分形/复平面迭代/层叠

层叠是一种用于研究多项式动力学的工具（模型）。 这里，倍增映射 用于分析复二次多项式 的动力学。它比复二次映射更容易分析的动力系统。

周期轨道

角度在倍增映射 下的周期轨道

注意，这里连接单位圆上 2 个点 z1 和 z2 的弦意味着 $z_{2}=z_{1}^{2}$。这并不意味着这些点是同一条射线的着陆点。

一些轨道不交叉

• 
  周期 2 轨道（角度在倍增映射下）
• 
  周期 3 轨道（角度在倍增映射下）
• 
  周期 4 轨道（角度在倍增映射下）
• 
  周期 5 轨道（角度在倍增映射下）
• 
  周期 6 轨道（角度在倍增映射下）

但有些则交叉

• 
  11/63 在倍增映射下的周期 6 轨道
• 
  74/511 在倍增映射下的周期 9 轨道

轨道肖像

轨道肖像可以有两种形式

• 数字列表 ( 具有偶数分母的普通分数)
• 图像显示射线着陆在周期性 z 点上 (= 动态平面划分)

注意

• 这里连接单位圆上 2 个点 z1 和 z2 的弦意味着这些点是同一条射线的着陆点。这并不意味着 $z_{2}=z_{1}^{2}$.
• 轨道肖像是轨道的肖像，它在复二次映射下是周期的。
• Julia 集有许多周期轨道，因此它也有许多轨道肖像
• 轨道肖像是轨道的组合描述
• (杜瓦迪和哈伯德)。二次多项式 fc 的每一个排斥和抛物线周期点都是具有有理角的外射线的着陆点。反之，每一个具有有理角的外射线要么着陆在 J(fc) 中的周期点，要么着陆在预周期点。

图像

图像可以有三种形式

• 动态平面的图像，包含 Julia 集和着陆在周期轨道上的外射线
• 上述图像的草图
  • 标准方式: 轨道的点绘制在单位圆内，射线由连接角度 ( 单位圆上的点) 和轨道点的线组成。它看起来像上述图像的草图
  • 双曲方式: 点位于单位圆上，这里连接单位圆上 2 个点 z1 和 z2 的弦意味着这些点是同一条射线的着陆点。这并不意味着 $z_{2}=z_{1}^{2}$。弦使用弧 ( 正交圆的一部分) 绘制。

动态平面由动态射线划分

该划分是由角度为 $\theta /2$ 和 $(\theta +1)/2$ 的动态射线形成的，它们共同着陆在临界点。

划分

• 在定义揉捏序列时使用的划分：将开单位圆盘（或圆群）S1 分为两部分：$\theta /2$ 和 $(\theta +1)/2$（角度加倍的两个逆像）；
  • 包含角度 0 的开部分标为 0
  • 另一个开部分标为 1
  • 边界得到标签 ⋆
• 动态平面通过动态射线的对应划分，这里以一个Misiurewicz多项式为例

• 
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如何找到落在临界值 z = c 上的动态外部射线的角度？

动力平面的层压

"层压是由 Thurston 在 1980 年代初引入多项式动力学领域的"用于显示外部射线的着陆模式。

层压 L 给出

• 二次映射动力学的组合描述。 因为单位圆上的加倍映射作用是复多项式在复平面上的作用模型
• Julia 集的精确拓扑结构 = Julia 集的拓扑模型
• 射线肖像的模型。在层压中的角度的外部射线落在 Julia 集/Mandelbrot 集的"切点"。

注意，这里连接单位圆上两点 z1 和 z2 的弦意味着这两点是同一射线的着陆点。这并不意味着 $z_{2}=z_{1}^{2}$.

对于二次多项式，初始集的形式为：

$\left\{\theta ,\theta +{\frac {1}{2}}\right\rbrace$

?????

定义

层压由以下组成

• 闭单位圆盘 D2
• 连接边界圆上两点（角度以圈数表示）的双曲弧（或叶）。这些角度的外部射线（在动力平面上）落在同一点上

平面上单位圆盘的层压是单位圆盘内弦（叶，弧）的闭合集合

二次层压 = 在角度加倍映射下保持不变的那些

符号

• $\sigma _{d}$ 是一个映射，在 d=2 的情况下，它是周期加倍映射
• 弦 = 叶 = 单位圆盘上识别（连接）单位圆上两点的连续路径
  • 主叶 是
    • 层压中最大长度的叶
    • 最接近 1/2 的长度
  • 次叶 是主叶的像
  • 临界弦：一个$\sigma _{d}$-临界弦是 $D$ 的弦，其端点在 $\sigma _{d}$ 下映射到同一点
• 拉回 = 拉回过程 = 反向迭代
• 树状二次多项式的次标签 = 假设 pc = z^2 + c 是一个树状二次多项式；所有点 a ∈ S^1 满足 φ(a) = c 的凸包 Gc 被称为 pc 的次标签。

层压的性质

层压必须满足以下规则

• 叶不会交叉，但它们可能共享端点
• 层压是正向和反向不变的（在加倍映射下）

层压的不变性

"单位圆盘中层压 L 的不变性意味着

• 只要有 L 的一片叶子连接 $z_{1}$ 和 $z_{2}$，也有一片 L 的叶子连接 $z_{1}^{2}$ 和 $z_{2}^{2}$。
• 只要有一条连接 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 的弦，则存在点 $\pm z_{3}^{2}$ 和 $\pm z_{4}^{2}$，其中 $z_{3}^{2}=z_{1}$ 和 $z_{4}^{2}=z_{2}$，并且存在 L 的叶子连接 z3 到 z4，以及 -z3 到 -z4。

工具

用于研究层压结构动力学的工具

• 中央带引理

绘制层压结构

• Drawlam：由 Clinton P. Curry 编写的用于渲染层压结构的程序。 该程序在修改后的 BSD 样式许可下获得许可。它使用输入文件或从控制台读取。
  • bitbucket 官方仓库
  • gitlab 非官方仓库
• 不变层压结构计算器 Java applet 由 Danny Calegari 编写。它计算曼德勃罗集边界上连接的茱莉亚集的不变层压结构，外部角可变。附有 Java 源代码
• 层压结构 由 Danny Calegari 编写。使用标准 Xlib 东西的 X11 Cpp 程序。源代码根据 GNU GPL 的条款发布。该程序是一个用于对圆形层压结构进行实验的玩具。以符号和图像形式表示它。它只需要一个输入：层压结构的大小（多边形端点的数量）。这些端点按逆时针顺序从 0 到 size-1 枚举。对于每个端点，nextleaf 指向逆时针方向的相邻端点。

我在 main.cc 中进行了更改

#include <math.h>
#include <iostream> // I have removed .h
#include <stdlib.h>
#include "graphics.cc"
using namespace std; // added because : main.cc:101: error: ‘cout’ was not declared in this scope

然后在 program 目录中

make
./lamiantion

示例

树枝状层压结构

• c = i
• 位于 $z={\frac {1-{\sqrt {1-4i}}}{2}}$ 的点称为
  • 被称为
    • 主三重点
    • 固定点，因为它在映射 $f(z)=z^{2}+i$ 下保持不变
  • 在 1/7、2/7 和 4/7 处有外部射线，这些射线在直接到达之前，会形成一个围绕该点的无限对数螺旋。
• 中央池点在 1/12 和 7/12 处有外部射线
• 在 φ 下，任何三重点都不会被映射到池中，反之亦然。
• 我们只关心作为三重点或池的夹点。
• 如果树枝上的一个点是两条外部射线的着陆点，这两条外部射线的角度都具有 ${\frac {k}{12*2n}}$ 的形式，其中 k、n ∈ N，且 k ≡ 1 mod 6，则该点被称为 **池**。
• 如果树枝上的一个点被移除后会将树枝分成三个连通分量，则该点被称为 **三叉点**。这样的点是三条外部射线的着陆点，这些射线的角度都具有 ${\frac {k}{7*2n}}$ 的形式，其中 k、n ∈ N，且 k 模 7 同余于 1、2 或 4。

算法

• “我们从单位圆开始，就像之前一样，如果某个点是三叉点或池，我们就在圆上连接任何两个外部射线落在该点的点之间的弧线。”
• 因此，我们将 1/7、2/7 和 4/7 这三个点连接成一个三角形，并将 1/12 和 7/12 这两个点连接成一条弧线。
• 我们继续以这种方式，为三叉点绘制更多三角形，为池绘制更多弧线。”

图片

• z2 + i 的层压，来自 Curtis T McMullen 的画廊

二阶割点

周期为一的轨道 = 不动点（巴西利卡层压）

对于所有参数 c 在曼德尔布罗特集合中由射线 1/3 和 2/3 所围成的尾流区域内的复二次多项式 $f_{c}(z)$，都存在一个排斥不动点，其轨道肖像为

${\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\left\{{\mathcal {A}}_{1}\right\rbrace =\left\{\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)\right\rbrace$

• 
  落在不动点 alpha 上的外部射线
• 
  由落在周期为 1 轨道上的两条射线对圆进行的划分（角度在倍增映射下的值）
• 
  与巴西利卡朱利亚集 $f_{c}(z)=z^{2}-1$ 相关的二次不变层压 ${\frac {1}{3}}$
• 
  落在割点上的射线

“巴西利卡只有一种类型的夹点，并且在层压中弧线之间存在间隙”。——威尔·史密斯

算法

• 我们从单位圆开始，
• 添加连接 1/3 和 2/3 的弧线（小叶 = 包含曼德尔布罗特集合周期为 2 分量的尾流区域的角度）
• 1/6 和 5/6，以及所有具有 ${\frac {3k-1}{3*2^{n}}},{\frac {3k+1}{3*2^{n}}}$ 形式的每一对有理数的其它对（对于某个整数 k、n）
• 当我们完成时，我们就生成了巴西利卡的不变层压。

周期点：周期为一（排斥 = 在朱利亚集中）

• 不动点 $\alpha$。这里，两个不动点 $z=\alpha ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ 之一是两条外部射线 1/3 和 2/3 的着陆点。这些是周期射线（前周期 = 0，周期 = 2）。请注意，着陆点的周期不等于落在其上的射线的周期。
• 点 $z=-\alpha$ 是两条射线 1/6 和 5/6 的着陆点。这些是前周期射线：前周期 = 1，周期 = 2

周期为 2（超吸引 = 分量的中心）。这些点是两个主要分量的中心。它们的前像就是其他分量的中心。

• 临界点 z = 0
• 临界值 z = -1

z = 0.000000000000000 + 0.521555030187677 * i 的前周期为 3，周期为 1。它是

• 以 z = 0 为中心的连通分量的内部射线 1/4
• 前周期为 3，周期为 2 的外部射线 5/24（001p10）和 7/24 的着陆点。

z = 0.000000000000000 -0.521555030187677 i 的前周期为 3，周期为 1。它是以下的着陆点：

• 内部射线 3/4
• 外部射线 17/24 或 101p10 和 19/24，它们的前周期 = 3，周期 = 2。

z = 0.334146940762091 +0.378310439392182 i 的前周期为 5，周期为 1。它是以下的着陆点：

• 内部射线 1/8
• 外部射线 角度 17/96 或 00101p10 和 19/96 的前周期 = 5，周期 = 2。

$\Psi (x)={\begin{cases}2x-k&{\text{if }}x\in [k+1/3,k+2/3],k\in \mathbb {Z} \\(x+k+1)/2&{\text{if }}x\in (k-1/3,k+1/3),k\in \mathbb {Z} \end{cases}}$

3 阶切割点

周期一轨道 = 固定点

在二次映射下的轨道包含一个（固定点）

${\mathcal {O}}=\left\{z_{1}\right\rbrace =\left\{\alpha _{c}\right\rbrace$

这个点是 3 个外部射线的着陆点，并且具有轨道肖像

${\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\left\{{\mathcal {A}}_{1}\right\rbrace =\left\{\left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}},{\frac {4}{7}}\right)\right\rbrace$

• 
  动态平面的分区：杜阿迪兔子朱利亚集和落在固定点上的外部射线 $\alpha _{c}\,$
• 
  轨道肖像以双曲方式制作。由周期 3 轨道对圆进行分区（在倍增映射下的角度）
• 
  与兔子朱利亚集相关的层压 $L_{\frac {1}{7}}$

周期 2 轨道

c 是曼德勃罗集在周期 2 和 6 组件之间的根点：

$c=-1+{\frac {1}{4}}e^{2\pi i{\frac {2}{3}}}\in \partial M$

内部地址为 1-2-6。

六个周期射线周期落在二周期抛物线轨道上

${\mathcal {O}}=\left\{z_{2,1},z_{2,2}\right\rbrace$

其中

$z_{2,1}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-e^{2\pi i{\frac {2}{3}}}}}$

$z_{2,2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-e^{2\pi i{\frac {2}{3}}}}}$

轨道肖像

${\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\left\{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}\right\rbrace =\left\{\left({\frac {22}{63}},{\frac {25}{63}},{\frac {37}{63}}\right),\left({\frac {44}{63}},{\frac {50}{63}},{\frac {11}{63}}\right),\right\rbrace$

• 
  参数平面被落在内地址为 1-2-6 的根点上的射线分割
• 
  动态平面被落在抛物线轨道上的射线分割
• 
  圆被周期 6 轨道分割（角度在倍增映射下）

周期 3 轨道

参数 c 是 Mandelbrot 集合中周期 9 双曲分量的中心

$c=-0.03111+0.79111*i$

二次映射下的轨道由 3 个点组成

${\mathcal {O}}=\left\{z_{3,1},z_{3,2},z_{3,1}\right\rbrace$

与抛物线周期 3 轨道 ${\mathcal {O}}$ 相关的轨道肖像是：

${\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\left\{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {A}}_{3}\right\rbrace =\left\{\left({\frac {74}{511}},{\frac {81}{511}},{\frac {137}{511}}\right),\left({\frac {148}{511}},{\frac {162}{511}},{\frac {274}{511}}\right),\left({\frac {296}{511}},{\frac {324}{511}},{\frac {37}{511}}\right)\right\rbrace$

化合价 = 每个轨道点 3 个射线（= 每个点都是 3 个外部射线的着陆点）

上述角度对应的射线落在该轨道的点上。

• 
  动态平面分割：Julia 集和落在周期 3 轨道上的外部射线
• 
  74/511 在倍增映射下的轨道

5 阶切割点

周期 1 轨道 = 不动点

• 
  周期 5 超吸引轨道 = c 是周期 5 分量轨道的中心：{5/31 , 10/31 , 20/31 , 9/31 , 18/31}
• 
  轨道：{5/31 , 10/31 , 20/31 , 9/31 , 18/31}，交叉
• 
  1/31 在倍增映射下的轨道，不交叉，= {1/31 , 2/31 , 4/31 , 8/31 , 16/31}。参数 c 将位于内角为 2/5 的抛物线点上

问题

• 如何计算轨道肖像？
• 当我在 Mandelbrot 集合内部移动时，轨道肖像如何变化？
  • 在 Mandelbrot 集合内部的连通分量中，层化是相同的
• 射线共同着陆的准则
  • 由 JINSONG ZENG 在动态平面上提出的射线共同着陆的准则
  • 在参数平面上（尾流角度和共轭角度）

参见

• 层化
• Mandelbrot 集合的层化
• Douady 兔
• 轨道肖像
• 根和抛物线不动点：外部射线
• (单位) 圆的镶嵌，拼贴
• 非交叉圆分割
• benice 的螺旋
• 自相似群

参考文献

• CURTIS T MCMULLEN 的图像库中 z2 + i 的层状结构
• 不变因子、茱莉亚等价性和 (抽象) 曼德勃罗集 KARSTEN KELLER 撰写。书籍来自系列讲座笔记系列

第 1732 卷，2000 年，DOI：10.1007/BFb0103999。施普林格出版社，柏林-海德堡-纽约 2000 年