11	-0.6900598700150440+0.2760264827846140i	(681/2047, 682/2047)	-0.4797464868072486+0.1408662784207147i	(341, 597, 661, 677, 681, 682, 1194, 1322, 1354, 1362, 1364)/2047

参数平面 t=5/11
动态平面 t=5/11

使用倍增映射的 Maxima CAS 代码

(%i1) m(n,d):=mod(2*n,d)/d $

(%i2) m(681,2047);
                                     1362
(%o2)                                ----
                                     2047
(%i3) m(1362,2047);
                                     677
(%o3)                                ----
                                     2047
(%i4) m(677,2047);
                                     1354
(%o4)                                ----
                                     2047
(%i5) m(1354,2047);
                                     661
(%o5)                                ----
                                     2047
(%i6) m(661,2047);
                                     1322
(%o6)                                ----
                                     2047
(%i7) m(1322,2047);
                                     597
(%o7)                                ----
                                     2047
(%i8) m(597,2047);
                                     1194
(%o8)                                ----
                                     2047
(%i9) m(1194,2047);
                                     341
(%o9)                                ----
                                     2047
(%i10) m(341,2047);
                                     682
(%o10)                               ----
                                     2047
(%i11) m(682,2047);
                                     1364
(%o11)                               ----
                                     2047
(%i12) m(1364,2047);
                                     681
(%o12)                               ----
                                     2047
(%i13) m(681,2047);
                                     1362
(%o13)                               ----
                                     2047

其他版本

         
kill(all);
remvalue(all);

DoublingMap(r):=
block([d,n],
 n:ratnumer(r),
 d:ratdenom(r),
 mod(2*n,d)/d)$


GiveOrbit(r0,OrbitLength):=
block(
 [r,Orbit],
 r:r0,
 Orbit:[r], 
 for i:1 thru OrbitLength step 1 do
        ( r:DoublingMap(r),
          Orbit:endcons(r,Orbit)),
         
 return(sort(Orbit))

)$


r0: 681/2047$
 period : 11;
 
GiveOrbit(r0,period);                            
                                     
        341   597   661   677   681   681   682   1194  1322  1354  1362  1364
(%o6) [----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----]
       2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047
float(%o6);
(%o7) [0.1665852467024914, 0.2916463116756229, 0.3229115779189057, 0.3307278944797264, 0.3326819736199316, 0.3326819736199316, 0.3331704934049829, 0.5832926233512458, 0.6458231558378115, 0.6614557889594529, 0.6653639472398633, 0.6663409868099658]
(%i8)

子周期 21

另请参阅 wake 10/21

Maxima 5.45.1 https://maxima.sourceforge.io
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.12
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) bash("r.mac");
(%o1)                             bash(r.mac)
(%i2) load("r.mac");
(%o0)                                r.mac
(%i1) batch("r.mac");

read and interpret /home/a/Dokumenty/maxima/rotation/r.mac
(%i2) kill(all)
(%o0)                                done
(%i1) remvalue(all)
(%o1)                                 []
(%i2) DoublingMap(r):=block([d,n],n:ratnumer(r),d:ratdenom(r),mod(2*n,d)/d)
(%i3) GiveOrbit(r0,OrbitLength):=block([r,Orbit],r:r0,Orbit:[r],
                for i thru OrbitLength do
                    (r:DoublingMap(r),Orbit:endcons(r,Orbit)),
                return(sort(Orbit)))
(%i4) r0:699049/2097151
(%i5) period:21
(%i6) GiveOrbit(r0,period)

       349525   611669   677205   693589   697685   698709   698965   699029
(%o6) [-------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, 
       2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151
       
699045   699049   699049   699050   1223338  1354410  1387178  1395370
-------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, 
2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151


1397418  1397930  1398058  1398090  1398098  1398100
-------, -------, -------, -------, -------, -------]
2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151


(%o7)               /home/a/Dokumenty/maxima/rotation/r.mac

(%i9) float(%o6);
(%o9) [0.166666587193769, 0.2916666467984423, 0.3229166616996106, 0.3307291654249026, 0.3326822913562257, 0.3331705728390564, 
0.3332926432097641, 0.333323160802441, 0.3333307902006102, 0.3333326975501525, 0.3333326975501525, 0.3333331743875381, 0.5833332935968846, 
0.6458333233992212, 0.6614583308498053, 0.6653645827124514, 0.6663411456781129, 0.6665852864195282, 0.666646321604882, 0.6666615804012205, 
0.6666653951003051, 0.6666663487750763]
(%i10)

未对 Orbit 进行排序的结果

         699049   1398098  699045   1398090  699029   1398058  698965
(%o6)/R/ [-------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, 
          2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151
1397930  698709   1397418  697685   1395370  693589   1387178  677205
-------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, 
2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151
1354410  611669   1223338  349525   699050   1398100  699049
-------, -------, -------, -------, -------, -------, -------]
2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151
(%o7)               /home/a/Dokumenty/maxima/rotation/r.mac
float(%o6);
(%o8) [0.3333326975501525, 0.6666653951003051, 0.3333307902006102, 0.6666615804012205, 0.333323160802441, 0.666646321604882, 0.3332926432097641, 
0.6665852864195282, 0.3331705728390564, 0.6663411456781129, 0.3326822913562257, 0.6653645827124514, 0.3307291654249026, 
0.6614583308498053, 0.3229166616996106, 0.6458333233992212, 0.2916666467984423, 0.5833332935968846, 0.166666587193769, 0.3333331743875381, 
0.6666663487750763, 0.3333326975501525]

子周期 27

内部角 13/27

c = -0.739880396515927 +0.115700424748225 i
不动点 alpha z = -0.496619178870972 +0.058046457062615 i
周期 27

主心形线的 13/27-wake 由具有以下角度的参数射线包围

44739241/134217727 或 p010101010101010101010101001
44739242/134217727 或 p010101010101010101010101010

子周期 34

参见 Arnaud Cheritat 的图像 ^[10]

wake 外部射线角度（参数平面） 以不同格式表示：^[11]

$4985538889/17179869183={\frac {4985538889_{10}}{17179869183_{10}}}=p0100101001001010010100100101001001=.(0100101001001010010100100101001001)=0.(0100101001001010010100100101001001)=0.{\overline {0100101001001010010100100101001001}}_{2}={\frac {100101001001010010100100101001001_{2}}{1111111111111111111111111111111111_{2}}}$ $4985538889/17179869183={\frac {4985538889_{10}}{17179869183_{10}}}=p0100101001001010010100100101001001=.(0100101001001010010100100101001001)=0.(0100101001001010010100100101001001)=0.{\overline {0100101001001010010100100101001001}}_{2}={\frac {100101001001010010100100101001001_{2}}{1111111111111111111111111111111111_{2}}}$

$4985538890/17179869183=p0100101001001010010100100101001010=.(0100101001001010010100100101001010)=0.(0100101001001010010100100101001010)$ $4985538890/17179869183=p0100101001001010010100100101001010=.(0100101001001010010100100101001010)=0.(0100101001001010010100100101001010)$

周期为 34 的分量有 8 589 869 055 个。

落在根点上的外部角

$e={\frac {n}{d}}$

其中分母 d 为

$d=2^{34}-1=17\ 179\ 869\ 183$

主心形的内部角	参数 c = 根点	wake 的外部角（十进制小数）	wake 的外部角（二进制小数）	抛物不动点 z	动态射线（轨道图，仅分子）
1/34		(1/d; 2/d)
13/34	-0.392571548476155+0.585781365897037i	(4985538889/d ; 4985538890/d)	(p0100101001001010010100100101001001; p0100101001001010010100100101001010)	-0.3695044586103295 ; 0.3368478218232787	[4985538889,9971077778,2762286373,5524572746,11049145492,4918421801,9836843602, 2493818021,4987636042,9975272084,2770674985,5541349970,11082699940,4985530697, 9971061394,2762253605,5524507210,11049014420,4918159657,9836319314,2492769445, 4985538890,9971077780,2762286377,5524572754,11049145508,4918421833,9836843666, 2493818149,4987636298,9975272596,2770676009,5541352018,11082704036]

最宽扇区（包含临界分量）为

 ( 2492769445/17179869183; 11082704036/17179869183 )

最后一个分量 = 包含临界点 zcr = 0.0 的分量左侧的分量。当 iPeriodChild 增加时，此分量几乎不变，参见此视频

89

34/89

参见 Arnaud Cheritat 的图像 ^[12]

让我们使用 Wolf Jung 的 Mandel 程序查找一些信息

 
t = 34/89 = 0,382022472 // internal angle = rotational number  
c = -0.390837354761211  +0.586641524321638 i // Parameter c
z = -0.368804231870311  +0.337614334047815 i // fixed point alfa

分母或外部角度（使用此程序计算）

$d=(2^{89}-1)_{10}=618970019642690137449562111_{10}=11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_{2}$ $d=(2^{89}-1)_{10}=618970019642690137449562111_{10}=11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_{2}$

使用 Claude Heiland-Allen 的 book 程序查找根点位置

1/3 = 0.3333
3/8 = 0,375
8/21 = 0,380952381
21/55 = 0,381818182
34/89 = 0,382022472
13/34 = 0,382352941
5/13 = 0,384615385
2/5 = 0.4
1/2 = 0.5

可以使用 Claude Heiland-Allen 的 book 程序计算落在根点上的射线的外部角度

 ./mandelbrot_external_angles 53 -3.9089629378291085e-01 5.8676031775674931e-01 89
.(01001010010010100101001001010010010100101001001010010100100101001001010010100100101001001)
.(01001010010010100101001001010010010100101001001010010100100101001001010010100100101001010)

使用 gmp 转换为其他形式

decimal fraction =  179622968672387565806504265 / 618970019642690137449562111 
decimal canonical form =  179622968672387565806504265/618970019642690137449562111
binary fraction  = 01001010010010100101001001010010010100101001001010010100100101001001010010100100101001001/11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 
decimal floating point number : 0.290196557138708685358212600555

decimal fraction =  179622968672387565806504266 / 618970019642690137449562111 
decimal canonical form =  179622968672387565806504266/618970019642690137449562111
binary fraction  = 01001010010010100101001001010010010100101001001010010100100101001001010010100100101001010/11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 
decimal floating point number : 0.290196557138708685358212602171

请注意，浮点形式的外部角度之间的差异

0.290 196 557 138 708 685 358 212 602 171 
0.290 196 557 138 708 685 358 212 600 555

出现在小数点后第 27 位

0.(010 010 100 100 101 001 010 010 010 100 100 101 001 010 010 010 100 101 001 001 010 010 010 100 101 001 001 010 010 01)
0.(010 010 100 100 101 001 010 010 010 100 100 101 001 010 010 010 100 101 001 001 010 010 010 100 101 001 001 010 010 10)

以及小数点后第 88 位二进制数。

落在不动点 alfa 上的射线的外部角度（轨道图）的分子

179622968672387565806504265
179622968672387565806504265
359245937344775131613008530
99521855046860125776454949
199043710093720251552909898
398087420187440503105819796
177204820732190868762077481
354409641464381737524154962
89849263286073337598747813
179698526572146675197495626
359397053144293350394991252
99824086645896563340420393
199648173291793126680840786
399296346583586253361681572
179622673524482369273801033
359245347048964738547602066
99520674455239339645642021
199041348910478679291284042
398082697820957358582568084
177195375999224579715574057
354390751998449159431148114
89811484354208181412734117
179622968708416362825468234
359245937416832725650936468
99521855190975313852310825
199043710381950627704621650
398087420763901255409243300
177204821885112373368924489
354409643770224746737848978
89849267897759356026135845
179698535795518712052271690
359397071591037424104543380
99824123539384710759524649
199648247078769421519049298
399296494157538843038098596
179622968672387548626635081
359245937344775097253270162
99521855046860057056978213
199043710093720114113956426
398087420187440228227912852
177204820732190319006263593
354409641464380638012527186
89849263286071138575492261
179698526572142277150984522
359397053144284554301969044
99824086645878971154375977
199648173291757942308751954
399296346583515884617503908
179622673524341631785445705
359245347048683263570891410
99520674454676389692220709
199041348909352779384441418
398082697818705558768882836
177195375994720980088203561
354390751989441960176407122
89811484336193782903252133
179622968672387565806504266
359245937344775131613008532
99521855046860125776454953
199043710093720251552909906
398087420187440503105819812
177204820732190868762077513
354409641464381737524155026
89849263286073337598747941
179698526572146675197495882
359397053144293350394991764
99824086645896563340421417
199648173291793126680842834
399296346583586253361685668
179622673524482369273809225
359245347048964738547618450
99520674455239339645674789
199041348910478679291349578
398082697820957358582699156
177195375999224579715836201
354390751998449159431672402
89811484354208181413782693
179622968708416362827565386
359245937416832725655130772
99521855190975313860699433
199043710381950627721398866
398087420763901255442797732
177204821885112373436033353
354409643770224746872066706
89849267897759356294571301
179698535795518712589142602
359397071591037425178285204
99824123539384712907008297
199648247078769425814016594
399296494157538851628033188

代码

Wolf Jung 的 Mandel 程序: MainMenu\Rays\Orbit Portrait，输入动态射线（或 wake 角）的第一个角度

参考资料

[1] uency : elephant valley

[2] Miqel 编写的曼德博集合视觉指南

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[4] 维基百科中的整数溢出

[5] tmath : 圣马可龙形

[6] 维基百科 : 杜瓦迪兔子

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[8] A Majewski 编写的周期 p 分量根点的参数射线

[9] A Majewski 编写的周期 p 分量根点的参数射线

[10] Arnaud Cheritat - 图库

[11] wledgedoor 计算器：整数比率转换

[12] Arnaud Cheritat - 图库

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