分形/展开

展开是平面变换的一个例子

名称

• 包裹和展开
• 滚动和展开
  • 曲线
  • 表面
• 折叠和展开
• 莫比乌斯变换

示例

圆形

• 展开单位圆的周长以查看它的长度
• "展开这些圆形会填充一个底边为 2 π r、高为 r 的三角形（其中 r 是填充圆盘的半径）。这样的三角形面积为 π r²。这不能作为圆形面积为什么是这样的完整证明，但可以让你对为什么应该这样有一些直观的认识。" Matthen

展开单位圆（半径为 1 的圆）周长的动画。由于 C = 2πr，单位圆的周长为 2π.

图像魔法：

convert sun.jpg +distort DePolar 0 result.jpg

椭圆形

• 滚动不同维度的椭圆形以测量它们的周长

心脏线

要展开心脏线，请执行以下操作

• 心脏线到圆形的转换
• 展开圆形

历史

• 1988 年：海因茨·奥托·佩特根、迪特玛·索普、尤瓦尔·费舍尔，以及在“分形图像的科学”这本书中另外 5 人：“沿着心脏线的一个区域被连续放大和拉伸，使得心脏线的相应段变成一条线段。... 我们的放大系数是根据所有磁盘在图 4.22 中都具有相同尺寸的结果来选择的。”
• Linas Vepstas 2000 年
• Claude Heiland-Allen 2013 年

图片

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算法

展开曼德勃罗集主心脏线的两个步骤：莫比乌斯映射和共形映射

此图像是使用克劳德·海兰德-艾伦描述的算法制作的

The main idea here is choose 3 points on the base image (P0, P1, Pinf) which define a circle, and map them respectively to 0., 1., inf. ( Geoffroy Billotey) 

海因茨·奥托·佩特根 和 D. Saupe 的名为“分形图像的科学”的书中第 204-205 页上的图 4.22 中有描述

沿着心脏线的一个区域被连续放大和拉伸，使得心脏线的相应段变成一条线段。... 我们的放大系数是根据所有磁盘在图 4.22 中都具有相同尺寸的结果来选择的。

从线到圆的一半再到心脏线一半的变换

有 3 个复平面

• k 平面（克劳德·海兰德-艾伦符号中的线所在位置）
• w 平面（圆所在位置）
• c 平面（用于心脏线）

从 k 平面到 c 平面的两个步骤

• 使用莫比乌斯变换 fi 从 k 平面转到 w 平面
• 使用共形映射 gi 从 w 平面转到 c 平面

$w=f_{i}(k)$

$c=g_{i}(w)$

因此

$c=g_{i}(f_{i}(k))$

Maxima CAS 源代码

z(%i1) k:x+y*%i;
(%o1) %i*y+x
(%i2) fi(k):=(-%i-k)/(%i-k);
(%o2) fi(k):=−%i−k/%i−k
(%i3) gi(w):=w/2-w*w/4;
(%o3) gi(w):=w/2−(w*w)/4
(%i4) gfi(k):=gi(fi(k));
(%o4) gfi(k):=gi(fi(k))
(%i5) c:gfi(k)$

如何从 k 计算 c，而无需使用 CAS

(%i6)  ratsimp(realpart(c));
(%o6) (y^4−4*y^3+(2*x^2+2)*y^2+(4−4*x^2)*y+x^4+6*x^2−3)/(4*y^4−16*y^3+(8*x^2+24)*y^2+(−16*x^2−16)*y+4*x^4+8*x^2+4)
(%i7) ratsimp(imagpart(c));
(%o7) −(2*x*y−2*x)/(y^4−4*y^3+(2*x^2+6)*y^2+(−4*x^2−4)*y+x^4+2*x^2+1)

使用一些已知值检查 gfi 函数

(%i8) gfi(0);
(%o8) −3/4
(%i12) gfi(%i/3);
(%o12) −2

与之比较

• shadertoy：树木在呼吸，作者 jld
• shadertoy：曼德尔带，作者 jid
• 曼德勃罗集 - 海马谷中 P/Q 肢体的收敛进化，作者 izaytsev0
• 大象（演示 2 第 10 页）？“只在一个小区域上进行旋转和重新缩放，而不是进行非线性变换”。请参见沃尔夫·荣格编写的程序 Mandel 演示 2 第 10 页
• 曼德勃罗芽和枝，作者 Timothy Chase
• Fractalshades 示例：莫比乌斯映射

另请参阅

• 维基百科中的循环展开
• 克劳德制作的二次茱莉亚集缓慢交配