几何/统一角度

将区域的面积作为原始概念，三种角度都得到了一个共同的基础。斜率、双曲线或圆角的大小由相应扇形的面积决定。

预览：从轨迹到群

给定一个三角形的底，如果三角形的面积保持不变，则顶点的轨迹是什么？答案，一条平行于底部的线，是欧几里得几何学的特征。这个经典的图像描述已经转化为群论，它有自己的术语。此外，用解析几何，这个图像可以用线性代数表示为剪切映射。剪切映射的集合形成一个单参数群，在本例中，它是一个表达群作用的变换群。

另一个图像是在笛卡尔平面上的矩形 {(0,0), (x,0), (0,y), (x,y)}。如果矩形要保持恒定面积，则 (x,y) 的轨迹是什么？由 xy = 常数给出的曲线称为矩形双曲线。在本例中，对于 c > 0，挤压映射 (x,y) → ( c x, y/c ) 会置换双曲线 - 变换后的矩形面积与变换前的面积相同。挤压映射的集合形成一个群，其元素对应于 c。应用于整个平面，挤压是一个群作用。这是一个另一个单参数群。

引言

双曲线角度有点晦涩，但在维基教科书微积分中有所描述。这章《几何》将阐明它与圆角度的联系，后者是自亚历山大以来从零度到 360 度的测量角度。w:罗伯特·鲍德温·海沃德在 1892 年注意到圆函数和双曲线函数之间的类比，这些类比是由相应的扇形决定的。

这里的统一要求斜率差作为第三种角度。可以使用短语“弧角”来进行统一，因为双曲线弧和圆弧出现，线段作为第三种角度的“弧”。弧也暗示着沿着弧的运动，例如圆弧绕其中心旋转，置换扩展弧的点。这些运动可以用行列式为 1 的 2x2 实矩阵来描述。有一些关于群论的参考：角度的加法群对应于指数同构下的乘法群。群中的除法对应于角度的减法。使用标准定位，差异表示有向角。例如，两个相反方向的角度由指数函数映射到乘法逆。

有符号面积

传统上，圆弧的测量是其长度与半径的比率，但在这里，我们使用扇形的面积，当半径的平方为二，或 r = √ 2 时。然后圆周变成一个弧，其测量值为 π r² = 2π。分数扇区具有比例面积，并给出相应的圆弧角。w:亚历山大·麦克斯韦在他 1894 年关于三角函数定义的文章（第 9 页）中表达了弧角应该用面积比率来测量的观点：“三角函数的真实解析论证不是弧与半径的比率，而是扇形面积的两倍与半径平方的比率。”

对应于自然对数的双曲线扇区根据 x 大于或小于 1 而构造。面积为 1/2 的可变直角三角形是 $V=\{(x,1/x),\ (x,0),\ (0,0)\}.$ 等腰情况是 $T=\{(1,1),\ (1,0),\ (0,0)\}.$ 自然对数被称为 y = 1/x 在一和 x 之间的曲线下面积。正双曲线角由 $\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}+T-V.$ 给出。负双曲线角由面积的负值给出 $\int _{x}^{1}{\frac {dt}{t}}+V-T.$ 这与 x 在 (0,1) 中的负自然对数相一致。由于 T 和 V 的面积都是 1/2，它们的差为零，因此双曲线角由自然对数给出。

第三种角度很容易用斜率来描述。点 (x,y)，x>0，确定一个斜率 m=y/x，并表示 x 轴和从原点到 (x,y) 的射线之间的角度。由 x 轴、斜率 m 线和 x= √2 形成的三角形面积为 m：A=(1/2)(√2)(m √2)。对于 x=√2 上的任何两点，原点的角度大小等于由指向这些点的射线形成的面积。

对于这个角度，弧是线段，可以作为三角形的底。欧几里得几何学的一个经典定理是：“如果给定三角形的底和面积，则其顶点的轨迹是一条平行于底部的直线。”（参见罗伯特·波茨 (1865) 《欧几里得几何原本》，第 285 页。）

运动

每种角度都具有平面运动，该运动会移动它，但保持其大小不变。由于旋转保持长度不变，面积也保持不变，因此圆角的大小不会因旋转而改变。其他角度的运动不是长度保持的，但它们是面积保持的。

在双曲角的情况下，运动将正方形挤压成一个面积相同的矩形。双曲线 *y* = 1/*x* 的面积和双曲线之间出现了一个看似矛盾的情况：取调和级数 $\{\sum _{1}^{m}{\tfrac {1}{n}}\}_{m=1}^{\infty }.$ 和式中的项变得非常小，但部分和序列没有上限。这种发散表明双曲线与其渐近线之间存在无限面积。

从一个 **翼** 开始，单位面积 $\int _{1}^{e}{\tfrac {dx}{x}}=\log e.$ 事实上，对于任何 *n*，在 eⁿ 和 eⁿ⁺¹ 之间都存在一个双曲角的翼，因此翼的数量是无限的。从一个翼到另一个翼的步骤是由线性变换完成的，该变换将单位正方形挤压成一个长为 e 高为 1/e 的矩形。*y* = 1/*x* 的这个特性是在 1647 年由 G. de Saint-Vincent 作为双曲线求积的一个特征提出的，它提供了自然对数的几何表达式，这是面积的更常见表示，也与双曲角相关联，并且在这里通过翼度量得到加强。

剪切映射将矩形映射到与矩形面积相同的平行四边形。平面上的这种运动通过原点的直线的斜率增加或减少一个恒定值。这种第三类角的弧线是 x = √2 上的一段线段，随着剪切上下移动，但以这段线段为底，顶点位于原点的三角形的面积恒定。

在 2x2 实矩阵的环 M(2,R) 中，行列式等于 1 的矩阵保留面积，并且是特殊线性群 SL(2,R) 的元素，该群形成 M(2,R) 中的一种单位球体。SL(2,R) 的三种类型的子群作为角的指数图像出现，它们也表达了每种角物种的平面运动特征。

虽然莱昂哈德·欧拉与圆形角的对应关系相关联，但其他角已被纳入对域 *F* 上的一般线性群 GL(n, *F*) 以及群恒等式上的切向量的更一般研究中，该研究由索菲斯·李发起。实际上，1 处的切线的代数被称为 *李代数*。