根点的抛物线扰动是一种将该根扰动到某些其他附近的根的方法

描述

"Near a non-degenerate 1-parabolic point z0, the orbits are attracted towards z0 on one side and repelled away on the other side. The parabolic basin of z0 is an open set containing z0 on the boundary and occupies most of  area near z0. So the local dynamics is relatively simple. However, once perturbed, it becomes the source of rich and delicate bifurcation phenomena. The points in the basin of unperturbed map can now escape through
the “gate” between the bifurcated fixed points, thus new recurrent orbits may be created. These “new” orbits depend extremely sensitively on the perturbation, and this causes a drastic change
of dynamics or the discontinuity of Julia sets. Also the perturbation into certain direction, such as z0 turning into irrationally indifferent fixed point (i.e. |λ| = 1 but λ is not a root of unity),
can create highly recurrent behavior, which leads into delicate questions, e.g. the linearizability problem or Cremer Julia sets which are not locally connected."^[1]

扰动

取一个具有有理内部参数 $t={\frac {p}{q}}$ 的根点。它有 2 个相等的简单连分数展开（表示）

 $x=t=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}]=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}-1,1]$

其中

内部参数 $t$ 是真分数： $t<1$ 因此第一项 $a_{0}$ 等于零： $a_{0}=0$
当 $b_{n}=1$ 对于所有 $n$ 时，该表达式被称为简单连分数

对于小于展开长度的任何 n（使用 2 个相等展开中的一个）

 $x_{n}=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}]$

是 x 的第 n 个收敛。收敛按如下顺序排列

 $0<x_{2}<x_{4}<\ldots <x_{2m}<x<x_{2m+1}<\ldots <x_{3}<x_{1}\leq 1$

一阶

类型 1 和 2 = 在双曲分量（父分量）上^[2]
类型 3 和 4 = 在卫星（子分量）上

主心形上的类型 1

取 t 的第一个（规范）cf 展开（长度为奇数）
添加一个分母 a（自然数）

 $x=t=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1}]$ 

 $x_{n}=t'(a)=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a]$

注意

展开长度 $x_{n}$ 是偶数：n = 2*m 其中 m 是正自然数
旋转数略小于 t： $t'(a)<t$
$t'(a)\nearrow t\quad as\quad a\to +\infty$

示例

胖的巴塞罗那朱利亚集

$x=t={\frac {1}{2}}=[2]=0.5$ 且 c = -0.75
$x_{2}=t'(a)=[2,a]$
$x_{2}=t'(5)=[2,5]={\frac {5}{11}}=0.4545454545454545$ 和 c = -0.690059870015044 +0.276026482784614 i。尾迹 5/11 的根点
$x_{2}=t'(10)=[2,10]={\frac {10}{21}}=0.4761904761904761$ 和 c = -0.733308614559099 +0.148209926690813 i
$x_{2}=t'(100)=[2,100]={\frac {100}{201}}=0.4975124378109453$ 和 c = -0.749816792870443 +0.015628223336210 i
$x_{2}=t'(1000)=[2,1000]={\frac {1000}{2001}}=0.4997501249375312$ 和 c = -0.749998151299478 +0.001570009708645 i

$t={\frac {1}{2}}$
$t'(5)=[2,5]={\frac {5}{11}}$

胖杜瓦迪兔子

$x=t={\frac {1}{3}}=[3]=0.33333...$ 和 c = -0.125000000000000 +0.649519052838329 i
$x_{2}=t'(a)=[3,a]$
$x_{2}=t'(5)=[3,5]={\frac {5}{16}}=0.3125$ 和 c = -0.014565020885908 +0.638716461552280 i
$x_{2}=t'(10)=[3,10]={\frac {10}{31}}=0.3225806451612903$ 和 c = -0.067170580141901 +0.646596204019795 i
$x_{2}=t'(100)=[3,100]={\frac {100}{301}}=0.3322259136212624$ 和 c = -0.118980261815329 +0.649487648552261 i
$x_{2}=t'(1000)=[3,1000]={\frac {1000}{3001}}=0.3332222592469177$ 和 c = -0.124395662683559 +0.649518736524089 i

$x=t={\frac {1}{3}}=[3]$

如何在 Maxima CAS 中计算 t（这里应该添加 a0 项）

(%i3) c:[0,3,5];
                            
(%i7) c5:cfdisrep(c);
                                       1
(%o7)                                -----
                                         1
                                     3 + -
                                         5
(%i8) ratsimp(c5);
                                      5
(%o8)                                 --
                                      16
(%i9) float(c5);
(%o9)                               0.3125
(%i10)

主心形上的类型 2

取第二个连分数展开（偶数长度）
添加一个分母 a（自然数）

 $x=t=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},1]$ 

 $x_{k}=t''(a)=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},1,a]$

注意

展开的长度是奇数：k = n+1 = 2*m+1 其中 m 是一个正自然数
旋转次数 $t''$ 略大于 t： $t<t''(a)$
$t''(a)\nearrow t\quad as\quad a\to +\infty$

示例

胖的巴塞罗那朱利亚集

$x=t={\frac {1}{2}}=[1,1]=0.5$ 且 c = -0.75
$x_{3}=t''(a)=[1,1,a]$
$x_{3}=t''(5)=[1,1,5]={\frac {6}{11}}=0.5454545454545454$ 且 c = -0.690059870015044 -0.276026482784614 i
$x_{3}=t''(10)=[1,1,10]={\frac {11}{21}}=0.5238095238095238$ 且 c = -0.733308614559099 -0.148209926690813 i
$x_{3}=t''(100)=[1,1,100]={\frac {101}{201}}=0.5024875621890548$ 且 c = -0.749816792870443 -0.015628223336210 i
$x_{3}=t''(1000)=[1,1,1000]={\frac {1001}{2001}}=0.5002498750624688$ 且 c = -0.749998151299478 -0.001570009708645 i

Maxima CAS 代码（这里应该添加 a0 项）

(%i4) x3:[0,2,1,5];
(%o4)                            [0, 2, 1, 5]
(%i5) cf:cfdisrep(x3);
                                       1
(%o5)                              ---------
                                         1
                                   2 + -----
                                           1
                                       1 + -
                                           5
(%i6) ratsimp(cf);
                                      6
(%o6)                                 --
                                      17
(%i7)

胖杜瓦迪兔子

$x=t={\frac {1}{3}}=[2,1]=0.33333...$ 且 c = -0.125000000000000 +0.649519052838329 i
$x_{3}=t''(a)=[2,1,a]$
$x_{3}=t''(5)=[2,1,5]={\frac {6}{17}}=$ 且 c = -0.232901570671607 +0.639465024433325 i
$x_{3}=t''(10)=[2,1,10]={\frac {11}{32}}=$ 且 c = -0.182114258418529 +0.646704689279094 i
$x_{3}=t''(100)=[2,1,100]={\frac {101}{302}}=$ 以及 c = -0.131011849556424 +0.649487772656967 i
$x_{3}=t''(1000)=[2,1,1000]={\frac {1001}{3002}}=$ 以及 c = -0.125604257709865 +0.649518736649880 i

类型 3 在周期 2 卫星分量上

胖的巴塞罗那朱利亚集

在主心形上 $x=t={\frac {1}{2}}=0.5$ 以及 c = -0.75
在周期 2 分量上（内部射线 1/2）
- $t'''(a)={\frac {1}{a}}$ 是周期 2 和周期 2*a 之间的根点
- $t'''(5)={\frac {1}{5}}=0.2$ 以及 c = -0.922745751406263 +0.237764129073788 i
- $t'''(10)={\frac {1}{10}}=0.1$ 以及 c = -0.797745751406263 +0.146946313073118 i
- $t'''(100)={\frac {1}{100}}=0.01$ 以及 c = -0.750493317892932 +0.015697629882328 i
- $t'''(1000)={\frac {1}{1000}}=0.001$ 以及 c = -0.750004934785966 +0.001570785991390 i

类型 3 在杜瓦迪兔子卫星上（周期 3 分量）

胖杜瓦迪兔子

在主心形上： $t={\frac {1}{3}}=[2,1]=0.33333...$ 以及 c = -0.125000000000000 +0.649519052838329 i
在周期 3 分量上，根点在内部角 = 1/3
- $t'''(a)={\frac {1}{a}}$ 是周期 3 和周期 3*a 之间的根点
- $t'''(5)={\frac {1}{5}}=0.2$ 以及 c = -0.035468843775407 +0.713230932890222*I
- $t'''(10)={\frac {1}{10}}=0.1$ 以及 c = -0.069357410041421 +0.667567542415601*I
- $t'''(100)={\frac {1}{100}}=0.01$ 以及 c = -0.118968172732931 +0.649711213179649*I
- $t'''(1000)={\frac {1}{1000}}=0.001$ 以及 c = -0.124395505045425 +0.649520981010889 i

周期 2 卫星分量上的 4 类

胖的巴塞罗那朱利亚集

在主心形上 $x=t={\frac {1}{2}}=0.5$ 以及 c = -0.75
在周期 2 分量上（内部射线 1/2）
- $t''''(a)=-{\frac {1}{a}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{a}}={\frac {a-1}{a}}$ 其中 c 是周期 2 和周期 2*a 之间的根点
- $t''''(5)=-{\frac {1}{5}}={\frac {4}{5}}$ 以及 c = -0.922745751406263 -0.237764129073788 i
- $t''''(10)=-{\frac {1}{10}}={\frac {9}{10}}$ 以及 c = -0.797745751406263 -0.146946313073118 i
- $t''''(100)=-{\frac {1}{100}}={\frac {99}{100}}$ 以及 c = -0.750493317892932 -0.015697629882328 i
- $t''''(1000)=-{\frac {1}{1000}}={\frac {999}{1000}}$ 以及 c = -0.750004934785966 -0.001570785991390 i

杜瓦兔卫星上的 4 类

胖杜瓦迪兔子

在主心形上: $t={\frac {1}{3}}=0.33333...$ 以及 c = -0.125000000000000 +0.649519052838329 i
在周期 3 分量上，根点在内部角 = 1/3
- $t''''(a)=-{\frac {1}{a}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{a}}={\frac {a-1}{a}}$ 其中 c 是周期 3 和周期 3*a 之间的根点
- $t''''(5)=-{\frac {1}{5}}={\frac {4}{5}}$ 以及 c = -0.216358795928715 +0.719846780290728 i
- $t''''(10)=-{\frac {1}{10}}={\frac {9}{10}}$ 以及 c = -0.182180023389255 +0.668744570272412 i
- $t''''(100)=-{\frac {1}{100}}={\frac {99}{100}}$ 以及 c = -0.131051918394844 +0.649712528934645 i
- $t''''(1000)=-{\frac {1}{1000}}={\frac {999}{1000}}$ 以及 c = -0.125604696369978 +0.649520982328093 i

比较

参考文献

z -> z 2 + c 的非共形扰动：1:3 共振，非线性 17 (2004) 765 - 789 作者 Henk Bruin 和 Martijn van Noort

↑ 抛物线不动点的重整化及其由井上裕之和宍倉光広的扰动。2006 年 5 月 5 日
↑ 丹·埃里克·克拉鲁普·索伦森：复杂动力系统：射线和非局部连通性。博士论文 1994，数学研究所丹麦技术大学

[1] 抛物线不动点的重整化及其由井上裕之和宍倉光広的扰动。2006 年 5 月 5 日

[2] 丹·埃里克·克拉鲁普·索伦森：复杂动力系统：射线和非局部连通性。博士论文 1994，数学研究所丹麦技术大学

[1]

[2]