分形/计算机图形技术/2D/变换

平面变换

名称

• 变换
  • 几何图像变换
  • 几何变换
  • 坐标变换
• 投影
  • 制图地图投影（在 3D 到 2D 图形的情况下）
• 映射

理论

2D 光栅图形中的映射是一个复杂的函数 $f$，它将复平面映射到复平面。

$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

它被实现为点变换。

它通常表示为

$w=f(z)$

其中

• $z=x+yi$ 是复平面的一个点（输入）
• $w=u+vi$ 是图像复平面的一个点（输出 = 结果）

示例代码

例如，墨卡托：

function Spherical_mercator(x, y) {
  return [x, Math.log(Math.tan(Math.PI / 4 + y / 2))];
}

function transverseMercatorRaw(lambda, phi) {
  return [log(tan((halfPi + phi) / 2)), -lambda];
}

transverseMercatorRaw.invert = function(x, y) {
  return [-y, 2 * atan(exp(x)) - halfPi];
};

如果有人使用离散几何（多边形和折线），那么投影就很难实现。必须在精度和性能之间取得平衡。

// https://github.com/adammaj1/Mandelbrot-Sets-Alternate-Parameter-Planes/blob/main/src/lcm/d.c
// projection from p to c 
complex double map_parameter(const ParameterTypeT ParameterType, const complex double parameter){

	
	complex double p; 
	// plane transformation 
	switch(ParameterType){
	
		case c_identity :{p = parameter;  break;}
		
		case c_inverted :{p = 1.0/parameter; break;}
		
		case c_parabola :{p = 0.25+ 1.0/parameter; break;}
		
		case c_Myrberg_type :{p = cf - 1.0/parameter; break;}
		
		case c_inverted_2_type :{p = -2.0 + 1.0/parameter; break;}
		
		case c_exp :{p = cf + cexp(parameter) ; break;} // here one can change cf to get different image 
		
		
		case lambda_identity :{ p = parameter;  break;}
		
		case lambda_inverted_type :{p = 1.0/parameter; break;}
		
		case lambda_inverted_1_type :{p =1.0+ 1.0/parameter; break;}
		
		default: {p = parameter;}
	}

分类

映射分类

• 基于对象的映射（图像对象是具有相同整数值的连接像素集）
• 基于像素的映射

2D 图形中的变换（映射）

• 基本类型
• 复合变换

实现

矩阵的使用

• 不使用矩阵（使用函数）
• 使用矩阵

坐标

• 使用笛卡尔坐标
• 使用齐次坐标

矩阵

• "矩阵乘法不满足交换律。变换的顺序至关重要——旋转后平移与平移后旋转截然不同"

实现

• Imath 是一个 C++ 和 python 库，用于计算机图形的 2D 和 3D 向量、矩阵和数学运算。

• 矩阵的部分
• 
  行
• 
  列

类型

• 缩放
• 反转
• 展开（闭合曲线）
• 应用于图片的共形映射
• 梅比乌斯变换
• 指数和墨卡托地图

仿射变换

为了用矩阵表示仿射变换，我们可以使用齐次坐标。这意味着将 2 向量 (x, y) 表示为 3 向量 (x, y, 1)，更高维度也是如此。

2D 仿射变换矩阵

变换名称	仿射矩阵	示例
恒等（变换到原始图像）	${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
平移	${\begin{bmatrix}1&0&v_{x}>0\\0&1&v_{y}=0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
反射	${\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
缩放	${\begin{bmatrix}c_{x}=2&0&0\\0&c_{y}=1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$
旋转	${\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	其中 θ = π/6 =30°
剪切	${\begin{bmatrix}1&c_{x}=0.5&0\\c_{y}=0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

仿射变换适用于将两幅或多幅图像对齐（配准）的配准过程。一个图像配准的例子是全景图像的生成，全景图像是多幅拼接在一起的图像的产物。

缩放或调整大小

关于原点按比例因子缩放物体

$s=s_{x}+s_{y}*i$ 

$x'=x*s_{x}$
$y'=y*s_{y}$

变为

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{x}&0&0\\0&s_{y}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}$$

缩放

• 均匀（在缩放时保持物体的比例）：sx = sy
• 非均匀：sx != sy

在保持固定中心点的情况下调整物体大小 = 关于其自身中心缩放物体

• 宽度' = 宽度 * sx
• 高度' = 高度 * sy
• 计算中心点的角坐标

平移

复数平移是一个映射

$z'\to z+t$

其中

• $z=x+y*i$
• $z'=x'+y'*i$
• $t=t_{x}+t_{y}*i$

使用这种系统，平移可以用矩阵乘法表示。 函数形式

$x'=x+t_{x}$ 
$y'=y+t_{y}$ 

变为

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.$$

旋转

绕原点以角度 θ 逆时针（正方向）旋转的函数形式为

$x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ 
$y'=x\sin \theta +y\cos \theta$.  

写成矩阵形式，就变成了：

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}$$

类似地，绕原点顺时针（负方向）旋转的函数形式为

$x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ 
$y'=-x\sin \theta +y\cos \theta$ 

矩阵形式为

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}$$

这些公式假设x轴指向右侧，y轴指向上方。

归一化坐标下的逆时针旋转矩阵

$${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

没有矩阵的 C 代码

 
/* 

C program to rotate an object by a given angle about a given point
gcc r.c -Wall -Wextra -lm
./a.out
*/

#include <stdio.h>
#include <math.h> 
#include <complex.h> 		// complex numbers : https://stackoverflow.com/questions/6418807/how-to-work-with-complex-numbers-in-c


//The sin() function returns the value in the range of [-1, 1]

/*
https://stackoverflow.com/questions/2259476/rotating-a-point-about-another-point-2d 
First subtract the pivot point (cx,cy), then rotate it (counter clock-wise), then add the point again.
*/


 complex double rotate_point(const complex double center, const double angle_in_radians, const complex double point )
{
	// translate point to center
	complex double translated_point = creal(point) - creal(center)  + (cimag(point) - cimag(center))*I;

	// rotate point counter clock-wise by a given angle about a given pivot point ( center)
	double s = sin(angle_in_radians);
	double c = cos(angle_in_radians);
	complex double new_point = creal(translated_point) * c - cimag(translated_point) * s + (creal(translated_point) * s + cimag(translated_point) * c)*I;

	// translate point back
	new_point = creal(new_point) + creal(center) +(cimag(new_point) + cimag(center))*I;
  
  
	return new_point;
}

#define kMax 6

// center, angle_rad, point 
double examples[kMax][5] = {
		{50,-50, -0.7853982, 100,100 },
		{50,-50, -0.7853982, 100,200 },
		{50,-50, -0.7853982, 200,200 },
		{0,0, 1.570796, 100,100}, 
		{0,0, 1.570796, 150,200}, 
		{0,0, 1.570796, 200,200} 

};

int main(void){

	
	
	
	int k;
	
	
	
	complex double center ;
	double angle_r ; 
	complex double point ;
	complex double rotated_point;
	
	
	for (k=0; k<kMax; ++k){
		center = examples[k][0] + examples[k][1] * I ;
		angle_r = examples[k][2]; 
		point = examples[k][3] + examples[k][4] * I ;
		rotated_point = rotate_point(center, angle_r, point );
		fprintf(stdout, "point %f%+f*I rotated about %f%+f*I  by %f radians is %f%+f*I \n", creal(point), cimag(point), creal(center), cimag(center), angle_r, creal(rotated_point), cimag(rotated_point));
		}
	
	 


	return 0;
}

输出

point 100.000000+100.000000*I rotated about 50.000000-50.000000*I  by -0.785398 radians is 191.421359+20.710673*I 
point 100.000000+200.000000*I rotated about 50.000000-50.000000*I  by -0.785398 radians is 262.132040+91.421348*I 
point 200.000000+200.000000*I rotated about 50.000000-50.000000*I  by -0.785398 radians is 332.842715+20.710668*I 
point 100.000000+100.000000*I rotated about 0.000000+0.000000*I  by 1.570796 radians is -99.999967+100.000033*I 
point 150.000000+200.000000*I rotated about 0.000000+0.000000*I  by 1.570796 radians is -199.999951+150.000065*I 
point 200.000000+200.000000*I rotated about 0.000000+0.000000*I  by 1.570796 radians is -199.999935+200.000065*I 

其他有趣的映射

• 
• 
• 
• 
  带有 python 代码
• 
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• 
• 
• 

例子：

• Jason Davies：地图
• 桶形失真
• 螺旋形
• 对数极坐标图
• 抛物柱面坐标
• 抛物线坐标
• 共形映射的数值近似
• 描述
• 拐点
• Altmetric：25次引用：1更多详细信息文章 | 开放量子物理中的指数敏感性及其成本，作者：András Gilyén、Tamás Kiss 和 Igor Jex
• 布拉施克乘积
• 化圆为方
• 椭圆，作者：Claude Heiland-Allen
• 作者：Paul Bourke
• 制图投影是二维中的非线性变换
  • 地图投影和坐标变换
• 到球体
• 曼德尔布罗特集合投影到收缩的黎曼球体上，作者：Arneauxtje
• 曼德尔布罗特象谷（短版本）蒂莫西·蔡斯
• 曼德尔布罗特芽和分支蒂莫西·蔡斯蒂莫西·蔡斯
• craftvid 制作的曼德尔布罗特集合球体缩放视频  : "这是曼德尔布罗特集合的 300 万亿倍缩放。 图像设置在球形“莫比乌斯”投影上，旨在包裹到球形表面上。 图像在球体的正面中心放大，同时在球体的背面逐渐消失。"
• 猫眼 : 反转的曼德尔布罗特集合，作者：denis archambaud
• 反转和幂曼德尔布罗特集合，作者：Jens-Peter Christensen
• Z² + Sin(Cˉᵐ+phase)，作者：Jens-Peter Christensen
• snibgo 的 ImageMagick 页面：桶形和针垫形
• snibgo 的 ImageMagick 页面：3D 缩放、旋转和平移 请参阅立方体地球

共形映射

• "共形映射保持角度，并将无穷小圆映射到无穷小圆。 非共形映射将无穷小圆映射到无穷小椭圆（或更糟）。" Claude Heiland-Allen
• "复函数 $f(z)$ 在无穷远处是共形的，如果函数 $f(1/z)$ 在 0 处是共形的。 这等同于通常的关于共形的定义，即在大小和方向（顺时针/逆时针）方面保持角度不变，如果你将 $f$ 视为在黎曼球体的“北极”处保持角度不变。"

• 共形幂
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共形映射

• henry seg：python 中的球形图像编辑
• newconformist：将双曲平面共形映射到任意形状，作者：Zeno Rogue
• 应用于图片的共形映射示例
• 梅比乌斯变换
• 共形几何处理概述（2017 年），作者：Keenan Crane
• 离散共形变形：算法与实验，作者：Jian Sun、Tianqi Wu、Xianfeng Gu 和 Feng Luo
• 共形映射
• 庞加莱双曲圆盘共形映射食谱，作者：bugman123
• 用 Python 可视化共形映射，作者：MJ Gruber
• 共形动画，作者：denis archambaud
• ConformalMaps 是一个 Julia 包，用于将来自简单连通平面域到圆盘的黎曼映射进行近似。 它使用拉链算法，如 Don Marshall 和 Steffen Rohde 的论文《共形映射拉链算法的收敛性》中所述。
• sswatson：ConformalMaps

共形映射词典，作者：John H. Mathews 和 Russell W. Howell（2008 年）

• 第 1 部分
• 第 2 部分
• 第 3 部分
• 第 4 部分

制图地图投影

圆柱投影

球体到圆柱的正切（赤道）投影的几何形状。

圆柱投影（或圆柱 p.）将球体（无极点）映射到圆柱上

茹科夫斯基变换（映射）

描述 

• John D Cook

域着色或复相图

复杂函数的可视化

• 可视化复杂函数的 5 种方法
• commons : Category:Complex_functions
• Rand Asswad 的复杂映射
• Paul Nylander 的庞加莱双曲圆盘共形映射配方
• david lowry-duda : phase_mag_plot/

模形式

• David Lowry-Duda 的模形式
• L 函数和模形式数据库 (LMFDB)

黎曼映射

• Christopher J. Bishop 的黎曼映射定理
• ©2015 LYM Canada 的针对反傻瓜的黎曼映射
• 映射组件到单位圆盘 (黎曼映射)
  • 乘子映射 和内部射线
    • 在参数平面上
    • 在动力平面上
  • Boettcher 映射、复势和外部射线
    • 在参数平面上
      • 参数射线 = 场线
      • 复势、外部角度

参考文献

• J. Ström、K. Åström 和 T. Akenine-Möller 的沉浸式线性代数