分形/莫比乌斯变换

黎曼球面

莫比乌斯变换是平面变换的一个例子

定义

莫比乌斯变换 是扩展复平面的有理函数 f，其形式为

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

其中复变量 z 为复数。

这里系数 a, b, c, d 和结果 w 是复数，满足

$ad-bc\neq 0$

$w=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

表示形式

• 函数
• 矩阵

函数

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

$f\ \colon z\to w$

$w=f(z)$

矩阵

使用齐次坐标的矩阵形式:

$M=\left({\begin{matrix}{\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\end{matrix}}\right)\,$

$w=\left({\begin{matrix}{\begin{array}{c}w\\1\end{array}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\begin{array}{c}z\\1\end{array}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\begin{array}{c}az+b\\cz+d\end{array}}\end{matrix}}\right)\,}$

矩阵 M 是一个 2x2 可逆方阵

示例

• 使用复数进行变换
  • 梅比乌斯变换
    • 论文：看起来像圆形的正方形：由 Saul Schleimer 和 Henry Segerman 对球形图像进行变换 和 Shadertoy : 球形图像 by soma_arc 和 python 代码 Henry Segerman
• 梅比乌斯变换在 mandelbrot-graphics 库中
• Kleinian 群分形的数学 by hiddendimension
• 广义圆和梅比乌斯变换 by Stéphane Laurent
• 射影变换和梅比乌斯变换 by Tadao Ito

简单

以下简单的变换也是梅比乌斯变换

• $f(z)=z\quad (a=1,b=0,c=0,d=1)$ 是一个恒等变换
• $f(z)=z+b\quad (a=1,c=0,d=1)$ 是一个平移变换
• $f(z)=az\quad (b=0,c=0,d=1)$ 是一个相似变换和旋转变换的组合。
  • 如果 $|a|=1$ 那么它就是一个旋转变换
  • 如果 $a\in \mathbb {R}$ 那么它就是一个相似变换
• $f(z)=1/z\quad (a=0,b=1,c=1,d=0)$ 反演变换和关于实轴的对称变换

如何...?

特征值和特征向量

一个数 $\lambda$ 和一个非零向量 $v$ 满足

$Mv=\lambda v$

分别称为矩阵 M 的特征值 和特征向量。

对于二维空间，存在包含根式的公式，可用于求解特征值。可以使用二次方程求解特征值

$\lambda _{\pm }={\frac {{\rm {tr}}(M)\pm {\sqrt {{\rm {tr}}^{2}(M)-4\det(M)}}}{2}}.$

对角化

一个对角矩阵是一个矩阵，其中主对角线之外的元素都为零。换句话说，对角矩阵中所有非对角元素都为零。

矩阵 $A$ 的主对角线是指元素列表 $A_{i,j}$，其中 $i=j$，这里 $a_{11},a_{22}$

矩阵 M 的对角化给出矩阵对：D、P，使得：

• D 是对角矩阵（所有非对角元素为 0）
• $M=PDP^{-1}$

对于 2x2 矩阵，存在一个简单的封闭形式解

与标量的乘积

如果 A 是一个矩阵，而 c 是一个标量，则矩阵 $c\mathbf {A}$ 和 $\mathbf {A} c$ 是通过将 A 中所有元素的左侧或右侧乘以 c 得到的。

迹

2x2 方阵 $\mathbf {A}$ 的迹 $\operatorname {tr}$

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$

是其对角元素的总和

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{2}a_{ii}=a_{11}+a_{22}$

因此 $\operatorname {tr} (\mathbf {M} )=a+d$

行列式

矩阵 $\mathbf {M}$ 的行列式 $\operatorname {det}$

$\operatorname {det} \mathbf {M} =\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc$

逆变换

通过逆变换 w=Sz=1/z（原始莫比乌斯变换）映射广义圆。直线映射到圆/直线。

逆莫比乌斯变换

$\mathbf {M} ^{-1}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} \mathbf {M} }}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

$z={\frac {1}{\operatorname {det} \mathbf {M} }}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w\\1\end{pmatrix}}$

$z=f^{-1}(w)$.

插值

如何平滑地插值莫比乌斯变换？

如果您有两个表示为

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

$g(z)={\frac {pz+q}{rz+s}}$

的莫比乌斯变换，其中系数是复数

$a,b,c,d,p,q,r,s,z\in \mathbb {C}$

是否可以推导出第三个函数 $h(z,t)$，其中 $t\in \mathbb {R}$ 且 $0\leq t\leq 1$，它“平滑地”插值 $f(z)$ 和 $g(z)$ 所表示的变换？

解

$h(z,t)=fe^{t\log(f^{-1}g)}=f\operatorname {exp} (t\log(f^{-1}g))$

通过三个点指定变换

给定黎曼球面（我们称之为 z 球面）上的三个不同点z₁、z₂、z₃，以及另一个球面（w 球面）上的另外三个不同点w₁、w₂、w₃，则存在一个唯一的莫比乌斯变换f(z)，其满足：

• $f(z_{i})=w_{i}$
• $f^{-1}(w)=z_{i}$

对于i=1,2,3

映射到 0, 1, 无穷大

具有显式公式的莫比乌斯变换为：

$f(z)={\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}$

映射：

• z₁ 到 w₁= 0
• z₂ 到 w₂= 1
• z₃ 到 w₃= ∞

单位圆到实轴 - 第一种方法

让我们在圆上选择 3 个 z 点：

• z₁= -1
• z₂= i
• z₃= 1

那么莫比乌斯变换将为：

$f(z)={\frac {(z+1)(i-1)}{(z-1)(i+1)}}$

已知：

$i+1=-i(i-1)$

可以将其简化为：

$f(z)=i{\frac {z+1}{z-1}}$

在Maxima CAS中，可以进行以下操作：

(%i1) rectform((z+1)*(%i-1)/((z-1)*(%i+1)));
(%o1) (%i*(z+1))/(z−1)

其中一般形式的系数为：

$a=i$

$b=i$

$c=1$

$d=-1$

因此可以使用一般形式计算逆函数：

$f^{-1}(w)={\frac {dw-b}{-cw+a}}={\frac {-i-w}{i-w}}$

让我们使用 Maxima CAS 检查一下：

(%i3) fi(w):=(-%i-w)/(%i-w);
(%o3) fi(w):=−%i−w/%i−w
(%i4) fi(0);
(%o4) −1
(%i5) fi(1);
(%o5) −%i−1/%i−1
(%i6) rectform(%);
(%o6) %i

查找如何在没有符号计算程序 (CAS) 的情况下进行计算：

(%i3) fi(w):=(-%i-w)/(%i-w);
(%o3) fi(w):=−%i−w/%i−w
(%i8) z:x+y*%i;
(%o8) %i*y+x
(%i9) z1:fi(w);
(%o9) (−%i*y−x−%i)/(−%i*y−x+%i)
(%i10) realpart(z1);
(%o10) ((−y−1)*(1−y))/((1−y)^2+x^2)+x^2/((1−y)^2+x^2)
(%i11) imagpart(z1);
(%o11) (x*(1−y))/((1−y)^2+x^2)−(x*(−y−1))/((1−y)^2+x^2)
(%i13) ratsimp(realpart(z1));
(%o13) (y^2+x^2−1)/(y^2−2*y+x^2+1)
(%i14) ratsimp(imagpart(z1));
(%o14) (2*x)/(y^2−2*y+x^2+1)

将曼德勃罗集主心形展开两步：莫比乌斯映射和共形映射

将曼德勃罗集主心形展开到周期 7-13

因此使用符号：

$z=x+yi=f^{-1}(w)$

得到：

$x=\operatorname {Re} (z)=\operatorname {Re} (f^{-1}(w))={\frac {y^{2}+x^{2}-1}{y^{2}-2y+x^{2}+1}}$

$y=\operatorname {Im} (z)=\operatorname {Im} (f^{-1}(w))={\frac {2x}{y^{2}-2y+x^{2}+1}}$

它可用于展开曼德勃罗集的成分

单位圆到实轴 - 第二种方法

函数 

$f(z)=i{\frac {z-1}{z+1}}$

将单位圆映射到实轴 

• z=1 到 w=0
• z=i 到 w=1
• z=-1 到 $w=\infty$

映射到虚轴

函数 $f(z)={\frac {z-1}{z+1}}$ 将单位圆映射到虚轴。

可视化

• 由 Mark McClure 展现的莫比乌斯变换
• 由 Tim Hutton 提供的实时演示
• 由 Tim Hutton 提供的莫比乌斯变换迭代

参考文献

• 由 Claude Heiland-Allen 提供的莫比乌斯变换