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在本节中,我们将展示如何从三个线段构造一个三角形。构造基于第一卷,命题22
给定三个线段
,
和
,我们构建一个边长等于这些线段的三角形。
- 复制直线
到点A。

如果你忘记了如何操作,请遵循上一节的说明。你的构造应该看起来像下图中的灰色线。将新线称为

现在最好擦除你的辅助线,这样就只剩下下面显示的四条线段。

- 复制直线
到点B。

你的构造应该看起来像下图中的灰色线。将新线称为

- 画圆
,其圆心为A,半径为
。
- 画圆
,其圆心为B,半径为
。
- 设J为
和
的交点。

- 画一条线
.
- 画一条线
.

三角形
的边分别等于
,
和
.
- 线段
是三角形的边,等于它本身。
- 线段
等于
,因为它们都是圆
的半径。并且因为它是复制的,所以
=
。因此
也等于 
- 线段
等于
,因为它们都是圆
的半径。并且由于它是复制的,
=
。因此,
也等于 
- 因此,三角形
的边分别等于
、
和
。
- 画一条线
,长度随意。
- 复制这条线
到任意点 C,得到
。
- 画一条线
,使其长度为
长度的三倍。(我们没有指定如何构建这样的线段,留作练习。参考章节 复制线段 来解决。)
- 用
、
和
构造一个三角形。
我们在测试中无法构建三角形的原因是,我们构造的圆圈没有相交。不能用任意三条线段来构造三角形。线段的长度必须满足一个称为“三角形不等式”的条件。三角形不等式指出,任何一条线段都应小于另外两条线段长度的总和。如果其中一条线段更长,则圆圈就不会相交。如果一条线段等于另外两条线段的总和,我们会得到一条直线而不是三角形。
因此,构造是正确的,但应该对可以应用构造的线段进行条件限制。请注意,原始构造是欧几里得提出的,因此构造或其证明中不存在错误。