小学几何/复制线段

此构造将复制线段${\overline {AB}}$ 到目标点T。此构造基于第一卷，命题2。

构造

1. 设A为${\overline {AB}}$ 的两个端点之一。注意，我们只是在这里给它一个名字。（我们可以用另一个端点B替换A）。
   
   
   
   
2. 画一条线段 ${\overline {AT}}$
   
   
   
   
3. 构造一个等边三角形 $\triangle ATD$（一个边长为${\overline {AT}}$ 的三角形）。
   
   
   
   
4. 画圆 $\circ A,{\overline {AB}}$，圆心为A，半径为${\overline {AB}}$。
   
   
   
   
5. 画一条线段，从D开始，穿过A，直到它与$\circ A,{\overline {AB}}$ 相交，并令交点为E。得到线段${\overline {AE}}$ 和 ${\overline {DE}}$.
   
   
   
   
6. 画圆 $\circ D,{\overline {DE}}$，圆心为D，半径为${\overline {DE}}$。
   
   
   
   
7. 画一条线段 从 D 开始，穿过 T 直到与 $\circ D,{\overline {DE}}$ 相交，交点为 F。得到线段 ${\overline {TF}}$ 和 ${\overline {DF}}$.
   

结论

线段 ${\overline {TF}}$ 等于 ${\overline {AB}}$ 且从 T 开始。

证明

1. 线段 ${\overline {AB}}$ 和 ${\overline {AE}}$ 都从 $\circ A,{\overline {AB}}$ 的圆心到圆周。因此它们等于圆的半径，也等于彼此。
   
   
   
   
2. 线段 ${\overline {DE}}$ 和 ${\overline {DF}}$ 都从 $\circ D,{\overline {DE}}$ 的圆心到圆周。因此它们等于圆的半径，也等于彼此。
   
   
   
   
3. ${\overline {DE}}$ 等于其各部分 ${\overline {DA}}$ 和 ${\overline {AE}}$ 的和。
   
   
   
   
4. ${\overline {DF}}$ 等于其部分 ${\overline {DT}}$ 和 ${\overline {TF}}$ 的和。
   
   
   
   
5. 线段 ${\overline {DA}}$ 等于 ${\overline {DT}}$，因为它们是等边三角形 $\triangle ATD$ 的边。
   
   
   
   
6. 由于线段的和相等，两个加数也相等，因此另外两个加数 ${\overline {AE}}$ 和 ${\overline {TF}}$ 也相等。
   
   
   
   
7. 因此，${\overline {AB}}$ 等于 ${\overline {TF}}$。