小学几何/构造三角形

在本节中，我们将展示如何从三个线段构造一个三角形。构造基于第一卷，命题22

构造

给定三个线段${\overline {AB}}$，${\overline {CD}}$和${\overline {EF}}$，我们构建一个边长等于这些线段的三角形。

1. 复制直线${\overline {CD}}$到点A。
   
   如果你忘记了如何操作，请遵循上一节的说明。你的构造应该看起来像下图中的灰色线。将新线称为${\overline {AG}}$
   
   
   现在最好擦除你的辅助线，这样就只剩下下面显示的四条线段。
   
   
   
   
2. 复制直线${\overline {EF}}$到点B。
   
   
   你的构造应该看起来像下图中的灰色线。将新线称为${\overline {BH}}$
   
   
   
3. 画圆$\circ A,{\overline {AG}}$，其圆心为A，半径为${\overline {AG}}$。
4. 画圆$\circ B,{\overline {BH}}$，其圆心为B，半径为${\overline {BH}}$。
5. 设J为$\circ A,{\overline {AG}}$和$\circ B,{\overline {BH}}$的交点。
   
   
   
6. 画一条线 ${\overline {AJ}}$.
7. 画一条线 ${\overline {BJ}}$.
   

结论

三角形 $\triangle ABJ$ 的边分别等于 ${\overline {AB}}$, ${\overline {CD}}$ 和 ${\overline {EF}}$.

证明

1. 线段 ${\overline {AB}}$ 是三角形的边，等于它本身。
2. 线段 ${\overline {AJ}}$ 等于 ${\overline {AG}}$，因为它们都是圆$\circ A,{\overline {AG}}$ 的半径。并且因为它是复制的，所以${\overline {AG}}$=${\overline {CD}}$。因此 ${\overline {AJ}}$ 也等于 ${\overline {CD}}$
3. 线段 ${\overline {BJ}}$ 等于 ${\overline {BH}}$，因为它们都是圆 $\circ B,{\overline {BH}}$ 的半径。并且由于它是复制的，${\overline {BH}}$=${\overline {EF}}$。因此，${\overline {BJ}}$ 也等于 ${\overline {EF}}$
4. 因此，三角形 $\triangle ABJ$ 的边分别等于 ${\overline {AB}}$、${\overline {CD}}$ 和 ${\overline {EF}}$。

测试步骤

1. 画一条线 ${\overline {AB}}$，长度随意。
2. 复制这条线 ${\overline {AB}}$ 到任意点 C，得到 ${\overline {CD}}$。
3. 画一条线 ${\overline {EF}}$，使其长度为 ${\overline {AB}}$ 长度的三倍。（我们没有指定如何构建这样的线段，留作练习。参考章节 复制线段 来解决。）
4. 用 ${\overline {AB}}$、${\overline {CD}}$ 和 ${\overline {EF}}$ 构造一个三角形。

为什么你在测试中不能构造这个三角形？

我们在测试中无法构建三角形的原因是，我们构造的圆圈没有相交。不能用任意三条线段来构造三角形。线段的长度必须满足一个称为“三角形不等式”的条件。三角形不等式指出，任何一条线段都应小于另外两条线段长度的总和。如果其中一条线段更长，则圆圈就不会相交。如果一条线段等于另外两条线段的总和，我们会得到一条直线而不是三角形。

因此，构造是正确的，但应该对可以应用构造的线段进行条件限制。请注意，原始构造是欧几里得提出的，因此构造或其证明中不存在错误。