分形/数学/根

求解方程的根

根

名称

• 根
• 零点
• 方程的解
• x截距

多项式根与系数的关系

• math.stackexchange 问题：标准二次函数的固定点及其原像的参数平面动力学
• 单值性 是研究对象在“绕过”奇点时的行为。

方法

• 牛顿法
• "可视化复函数根的一种有用方法是绘制实部和虚部的 0 等值线。也就是说，在一个合理密集的网格上计算 z = Dm(...)，然后使用 matplotlib 的 contour 函数绘制 z.real 为 0 和 z.imag 为零的等值线。函数的根是这些等值线相交的点。" Warren Weckesser

论文

• Eunice Y. S. Chan 对类 Mandelbrot 多项式的解法进行比较

程序

• 免费在线多项式根查找器（因式分解）
• gsl  : 多维求根示例程序
• mpsolve
• Leo C. Stein 的复多项式根玩具
• Dario A. Bini 2023 年关于 Mandelbrot 多项式根的数值计算：实验分析

示例

• 
  包含代码的示例图像，展示了求解方程时精度的重要性

二次方程

一般二次方程根的求根公式

二次方程（来自拉丁语 quadratus，意为“平方”）是指具有以下形式的任何方程

$ax^{2}+bx+c=0$

其中 x 表示未知数，a、b 和 c 表示已知数，使得 a 不等于 0。如果 a = 0，则该方程为线性方程，而不是二次方程。数字 a、b 和 c 是方程的系数，可以通过分别称它们为二次系数、线性系数和常数或自由项来区分。

尽管二次公式提供了精确解，但如果在计算过程中近似使用实数（如数值分析中通常那样，其中实数由浮点数（在许多编程语言中称为“实数”）近似），则结果不精确。在这种情况下，二次公式并非完全数值稳定。

当出现以下情况时：

• 根具有不同的数量级，或者等效地，当 b² 和 b² − 4ac 在数量级上接近时。在这种情况下，两个几乎相等的数的减法会导致较小根的有效数字损失或灾难性抵消。为了避免这种情况，可以将数量级较小的根 r 计算为 $(c/a)/R$，其中 R 是数量级较大的根。
• 判别式的项 b² 和 4ac 之间可能会发生第二种抵消，即当两个根非常接近时。这可能导致根中最多损失一半的有效数字。

当平方根内部的项（“判别式”）变为负数时，即

   if (b*b - 4*a*c < 0 ):

则没有实根，但有复根。（参见负数的平方根）

负数或复数的平方根

如果 S 是负实数：

$\operatorname {Re} (S)<0$

$\operatorname {Im} (S)=0$

则其主平方根为

${\sqrt {S}}={\sqrt {\vert S\vert }}\,\,i\,.$

如果 S 是复数：S = a+bi，其中 a 和 b 为实数且 b ≠ 0，

则其主平方根（= 实部非负的根）为：

${\sqrt {S}}={\sqrt {\frac {\vert S\vert +a}{2}}}\,+\,\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {\vert S\vert -a}{2}}}\,\,i\,.$

其中

$\vert S\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

是S的绝对值（模）。

可以通过对根进行平方来验证。

另请参阅

• 如何基于映射f分析离散动力系统？

参考文献

• 2018年2月，Kim Myong-Hi、Martens Marco和Sutherland Scott发表的《多项式的几何和基于路径提升的求根》（Geometry of polynomials and root-finding via path-lifting），《非线性》（Nonlinearity）31(2):414-457，DOI: 10.1088/1361-6544。