泛函分析/预备知识

←第 0 章：前言

泛函分析 第 1 章：预备知识

第 2 章：巴拿赫空间→

本章收集了一些将在后续章节中使用到的标准结果。特别是，我们证明了 Hahn-Banach 定理，它实际上是线性代数中的一个结果。这些定理的证明可以在《拓扑学》和《线性代数》书籍中找到。

集合论

选择公理指出，给定一组集合 $S_{i},i\in I$，存在一个函数

$f:I\to \prod _{i\in I}S_{i}$.

练习。 使用选择公理证明任何满射都是右可逆的。

在这本书中，选择公理几乎总是以佐恩引理的形式使用。

定理 1.1 (佐恩引理)。

令 $\left(X,\prec \right)$ 是一个偏序集，使得对于每个链， $T\subset X$，它通过 $\prec$ 线性排序，存在一个最大元素， $t\in T$。然后 $\left(X,\prec \right)$ 有一个最大元素 $x\in X$。也就是说，对于任何 $y\in X,x\not \prec y$。

拓扑学

定理 1.2。

令 $X$ 是一个度量空间。以下条件等价。

• $X$ 是一个紧致空间。
• $X$ 是完全有界且完备的。(海涅-博雷尔)
• $X$ 是序列紧致的；即，$X$ 中的每个序列都存在一个收敛子序列。

练习。 证明 $[0,1]\cap \mathbf {Q}$ 不是紧致的，方法是展示一个不包含有限子覆盖的开覆盖。

练习。 设 $X$ 为一个紧致度量空间，且 $f:X\to X$ 为一个等距映射：即 $d(f(x),f(y))=d(x,y)$。则 f 为一个双射。

定理 1.3 (Tychonoff).

任何非空紧致空间集合的乘积空间都是紧致的。

练习。 证明 Tychonoff 定理在有限乘积空间上成立，且不依赖于选择公理（或其任何等价形式）。

根据定义，紧致空间是 Hausdorff 空间。

定理 1.4 (度量化定理).

如果 $X$ 是一个第二可数紧致空间，则 $X$ 是可度量化的。

证明。 定义 $d:X\to \mathbf {R}$ 为

$d(x,y)=\sum _{j=1}^{\infty }2^{-j}|f_{j}(x)-f_{j}(y)|$

然后 $d(x,y)=0$ 意味着 $f_{j}(x)=f_{j}(y)$ 对于每一个 $j$，反过来意味着 $x=y$。反之亦然。由于 $d(x,y)=d(y,x)$，$d$ 则为度量。令 $\tau _{d}$ 为 $X$ 的由 $d$ 诱导的拓扑。我们断言 $\tau _{d}$ 与最初赋予 $K$ 的拓扑一致。鉴于

引理。 令 $X$ 为一个集合。如果 $\tau _{1}\subset \tau _{2}$ 是 $X$ 的一对拓扑，并且如果 $\tau _{1}$ 是豪斯多夫空间且 $\tau _{2}$ 是紧致空间，则 $\tau _{1}=\tau _{2}$。

只需证明$\tau _{d}$包含在原始拓扑中。但是，对于任何$x\in X$，由于$d(\cdot ,x)$是紧集上连续函数序列的极限，我们看到$d(\cdot ,x)$是连续的。因此，$\tau _{d}$在$d$中以$x$为中心的开球是开集（在原始拓扑中）。$\square$

命题 1.5。

（i）每个第二可数空间都是可分的。（ii）每个可分的度量空间都是第二可数的。

证明。待写。$\square$

特别地，一个紧度量空间是可分的。

练习。实数轴上的w:下限拓扑是可分的但不是第二可数的。

定理 1.6 (贝叶斯)。

一个完备度量空间不是闭子集的稠密补集的可数并集。

证明。见w:贝叶斯范畴定理。$\square$

我们注意到，该定理对于局部紧空间也是成立的，尽管这个版本在随后的内容中不会用到。

练习。用该定理证明实数集是不可数的。

定理 1.7 (阿斯科利)。

设$X$是一个紧空间。$C(X)$的子集是紧的当且仅当它是有界的、闭的和等度连续的。

证明。见w:阿斯科利定理。$\square$

下一个练习给出了该定理的典型应用。

练习。证明常微分方程的皮卡存在定理：设$f$是$\mathbf {R} ^{n}$某一开子集上的实值连续函数。那么初值问题

${\dot {x}}=f(x),x(t_{0})=x_{0}$

在包含$t_{0}$的某个开区间内有解。（提示：用w:欧拉方法构造近似解序列。该序列可能不收敛，但根据阿斯科利定理，它包含一个收敛子序列。然后，极限就是所需的解。）

练习。 从 Peano 存在定理推导出 w:Picard–Lindelöf 定理：设 $f$ 是 $\mathbf {R} ^{n}$ 的某个开子集上的实值局部 Lipschitz 函数。那么初值问题

${\dot {x}}=f(x),x(t_{0})=x_{0}$

在包含 $t_{0}$ 的某个开区间内有一个“唯一”解。（提示：存在性是明确的。对于唯一性，使用 w:Gronwall 不等式。）

定理 1.8。

给定一个度量空间 X，存在一个完备度量空间 ${\tilde {X}}$ 使得 $X$ 是 ${\tilde {X}}$ 的稠密子集。

证明。 w:完备化 (度量空间)#完备化 $\square$

线性代数

定理 1.9。

设 V 为一个向量空间。那么每一个（可能为空）线性无关集都包含在 V 的某个基中。

证明。 设 $\Omega$ 为所有包含给定线性无关集的线性无关集的集合。 $\Omega$ 不为空。此外，如果 $\omega$ 是 $\Omega$ 中的一个链（即一个全序子集），那么 $\cup \omega$ 是线性无关的，因为如果

$a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=0$

如果 $x_{i}$ 属于并集，那么 $x_{i}$ 都属于 $\omega$ 中的某个成员。因此，根据佐恩引理，它有一个极大元，不妨记为 *E*。它生成 *V*。实际上，如果不是这样，则存在一个 $x\in V\backslash E$ 使得 $E\cup {x}$ 是 $\Omega$ 的一个成员，这与 *E* 的极大性相矛盾。 $\square$

该定理特别意味着每个向量空间都具有基。这种基被称为 *哈默尔基*，以区别于稍后将讨论的其他基。

定理 1.10 (哈恩-巴拿赫)。

设 ${\mathcal {X}}$ 是一个实向量空间，$p$ 是 ${\mathcal {X}}$ 上的一个函数，使得

$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ 以及 $p(tx)=tp(x)$

对于任何 $x,y\in {\mathcal {X}}$ 和任何 $t>0$。如果 ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {X}}$ 是一个闭子空间，并且 $f$ 是 ${\mathcal {M}}$ 上的一个线性泛函，使得 $f\leq p$，那么 $f$ 允许在 ${\mathcal {X}}$ 上定义一个线性扩张 $F$，使得 $F\leq p$。

证明。首先假设 ${\mathcal {X}}=\{x+tz;x\in {\mathcal {M}},t\in \mathbb {R} \}$ 对于一些 $z\not \in {\mathcal {M}}$。根据假设，我们有

$f(x)+f(y)\leq p(x-z)+p(y+z)$ 对于所有 $x,y\in {\mathcal {M}}$，

等价于

$\sup\{f(x)-p(x-z);x\in M\}\leq \inf\{p(y+z)-f(y);y\in M\}$.

设 $c$ 为上确界和下确界之间的一个数。定义 $F(x+tz)=f(x)+tc$ 对于 $x\in {\mathcal {M}},t>0$。因此，$F$ 是一个期望的扩展。事实上，$f=F$ 在 ${\mathcal {M}}$ 上是明确的，我们还有

$F(x+tz)\leq tp({x \over t}+z)$ 如果 $t>0$

以及

$F(x+tz)\leq -tp({x \over -t}-z)$ 如果 $t<0$.

令 $\Omega$ 是所有对 $(H,g_{H})$ 的集合，其中 $H$ 是一个线性空间，且有 ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {H}}\subset X$，$g_{H}$ 是一个在 ${\mathcal {M}}$ 上的线性函数，它扩展了 $f$ 且被 $p$ 控制。可以证明 $\Omega$ 是偏序的，并且 $\Omega$ 的任何全序子集的并集都在 $\Omega$ 中（TODO: 需要更多细节）。因此，根据 Zorn 引理，我们可以找到最大元 $(L,g_{L})$，并且根据证明的前一部分我们可以证明 ${\mathcal {L}}={\mathcal {X}}$。 $\square$

我们注意到，在证明中对 $c$ 的不同选择会导致不同的扩展。因此，由 Hahn-Banach 定理给出的扩展通常不是唯一的。

练习 说明该定理对于复向量空间的类似情况，并证明该版本可以归结为实数版本。（提示：$Ref(ix)=Imf(x)$)

注意该定理可以以下等价的方式表述。

定理 1.11 (几何 Hahn-Banach)。

令 V 为一个向量空间，$E\subset V$ 为一个凸子集。如果 x 不在 E 中，则存在一个包含 E 但不包含 x 的超平面。

Proof. We prove the statement is equivalent to the Hahn-Banach theorem above. We first show that there is a one-to-one corresponding between the set of sublinear functional and convex sets. Given a convex set $E$, define $p(x)=\inf\{t>0|tx\in E\}$. $p$ (called a w:Minkowski functional) is then sublinear. In fact, clearly we have $p(ax)=|a|p(x)$. Also, if $tx\in E$ and $sy\in E$, then, by convexity, ${t \over t+s}x+{s \over t+s}y\in E$ and so $p(x+y)\leq t+s$. Taking inf over t and s (separately) we conclude $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$. Now, note that: $E=\{x\in V|p(x)\leq 1\}$. This suggests that we can define a set $E$ for a given sublinear functional $p$. In fact, if $p$ is sublinear, then for $x,y\in E$ we have: $p(tx+sy)\leq tp(x)+sp(y)\leq 1$ when $t,s\leq 0,t+s=1$ and this means $tx+sy\in E$. Hence, $E$ is convex. $\square$

推论 1.12。

向量空间的每个凸子集都是包含它的所有超平面的交集（称为凸包）。

练习。 证明 Carathéodory 定理。

(TODO: 提到矩量问题。)

定理 1.13。

令 $V\supset W$ 是线性向量空间，且 $\pi :V\to V/W$ 为一个典范满射。如果 $T:V\to X$ （其中 X 是某个向量空间）是一个线性映射，则存在 $F:V/W\to X$ 使得 $F\circ \pi =f$ 当且仅当 $W\subset \operatorname {ker} f$。此外，

• (i) 如果 $F$ 存在，则 $F$ 是唯一的。
• (ii) $F$ 是单射当且仅当 $\operatorname {ker} (f)=W$。
• (iii) $F$ 是满射当且仅当 $f$ 是满射。

证明。如果 $F$ 存在，则 $W=\operatorname {ker} (\pi )\subset \operatorname {ker} (F\circ \pi )=\operatorname {ker} f$。反之，假设 $W\subset \operatorname {ker} f$，并定义 $F$ 为

$F(x+W)=f(x)$

对于 $x\in V$。 $F$ 是良定义的。事实上，如果 $x+W=y+W$，则 $x-y\in W\subset \operatorname {ker} f$。因此，

$(F\circ \pi )(x)=f(x)=f(y)=(F\circ \pi )(y)$.

根据此定义，(i) 现在已明确。(ii) 成立，因为 $F(x+W)=(F\circ \pi )(x)=f(x)=0$ 意味着 $x\in W$ 当且仅当 $\operatorname {ker} f=W$。(iii) 也很清楚；我们有一个集合论事实：$g\circ f$ 是满射当且仅当 $g$ 是满射。 $\square$

推论 1.14。

如果 $T:V_{1}\to V_{2}$ 诱导出一个映射 $T:W_{1}\to W_{2}$ 其中 $W_{j}\subset V_{j}$ 是子空间，那么我们可以诱导出

$T:V_{1}/W_{1}\to V_{2}/W_{2}$.

证明。 很明显。 $\square$

推论 1.15。

如果 $f:V\to W$ 是线性映射，那么 $V/\operatorname {ker} (f)\simeq \operatorname {ran} (f)$.

证明。 很明显。 $\square$

练习。 给定一个精确序列

$0\to V_{1}\to V_{2}\to ...\to V_{n}\to 0$,

我们有：$(-1)^{k}\operatorname {dim} V_{k}=0$