小学几何/线段的平分

在本章中，我们将学习如何平分线段。给定一条线段${\overline {AB}}$，我们将将其分成两个相等的线段${\overline {AC}}$和${\overline {CB}}$。该构造基于第一卷第10条命题。

构造

1. 构造等边三角形 $\triangle ABD$ 在${\overline {AB}}$上。
2. 平分角 在$\angle ADB$ 上使用线段${\overline {DE}}$。
3. 令 **C** 为${\overline {DE}}$ 和${\overline {AB}}$ 的交点。

结论

1. 两者${\overline {AC}}$ 和${\overline {CB}}$ 都等于${\overline {AB}}$ 的一半。

证明

1. ${\overline {AD}}$ 和${\overline {BD}}$ 是等边三角形$\triangle ABD$ 的边。
2. 因此，${\overline {AD}}$ 等于 ${\overline {BD}}$。
3. 线段 ${\overline {DC}}$ 等于它本身。
4. 根据构造，$\angle ADE$ 和 $\angle EDB$ 相等。
5. 线段 ${\overline {DE}}$ 和 ${\overline {DC}}$ 彼此重合。
6. 因此，$\angle ADE$ 等于 $\angle ADC$，$\angle EDB$ 等于 $\angle CDB$。
7. 根据边角边全等定理，三角形 $\triangle ADC$ 和 $\triangle CDB$ 全等。
8. 因此，${\overline {AC}}$ 和 ${\overline {CB}}$ 相等。
9. 由于 ${\overline {AB}}$ 是 ${\overline {AC}}$ 和 ${\overline {CB}}$ 的和，它们各自等于它的一半。