拓扑/紧致性

紧致性的概念出现在各种各样的环境中。特别地，紧致性是一个“适度性”属性，它告诉你你正在处理的对象在某种意义上是良好行为的。

定义

令 $X$ 是一个拓扑空间，令 $S\subseteq X$

一个开放集合的集合 ${\mathcal {G}}$，即 $\{G_{\alpha }\}$，被称为 $S$ 的开覆盖，如果 $S\subseteq \displaystyle \bigcup _{\mathcal {G}}G_{\alpha }$

$S$ 被称为紧致当且仅当 $S$ 的每个开覆盖都有一个有限子覆盖。更正式地说，$S$ 是紧致的，当且仅当对于 $S$ 的每个开覆盖 ${\mathcal {G}}$，存在 ${\mathcal {G}}$ 的一个有限子集 $\{G_{\alpha _{1}},G_{\alpha _{2}},\ldots ,G_{\alpha _{n}}\}$，它也是 $S$ 的一个开覆盖。

如果集合 $X$ 本身是紧致的，我们说 $X$ 是一个紧致拓扑空间。

拓扑空间的紧致性也可以用以下等价的表征之一来表达

• 在 $X$ 上的每个包含闭集滤子基的滤子，其交集非空。
• 在 $X$ 上的每个超滤子都是收敛的。

重要性质

• 紧集的每个闭子集都是紧的。
  证明:
  设 $S\subseteq X$ 为一个紧集，设 $K$ 为 $S$ 的一个闭子集。考虑 $K$ 的任意开覆盖 ${\mathcal {G}}$。观察到 $X\setminus K$ 是开集，所以开集族 ${\mathcal {G}}\cup \{X\setminus K\}$ 是 $S$ 的一个开覆盖。由于 $S$ 是紧集，所以这个开覆盖存在一个有限子覆盖 ${\mathcal {G}}'$。
  现在，考虑集合 ${\mathcal {G}}'\setminus \left(X\setminus K\right)$。这个集合显然是有限的，也是 ${\mathcal {G}}$ 的一个子覆盖。因此，它是 $K$ 的一个有限子覆盖。
  

• 豪斯多夫空间的每个紧子集都是闭集。
  证明:
  设 $K$ 为紧致集合。如果补集 $K^{c}$ 为空集，则 $K$ 与空间相同，因此是闭集。假设不是这样，也就是说，存在一点 $x\in K^{c}$。然后对于每个 $y\in K$，根据豪斯多夫分离公理，我们可以找到 $U_{y}$ 和 $V_{y}$ 不相交的开集，使得 $x\in U_{y}$ 和 $y\in V_{y}$。由于 $K$ 是紧致的，并且集合 $\{V_{y};y\in K\}$ 覆盖了 $K$，我们可以找到有限个点 $y_{1},y_{2},...y_{n}$ 在 $K$ 中，使得
  $K\subseteq V_{y_{1}}\cup V_{y_{2}}\cup \ldots \cup V_{y_{n}}$
  由此得出
  $x\in U_{y_{1}}\cap U_{y_{2}}\cap \ldots \cap U_{y_{n}}=U_{x}$。因此，每个 $x\in X$ 都有一个开邻域 $U_{x}$。
  因为 $K^{c}$ 可以表示为开集的并集 $U_{x}$，$K^{c}$ 是开集，而 $K$ 是闭集。

• 度量空间中的每个紧集都是有界的。
  证明:
  令 $X$ 为度量空间，并令 $K\subset X$ 为紧集。
  考虑开球的集合 ${\mathcal {G}}=\{B_{r}(p)|r\in \mathbb {R} ^{+}\}$，其中 $p\in X$ 为某个（固定的）点。我们可以看到 ${\mathcal {G}}$ 是 $K$ 的一个开覆盖。由于 $K$ 是紧集，它有一个有限子覆盖，例如 $\{B_{r_{1}}(p),B_{r_{2}}(p),\ldots ,B_{r_{n}}(p)\}$。令 $r_{0}=\sup\{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\}$。我们可以看到 $K\subset B_{r_{0}}(p)$，因此，$K$ 是有界的。

• 海涅-博雷尔定理：对于任何区间 $[a,b]$，以及该区间的任何开覆盖 ${\mathcal {G}}$，都存在 ${\mathcal {G}}$ 的有限子覆盖。
  证明:
  令 $S$ 为所有满足 $a\leq x\leq b$ 且 $[a,x]$ 存在 ${\mathcal {G}}$ 的有限子覆盖的 x 值的集合。 $S$ 非空，因为 $a$ 属于该集合。定义 $c=\sup S$。
  假设如果可能，$c<b$。那么在${\mathcal {G}}$ 内存在一个关于 $[a,c]$ 的有限覆盖。$c$ 在覆盖 ${\mathcal {G}}$ 中的集合 $A$ 内。因此，存在一个$\varepsilon >0$ 使得 $(c-\varepsilon ,c+\varepsilon )\subseteq A$。那么 $c+{\tfrac {\varepsilon }{2}}$ 也在 $S$ 内，与 $c$ 的定义相矛盾。因此，$c\geq b$。因此，${\mathcal {G}}$ 有一个有限子覆盖。

关于“海涅-博雷尔定理”的具体内容，不同的资料来源存在差异。似乎埃米尔·博雷尔 证明了最相关的结果，涉及欧几里得空间的紧致子集。但是，我们提供了一个更简单的实数情况。

• 设$X,Y$ 是拓扑空间。如果$f:X\to Y$ 是连续的，且$A\subset X$ 是紧致的，那么 $A$ 的像，$f(A)$，是紧致的。
  证明
  令 ${\mathcal {G}}$ 为 $f(A)$ 的任意开覆盖。考虑逆映射 $\{f^{-1}(B)\}$，其中 $B\in {\mathcal {G}}$。因为 $f$ 是连续的，所以这些逆映射是开的。它们覆盖了 $A$，因此存在 $A$ 的一个有限子覆盖，记为 $\{B_{i}\}$。那么它们的像 $\{f(B_{i})\}$ 是 $f(A)$ 的有限子覆盖。

• 如果一个集合是紧致的并且是豪斯多夫空间，那么它就是正规的。
  证明
  令 $X$ 为紧致的 Hausdorff 空间。考虑两个闭子集 $A$ 和 $B$，根据上面定理 1，它们本身是紧致的。对于每一个 $a\in A$ 和 $b\in B$，存在两个不相交的集合 $O_{a,b,1}$ 和 $O_{a,b,2}$ 使得 $a\in O_{a,b,1}$ 且 $b\in O_{a,b,2}$。对于固定的 $a$，所有这些 $O_{a,b,2}$ 的并集是 $B$ 的一个覆盖，因此它有一个有限的子覆盖，比如说，${\mathcal {O}}_{a,2}$，并令 $O'_{a,2}$ 为其所有成员的并集。
  设 $B_{a}=\{b|O_{a,b,2}\in {\mathcal {O}}_{a,2}\}$，并设 $O_{a,1}=\displaystyle \bigcap _{b\in B_{a}}O_{a,b,1}$。注意到 $B_{a}$ 是有限集，因此 $O_{a,1}$ 是开集。并集 $\displaystyle \bigcup _{a\in A}O_{a,1}$ 覆盖了 $A$，因此它有一个有限的子覆盖 ${\mathcal {O}}_{a,1}$。设 $U$ 为该子覆盖中所有成员的并集。
  设 $A'$ 表示所有元素 $a\in A$ 的集合，满足 $O_{a,1}\in {\mathcal {O}}_{a,1}$。取交集 $V=\displaystyle \bigcap _{a\in A'}O'_{a,2}$，它是开集。
  然后 $U$ 是 $A$ 的一个开超集，$V$ 是 $B$ 的一个开超集，并且它们是不相交的。因此，$X$ 是正规的。

• 在一个紧致的度量空间 X 中，从 X 到 Y 的函数是均匀连续的当且仅当它是连续的。
  证明
  

• 如果两个拓扑空间是紧致的，那么它们的乘积空间也是紧致的。
  证明
  设 X₁ 和 X₂ 是两个紧致空间。设 S 是 X₁×X₂ 的一个覆盖。设 x 是 X₁ 中的一个元素。考虑 S 中包含 (x,y) 的集合 A_x,y，对于 X₂ 中的每一个 y。 $\pi _{2}:(A_{(}x,y))$ 构成 X₂ 的一个覆盖，并且有一个有限子覆盖 {A_x,yi}。设 B_x 为 $\pi _{1}:(A_{y})$ 在 {A_yi} 中的交集，它是开的。因此，{B_x} 构成一个开覆盖，并且有一个有限子覆盖 {B_xi}。相应的集合 {A_xi,yi} 是有限的，并且构成该集合的一个开子覆盖。

• 欧几里得空间中所有闭且有界的集合都是紧致的。
  证明
  设 S 是 $R^{n}$ 中的任何有界闭集。然后，由于 S 是有界的，它包含在 R 的闭区间乘积的一些“盒子”中。由于这些闭区间是紧致的，它们的乘积也是紧致的。因此，S 是紧致集合中的闭集，因此它也是紧致的。

蒂霍诺夫定理

关于乘积空间紧致性的更一般的结果被称为蒂霍诺夫定理。然而，与两个空间的乘积的紧致性不同，蒂霍诺夫定理需要佐恩引理。（事实上，它等价于选择公理。）

定理：设 $X=\prod _{i\in I}X_{i}$，并且设每个 $X_{i}$ 都是紧致的。那么 X 也是紧致的。

证明：证明基于 网。回顾以下事实

引理 1 - $\prod _{i\in I}X_{i}$ 中的网 $(x_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ 收敛于 $x\in \prod _{i\in I}X_{i}$ 当且仅当每个坐标 $(x_{\alpha }^{i})_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ 收敛于 $x^{i}\in X_{i}$。

引理 2 - 拓扑空间 $X$ 是紧致的当且仅当 $X$ 中的每个网都有一个收敛子网。

引理 3 - 每个网都有一个普遍子网。

引理 4 - 紧致空间 $X$ 中的普遍网 $(x_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ 是收敛的。

我们现在证明蒂霍诺夫定理。

令 $(x_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ 是 $\prod _{i\in I}X_{i}$ 中的一个网。

利用引理 3，我们可以找到 $(x_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ 的一个泛网 $(y_{\beta })_{\beta \in {\mathcal {B}}}$。

很容易看出每个坐标网 $(y_{\beta }^{i})_{\beta \in {\mathcal {B}}}$ 都是 $X_{i}$ 中的一个泛网。

利用引理 4，我们看到每个坐标网都收敛，因为 $X_{i}$ 是紧致的。

利用引理 1，我们看到整个网 $(y_{\beta })_{\beta \in {\mathcal {B}}}$ 在 $\prod _{i\in I}X_{i}$ 中收敛。

我们得出结论，$\prod _{i\in I}X_{i}$ 中的每个网都有一个收敛子网，因此根据引理 2，$\prod _{i\in I}X_{i}$ 必须是紧致的。 $\square$

相对紧致性

相对紧致性是另一个有趣的性质。

定义：拓扑空间 X 的一个子集 S，当它的闭包 Cl(x) 是紧致的时候，我们称之为相对紧致的。

注意，相对紧致性不适用于拓扑子空间。例如，开区间 (0,1) 在具有通常拓扑的 R 中是相对紧致的，但它本身不是相对紧致的。

局部紧致性

局部紧致性的概念基于相对紧致性的概念。

如果在拓扑空间 X 中，每个元素都具有一个相对紧致的邻域，那么 X 是**局部紧致的**。

可以证明所有紧致集都是局部紧致的，但反之则不然。

练习

1. 对于度量空间，闭合有界集不一定总是紧致的。考虑一个集合 X 上的以下度量

$d(x,y)={\begin{cases}1&{\rm {if}}\,x\neq y\\0&{\rm {if}}\,x=y\end{cases}}$

a) 证明这是一种度量。

b) X 的哪些子空间是紧致的。

c) 证明如果 Y 是 X 的子空间并且 Y 是紧致的，则 Y 是闭合的且有界的。

d) 证明对于任何度量空间，紧致集始终是闭合的且有界的。

e) 证明对于这种特殊的度量，闭合的且有界的集合不一定是紧致的。