小学几何/角平分线

角平分线 $\angle ABC$

1. 使用圆规找到与顶点 B 等距的点 D 和 E。
2. 画一条线 ${\overline {DE}}$.
   
   
   
   
3. 构造一个等边三角形 在 ${\overline {DE}}$ 上，第三个顶点为 **F**，得到 $\triangle DEF$。（线 DF 和 EF 的长度相等）。
   
   
   
   
4. 画一条线 ${\overline {BF}}$.
   
   
   
   

论点

1. 角 $\angle ABF$、$\angle FBC$ 等于 $\angle ABC$ 的一半。

证明

1. ${\overline {DE}}$ 是从圆心到圆周的一条线段，因此等于 $\circ B,{\overline {BD}}$ 的半径。
2. 因此，${\overline {BE}}$ 等于 ${\overline {BD}}$.
3. ${\overline {DF}}$ 和 ${\overline {EF}}$ 是等边三角形 $\triangle DEF$ 的边。
4. 因此，${\overline {DF}}$ 等于 ${\overline {EF}}$。
5. 线段 ${\overline {BF}}$ 等于它本身。
6. 根据边边边全等定理，三角形 $\triangle ABF$ 和 $\triangle FBC$ 全等。
7. 因此，角 $\angle ABF$，$\angle FBC$ 等于 $\angle ABC$ 的一半。

注意

我们展示了一种将角度分成两部分的简单方法。一个自然而然的问题是，如何将角度分成其他部分。自欧几里得时代以来，数学家们一直在寻找一种方法来三等分角，即将其分成3等分。经过多年的尝试，人们才证明了这种方法不存在，因为这种结构是不可能实现的，只能使用尺规作图。

练习

1. 找到将一个角度分成4等分的构造方法。
2. 找到将一个角度分成8等分的构造方法。
3. 对于哪些其他数字可以找到这种构造方法？