如何分析基于有理映射 $f$ 的离散动力系统，该映射定义在黎曼球面上一个复变量上的有理映射？

  $z_{n+1}=f(z_{n})$ 
  $f:{\hat {\mathbb {C} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}$

找到非排斥周期点

目标

找到临界点（有限和无限）= 临界集
找到周期点（循环），它的周期^[1]和稳定性
找到临界点、吸引点及其盆地（吸引域）之间的关系

字典

有理函数，即黎曼球面到自身的全纯映射，或者等效地，两个多项式的比率，在域和范围上都经过莫比乌斯变换。

算法

Pauldelbrot 算法^[2]“对于有理映射，我建议以下步骤可行

跟踪所有临界轨道，进行大量迭代。
对于每个轨道：再进行几千次迭代，观察它是否接近任何先前轨道的着陆点。如果是，则丢弃它。
将黎曼球面划分为网格中的小区域；例如，通过保留两个方形位图，一个表示单位圆的内部，另一个表示单位圆的外部，通过表示单位圆的内部对于 w = 1/z。
用红色、绿色、蓝色等颜色对这些位图中包含剩余临界轨道着陆点的像素进行着色；也许可以使用保守的距离估计，将每个像素扩展到一个小圆盘。
应用原始算法，只是不再寻找击中白色或不击中白色的像素，而是寻找击中所有这些不同颜色的像素，并传播这些颜色。

最后，你应该得到彩色填充的吸引域，以及沿 Julia 集本身的灰色区域。将两个位图转换为黎曼球面的适当可视化表示留给读者作为练习。”

如果不动点附近的局部动力学难以处理

将不动点移动到零
（待定）

步骤

计算映射的度数
计算关于变量 z 的一阶导数： $f'(z)={\frac {d}{dz}}f(z)$
计算临界点
计算吸引子（吸引周期循环）及其周期作为临界轨道的极限
计算每个吸引子的乘数
制作图像

度数

有理映射 f 的度数 d 是其分母和分子的度数的最大值，前提是它们互质。

  $f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}$ 
 
  $d=deg(f)=max\{deg(p),deg(q)\}\geq 2$

临界点

定义

临界点在黎曼球面上是

点 z，其中 f 不是局部一对一 = 在 z 的任何邻域中都无法单射，并且 f 不是常数
价数（阶）大于 1 的点

$f(z)$ 的临界点是：^[3]

满足 $f'(z)=0$ 的有限点 z
f 的阶数为 2 或更高的极点
无穷大点 z = ∞
- 如果 $f(z)$ 的度数 d 至少为 2
- 如果对于某个c和有理函数 $g(z)$ 满足此条件，则 $f(z)=1/g(z)+c$ 。

黎曼-赫维兹公式

临界点个数n，在黎曼球面上用适当的重数计算，为

n = 2*d-2

其中 d = 函数的次数

这是一个上界（由于考虑了重数，所以是最大值），因此函数可以有更少的临界点^[4]

如何检查无穷大是否是临界点？

计算函数 f

  $f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}$

在无穷远点^[5]

有两种情况

$f(\infty )=\infty$ ，因此无穷大是 f 的不动点
$f(\infty )\neq \infty$ ，因此无穷大不是 f 的不动点

次数

分子 $p(z)$ 为 $n$
分母 $q(z)$ 为 $m$ 。

不动点

无穷大是 f 的不动点

  $f(\infty )=\infty$

那么 $\infty$ 是 $f$ 的临界点，如果

  $n>m+1$

示例

 $f(z)={\frac {z^{3}+2z+3}{z-1}}$

kill(all);
remvalue(all);
display2d:false;


define(f(z), (z^3+ 2*z + 3)/(z - 1));

/* first derivativa wrt z */
define( d(z), diff(f(z),z,1));


/* hipow does not expand expr, so hipow (expr, x) and hipow (expand (expr, x)) may yield different results */
n : hipow(num(f(z)),z);
m : hipow(denom(f(z)),z);

/* check if infinity is a fixed point */
limit(f(z),z,infinity);



/* finite critical points */

s:solve(d(z)=0)$
s : map(rhs,s)$
s : map('float,s)$
s : map('rectform,s)$

不是不动点

无穷大不是 f 的不动点

  $f(\infty )\neq \infty$

看看这个函数

  $w\mapsto f(1/w)$ .

导数为

  $-{\frac {f'(1/w)}{w^{2}}}=-{\frac {p'(1/w)q(1/w)-p(1/w)q'(1/w)}{w^{2}q(1/w)^{2}}}$

那么如果

$n=m=1$ ，那么 $\infty$ 不是 $f$ 的临界点。
$n=m>1$ $n=m>1$ ，那么如果
- 分子是 $2m-2$ 次，并且 $\infty$ 不是 $f$ 的临界点。
- 如果分子项的次数小于 $<2m-2$ ，那么 $\infty$ **是** $f$ 的一个临界点。
如果 $n=m-1$ ，那么 $\infty$ **不是** $f$ 的一个临界点。
如果 $n<m-1$ ，那么 $\infty$ **是** $f$ 的一个临界点。

吸引子

寻找吸引子（吸引周期点，循环）作为临界轨道的极限集
寻找循环的周期

如何检查无穷大是否为不动点？

这里无穷大周期为 2，因此它不是不动点。

 a: -3-3*%i; /* d */
c: 0.0;
define(f(z), 1/(z^3+ a*z + c));

(%i4) limit(f(z),z,infinity);
(%o4)                                  0
(%i5) limit(f(z),z,0);
(%o5)                              infinity

这里无穷大不是不动点。

remvalue(all);
display2d:false;
define(f(z), 1/(z^3+ 2.099609375*z +  0.349609375));
(%i5)limit(f(z),z,infinity);
(%o5) 0
(%i6) limit(f(z),z,0);
(%o6) 2.860335195530726

这里无穷大是不动点。

define(f(z), (z^3+ 2*z + 3)/(z - 1));
n : hipow(num(f(z)),z);
m : hipow(denom(f(z)),z);
(%o3) f(z):=(z^3+2*z+3)/(z-1)
(%i4) 
(%o4) 3
(%i5) 
(%o5) 1
(%i6) limit(f(z),z,infinity);
(%o6) infinity

盆 = 法图域

每个法图域（吸引盆）至少包含 $f(z)$ 的一个临界点。
每个吸引、超吸引和抛物线循环都吸引一个临界点。
法图域的数量是有限的。
- 度为 d 的有理函数不能拥有超过 2(d—1) 个稳定区域循环。^[6]
- "不同周期循环的吸引盆是相互分离的。由于度为 d 的有理映射最多有 2d−2 个临界点，因此 f 的吸引和抛物线循环的数量受限于 2d − 2" ^[7]
一个法图域可以包含多个临界点。
有理映射的法图集中的每个域可以分为四种不同的类别。^[8]
分量数量

盆数据

函数（输入）
吸引循环的周期
一个落入吸引循环的临界点，它与吸引点位于同一个分量中（见下文）
吸引子 = 吸引循环中的一个点，它与上述临界点位于同一个分量中
吸引循环的乘子

如果拥有每个盆的上述数据，那么就可以创建动态平面的图像

图像

临界轨道（临界点的正向轨道）
周期点（主要是吸引循环）
吸引盆

示例

程序

GRPF：全局复根和极点查找算法

可视化

Mark McClure - JavaScript
Jux - Julia 分形浏览器作者：xenodream - 缺少源代码的二进制程序
Mandel 作者：Wolf Jung - c++ 代码
Xaos
Wolfram Alfa：julia 集 f(z) = (z^2-0.2+0.7*I ) /(z^2 + 0.917)
RatioField 作者：Gert Buschmann - pascal 代码
Luis Javier Hernández Paricio
- Luis Javier Hernandez Paricio、Miguel Maranon Grandes 和 Marıa Teresa Rivas Rodrıguez 发表的“用 Sage 绘制有理映射的端点盆”
- Luis Javier HERNÁNDEZ PARICIO 发表的“在 Julia 中绘制单变量有理映射的盆”
- Luis Javier Hernández Paricio 发表的“用 Julia 全局可视化单变量有理函数的盆”
- Extremiana José Ignacio、José Manuel Gutiérrez、Luis Javier Hernández Paricio 和 María Teresa Rivas Rodriguez 发表的“在黎曼球面上迭代有理函数的 Julia 语言实现。数值方法的应用”

Maxima CAS 代码

步骤

使用符号方法计算一阶导数 d(z)
计算（有限的）临界点，作为方程 d(z) = 0 的根，使用符号方法
计算临界点的正向轨道并生成图像
通过图像的视觉检查获得吸引子的近似周期

kill(all);
remvalue(all);
display2d:false;



/* map */ 

define(f(z), (z^2)/(z^9 -z + 0.025));


/* first derivativa wrt z */
define( d(z), diff(f(z),z,1));




GiveOrbit(z0,iMax):=
   /* 
   computes (without escape test)
    (forward orbit of critical point )
   and saves it to the list for draw package */
block(
 [z,orbit,temp],
 z:z0, /* first point = critical point z:0+0*%i */
 orbit:[[realpart(z),imagpart(z)]], 
 for i:1 thru iMax step 1 do
        ( z:f(z),
          z:float(z),
          z:rectform(z),
          z:float(z),
          if (cabs(z)>3) then break,
          /*if (cabs(z)< 0.00001) then break, */
          orbit:endcons([realpart(z),imagpart(z)],orbit)),
         
 return(orbit) 
)$



        
GiveAttractor(z0,iMax):=
   /* 
   computes (without escape test)
    (forward orbit of critical point )
   and saves it to the list for draw package */
block(
 [z,orbit,temp],
 z:z0, /* first point = critical point z:0+0*%i */
 orbit:[], 
 
 for i:1 thru iMax step 1 do
        ( z:f(z),
          z:float(z),
          z:rectform(z),
          z:float(z)
          
          ),
 
 for i:1 thru 10 step 1 do
        ( z:f(z),
          z:float(z),
          z:rectform(z),
          z:float(z),
          if (cabs(z)>3) then break,
          /*if (cabs(z)< 0.00001) then break, */
          orbit:endcons([realpart(z),imagpart(z)],orbit)),
         
 return(orbit) 
)$
    
    

    
        
GiveScene(attractor):=
gr2d(title= "Possible cycle",
	user_preamble = "set nokey;set size square;set noxtics ;set noytics;",
	
        point_type    = filled_circle,
	points_joined = false,
        point_size    = 0.7,
        /* */
	color		  =red,
	points(attractor)
        )$



/* critical points 

[-0.8366600265340756*%i,0.8366600265340756*%i]


*/

s:solve(d(z)=0)$
s : map(rhs,s)$
s : map('float,s)$
s : map('rectform,s)$

s2 :  allroots(s[2])$
s2 : map(rhs,s2)$
s2 : map('float,s2)$
s2 : map('rectform,s2)$
s : cons(s[1], s2);  






MyOrbits:[];
for z in s do (
  	print(i,z),
    	orbit : GiveOrbit(z,30),
  	MyOrbits:endcons([discrete,orbit], MyOrbits)
  	

)$


MyAttractors:[];
for z in s do (
  	
    	attractor : GiveAttractor(z,300),
    	attractor : GiveScene(attractor),
  	MyAttractors:endcons(attractor, MyAttractors)
  	

)$

load(draw);
path:""$ /*  pwd, if empty then file is in a home dir , path should end with "/" */
fileName: sconcat(path,  "cycles")$
draw(
	terminal = png,
	file_name = fileName,
	columns= 4,
	MyAttractors
);

多项式映射和有理映射之间的区别

无穷大

对于多项式，无穷大是一个超吸引不动点。因此，在 Julia 集的外部（无穷大的吸引域），所有多项式的动力学都相同。逃逸测试（= 逃逸测试）可以作为第一个通用工具。
对于有理映射，无穷大不是超吸引不动点。它可能是一个周期点，也可能不是。

临界点

Lucas 定理指出，复平面上多项式的临界点位于零点的凸包内或其上。^[9]
圆盘内部的 B(Z) 的临界点位于 B(Z) 的零点（相对于 Poincaré 度量）的（非欧几里得）凸包内或其上。

可视化

“为了以图形方式研究这些集合，我们将看到它们是四维的，我们采用了一系列技术来可视化更高维度的物体，这些技术通常用于研究来自 MRI 或 CT 扫描的 3D 体积，这些技术被称为体积可视化。”^[10]

问题

由接近零的分母引起的溢出。解决方案： “使用归一化的齐次坐标可以避免溢出和下溢错误”。 Luis Javier Hernández Paricio。
“用一对具有相同次数的两个变量的齐次多项式来表示有理函数，使我们能够计算函数在任何极点以及无穷大处的数值”。 Luis Javier Hernández Paricio。

如何从图像中读取位置？

Claude Heiland-Allen 的 m-位置分析（参数平面图像）

另见

参考文献

[1] ractalforums.org : 周期检测

[2] ractalforums.org : Julia 集的真实形状和逃逸时间

[3] 关于有理映射的零点和临界点。作者：XAVIER BUFF

[4] 有理函数的 Julia 集简介，作者：Andre Pedroso Kowacs

[5] th.stackexchange 问题：什么时候无穷大是有理函数在球面上的临界点？

[6] Shishikura, M.. “关于有理函数的拟共形手术”。 Ecole Normale Superieure 科学年鉴 20 (1987)：1-29。

[7] 一维实数和复数动力学，讲义，数学教学中心，2014 年春季，Davoud Cheraghi，2014 年 12 月 8 日

[8] Beardon，有理函数的迭代，定理 7.1.1。

[9] 有限 Blaschke 乘积的临界点位置，作者：DAVID A. SINGER

[10] 交替 Julia 集的连接集的图形探索 M，不连接的交替 Julia 集的集合，作者：Marius-F. Danca · Paul Bourke · Miguel Romera

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