运输基础/竖曲线

竖曲线是公路几何设计中两个重要的过渡元素中的第二个，第一个是水平曲线。竖曲线为两段坡度不同的道路提供过渡，使车辆能够以逐渐的速度改变坡度，而不是急剧的转折。曲线的形状取决于道路的预期设计速度，以及排水、坡度、可接受的坡度变化率和摩擦等其他因素。这些曲线呈抛物线形状，根据水平轴上的位置进行标定。

基本曲线属性

抛物线公式

竖曲线有两种类型：（1）凹形曲线和（2）凸形曲线。凹形曲线用于坡度变化为正值的地方，例如山谷，而凸形曲线用于坡度变化为负值的地方，例如山丘。两种类型的曲线都有三个定义点：PVC（竖曲线起点）、PVI（竖曲线交点）和 PVT（竖曲线终点）。PVC 是曲线的起点，而 PVT 是曲线的终点。这两个点的标高可以分别计算为 $e_{PVC}$ 和 $e_{PVT}$ ，分别代表 PVC 和 PVT。接近 PVC 的道路坡度定义为 $g_{1}$ ，离开 PVT 的道路坡度定义为 $g_{2}$ 。这些坡度通常以 (m/m) 或 (ft/ft) 为单位表示，具体取决于所选的单位类型。

两种类型的曲线都呈抛物线形状。人们发现抛物线函数适用于这种情况，因为它们提供了恒定的斜率变化率，并意味着相等的曲线切线，这将在后面讨论。下面定义了抛物线方程的通用形式，其中 $y$ 是抛物线的标高。

$y=ax^{2}+bx+c\,\!$

当 x = 0 时，它指的是曲线上的位置，对应于 PVC，其高程等于 PVC 的高程。因此， $c$ 的值等于 $e_{PVC}$ 。类似地，曲线在 x = 0 处的斜率等于 PVC 的入射斜率，即 $g_{1}$ 。因此， $b$ 的值等于 $g_{1}$ 。当查看二阶导数时，它等于斜率变化率，可以确定 $a$ 的值。

$a={\frac {g_{2}-g_{1}}{2L}}\,\!$

因此，可以说明垂直曲线的抛物线公式。

$y=e_{PVC}+g_{1}x+{\frac {(g_{2}-g_{1})x^{2}}{2L}}\,\!$

其中

$e_{pvc}\,\!$ : PVC 的高程
$g_{1}\,\!$ : 初始路面坡度 (m/m)
$g_{2}\,\!$ : 最终路面坡度 (m/m)
$L\,\!$ : 曲线长度 (m)

大多数垂直曲线设计为等切曲线。对于等切曲线，PVC 和 PVI 之间的水平长度等于 PVI 和 PVT 之间的水平长度。这些曲线通常更容易设计。

偏移

垂直曲线还存在一些其他属性。偏移量，即从初始切线到曲线的垂直距离，在垂直曲线设计中起着重要作用。确定偏移量的公式如下所示。

$Y={\frac {Ax^{2}}{200L}}\,\!$

其中

$A\,\!$ : $g_{2}$ 和 $g_{1}$ 之间的绝对差，乘以 100 转换为百分比
$L\,\!$ : 曲线长度
$x\,\!$ : 沿曲线从 PVC 的水平距离

停车视距

视距取决于所用曲线的类型和设计速度。对于凸曲线，视距受曲线本身限制，因为曲线是障碍物。对于凹曲线，视距通常仅受前照灯范围限制。AASHTO 为凹凸曲线提供了一些表格，推荐了给定设计速度或停车视距的曲率值， $K$ 。然后，这些曲率值可以乘以绝对坡度变化百分比， $A$ ，以找到推荐的曲线长度， $L_{m}$ .

$L_{m}=KA\,\!$

在没有表格帮助的情况下，仍然可以计算曲线长度。已经推导出公式来确定等切线曲线的所需视距的最小曲线长度，具体取决于曲线是凹曲线还是凸曲线。视距可以从其他部分的公式中计算出来（见视距）。

凸竖曲线

正确的公式取决于设计速度。如果发现视距小于曲线长度，则使用下面的第一个公式，而对于视距大于曲线长度的情况，则使用第二个公式。通常，这需要计算两者，以查看如果无法事先估计曲线长度，哪一个是真的。

$S<L:L_{m}={\frac {AS^{2}}{200\left({{\sqrt {h_{1}}}+{\sqrt {h_{2}}}}\right)^{2}}}\,\!$

$S>L:L_{m}=2S-{\frac {200\left({{\sqrt {h_{1}}}+{\sqrt {h_{2}}}}\right)^{2}}{A}}\,\!$

其中

$L_{m}\,\!$ : 最小曲线长度 (m)
$A\,\!$ : $g_{2}$ 和 $g_{1}$ 之间的绝对差，乘以 100 转换为百分比
$S\,\!$ : 视距 (m)
$h_{1}\,\!$ : 司机眼睛高于路面的高度 (m)
$h_{2}\,\!$ : 目标高于路面的高度 (m)

凹竖曲线

与凸曲线一样，正确的公式取决于设计速度。如果发现视距小于曲线长度，则使用下面的第一个公式，而对于视距大于曲线长度的情况，则使用第二个公式。通常，这需要计算两者，以查看如果无法事先估计曲线长度，哪一个是真的。

$S<L:L_{m}={\frac {AS^{2}}{200\left({H+S\tan \beta }\right)}}\,\!$

$S>L:L_{m}=2S-{\frac {200\left({H+S\tan \beta }\right)}{A}}\,\!$

其中

$A\,\!$ : $g_{2}$ 和 $g_{1}$ 之间的绝对差，乘以 100 转换为百分比
$S\,\!$ : 视距 (m)
$H\,\!$ : 车头灯高度 (米)
$\beta \,\!$ : 车头灯光束的倾斜角度，以度数表示

要找到 SAG 竖曲线上的低点位置：x 是 PVC 和低点之间的水平距离

$x={\frac {G1L}{G1-G2}}\,\!$

$G1\,\!$ : 下坡等级 (%)
$G2\,\!$ : 上坡等级 (%)
$L\,\!$ : 竖曲线长度 (里程碑) 例如 600 英尺 = 6

超车视距

除了停车视距，在某些情况下，也可能允许在竖曲线上超车。对于下凹曲线，这不是问题，因为即使在夜间，也能从相当远的距离看到对向车道上的车辆（借助车辆的车头灯）。然而，对于凸曲线，仍然需要考虑这个问题。与停车视距一样，有两个公式可用于回答最小长度问题，具体取决于超车视距是否大于或小于曲线长度。这些公式使用公制单位。

$S<L:L_{m}={\frac {A(PSD^{2})}{864}}\,\!$

$S>L:L_{m}=2PSD-{\frac {864}{A}}\,\!$

其中

$A\,\!$ : $g_{2}$ 和 $g_{1}$ 之间的绝对差，乘以 100 转换为百分比
$PSD\,\!$ : 超车视距 (米)
$L_{m}\,\!$ : 最小曲线长度 (米)

演示

示例

示例 1：基本曲线信息

问题

一条 500 米等距缓和曲线，其 PVC 位于 100+00 桩号处，高程为 1000 米。初始坡度为 -4%，最终坡度为 +2%。确定 PVI、PVT 和曲线最低点的桩号和高程。

示例

解决方案

曲线长度为 500 米。因此，PVT 位于 105+00 桩号处 (100+00 + 5+00)，由于它是等距缓和曲线，PVI 位于中间位置，即 102+50。对于抛物线公式， $c$ 等于 PVC 处的高程，即 1000 米。的值 $b$ 等于初始坡度，以小数表示为 -0.04。的值 $a$ 可以计算为 0.00006。

使用一般抛物线公式，可以求出 PVT 的高程

$y=0.00006x^{2}+-.04x+1000=0.00006(500)^{2}+-.04(500)+1000=995\ m\,\!$

由于 PVI 是两条切线的交点，因此可以将任意一条切线的斜率以及 PVC 或 PVT 的高程作为参考。然后可以求出 PVI 的高程

$y=-0.04x+1000=-0.04(250)+1000=990\ m\,\!$

要找到曲线的最低点，可以求出抛物线公式的一阶导数。最低点的斜率为零，因此可以找到最低点的位置

$dy/dx=0.00012x+-.04=0.00012x+-.04=0\,\!$

$x=333.33\ m\,\!$

使用抛物线公式，可以计算出该位置的高程。结果表明，该位置的高程为 993.33 米，是曲线上的最低点。

示例 2：障碍物调整

问题

现有的道路正在向上爬坡，坡度为 +3.0%。道路从 100+00 桩号处开始，高程为 1000 米。在 110+00 桩号处，有一个平交铁路道口跨过坡道。由于设计师担心驾驶员在穿越轨道时会发生事故，因此提议开挖一条穿过山坡的水平隧道，在铁路轨道下方穿过，然后从另一侧出来。一条垂直凸形曲线将现有道路连接到拟议的隧道，坡度为 (-0.5)%。这条曲线将从 100+00 桩号处开始，长度为 2000 米。工程师指出，在铁路轨道和道路之间必须至少有 10 米的间距才能建造安全的隧道。假设曲线为等距缓和曲线。按照目前的方案，是否满足了这一要求？

示例

解决方案

解决这个问题的一种方法是计算曲线在 110+00 桩号处的高程，然后查看它是否至少距离切线 10 米。另一种方法是使用偏移公式。由于 A、L 和 x 都已知，因此这个问题很容易解决。将 x 设置为 1000 米来表示 110+00 桩号。

$Y={\frac {Ax^{2}}{200L}}={\frac {(3.5)(1000)^{2}}{200(2000)}}=8.75\ m\,\!$

设计方案不符合要求。

示例 3：停车视距

问题

一条现有的道路设计车速为 100 公里/小时，摩擦系数为 0.1，且行驶的车辆驾驶员的感知反应时间为 2.5 秒。驾驶员使用的汽车，其驾驶员眼睛距离地面 1 米。由于该区域有大量的动物尸体，因此道路的设计考虑了高度为 0.5 米的动物尸体。该道路上的所有曲线都是根据这一标准设计的。

当地政府看到了该地区旅游业的潜力以及对当地经济的推动作用，希望将限速提高到 110 公里/小时，以吸引夏季的驾驶员。沿线居民声称这是一个糟糕的决定，因为一条名为“死人坡”的特定曲线将因视距问题而名副其实。“死人坡”是一条长度约为 600 米的凸形曲线。它从 +1.0% 的坡度开始，以 (-1.0)% 的坡度结束。截至目前，“死人坡”上还没有发生过事故，但居民确信将来会发生事故。

一位对工程学一无所知（却自以为是的）当地政治家声称，600 米的长度已经很长，足以应付来自大城市的渴望的司机们的转换。然而，居民们却反驳道，600 米远远不够这种速度所需。这位政治家开始了一场漫长的“把旅游业带进城镇”的运动，声称居民们试图阻止“进步”。作为一个工程师，你认为这些居民提出的观点是否有效，或者他们仅仅是在试图阻止进步？

示例

解决方案

根据其他部分的视距公式，考虑到上述条件，100 公里/小时的 SSD 为 465 米，而 110 公里/小时的 SSD 为 555 米。由于 465 米和 555 米都小于 600 米的曲线长度，因此应该使用以下公式：

$S<L:L_{m}={\frac {AS^{2}}{200\left({{\sqrt {h_{1}}}+{\sqrt {h_{2}}}}\right)^{2}}}={\frac {2(555)^{2}}{200\left({{\sqrt {1.0}}+{\sqrt {0.5}}}\right)^{2}}}=1055\ m\,\!$

由于 1055 米的最小曲线长度大于“死亡坡”上现有的 600 米长度，因此这条曲线将无法满足 110 公里/小时的视距要求。

这似乎是一个很大的差距。问题是，这条曲线在 100 公里/小时时是否足够好？使用相同的公式，结果是

$S<L:L_{m}={\frac {AS^{2}}{200\left({{\sqrt {h_{1}}}+{\sqrt {h_{2}}}}\right)^{2}}}={\frac {2(465)^{2}}{200\left({{\sqrt {1.0}}+{\sqrt {0.5}}}\right)^{2}}}=740\ m\,\!$

740 米的最小曲线长度远远大于现有的 600 米曲线。因此，居民们关于“死亡坡”是一个潜在的灾难的说法是正确的。结果，这位政治家由于他的“进步”言论无法获得公众信任，被迫辞职。

思考问题

问题

下坡曲线有视距要求，因为夜间视距受到限制。汽车前照灯的光束角度有限，只能在一定角度范围内发出足够强度的光线来照亮远处的物体。如果政府允许在标准汽车前照灯上使用更宽的光束角度，这是否能有效地提供更长的停车视距？

解决方案

是的，当然可以。对于一辆在有许多下坡曲线的道路上行驶的汽车来说，设计速度可以提高，因为可以看见更多的路面。然而，当在这条相同的道路上增加更多的汽车时，问题就会开始出现。由于前照灯发出更宽的光束角度，对向车道的司机将严重被眩光，迫使他们减速以避免发生事故。想想上次有人用远光灯照射你，把你晃得睁不开眼的时候。这个问题可能会导致更多的事故，迫使人们减速，从而总体上造成损失。

示例问题

问题 (解答)

附加问题

变量

$L$ - 曲线长度
$e$ - 指定点的标高，例如 PVC、PVT 等。
$g$ - 坡度
$A$ - 某条曲线的坡度百分比的绝对差值，以百分比表示
$y$ - 曲线标高
$Y$ - 某一测站处，从 PVC 出发的坡度切线与曲线标高之间的偏移
$h_{1}$ - 司机眼睛到路面高度
$h_{2}$ - 物体到路面高度
$H$ - 车头灯高度
$\beta$ - 车头灯光束倾角，单位为度
$S$ - 视距
$K$ - 曲率率
$L_{m}$ - 最小曲线长度

关键词

PVC: 垂直曲线起点
PVI: 垂直交点
PVT: 垂直曲线终点
凸曲线: 纵坡变化为负（例如在山坡上）
凹曲线: 纵坡变化为正（例如在山谷中）