群论/共轭作用和 p-群

定义（全局稳定器）:

令 $G$ 为一个作用于 $A$ 的群，其中 $A$ 属于某个代数簇 ${\mathcal {A}}$。令 $S\subseteq A$ 为一个子集。那么 $S$ 的全局稳定器 是集合

$G(S):=\{g\in G|gS\subseteq S\}$,

其中符号 $gS$ 表示集合 $\{gs|s\in S\}$。

定义（p-群）:

令 $p\in \mathbb {N}$ 为一个素数。那么一个$p$-群 是一个阶为 $p^{k}$ 的群，对于某个 $k\in \mathbb {N}$。

命题（p-群不动点集的基数等于集合模 p 的基数）:

令 $G$ 为一个作用于集合 $X$ 的 $p$-群。那么

$|\operatorname {Fix} (G)|\equiv |X|\mod p$.

证明：根据类方程,

$|X|=\sum _{k=1}^{n}[G:G_{x_{k}}]$,

其中，对于每个 $G$ 在 $X$ 上的轨道，我们选取该轨道的一个代表元 $x_{k}$。由于 $G$ 是一个 $p$ 群，只要 $[G:G_{x_{k}}]$ 不等于 $1$，那么根据拉格朗日定理，它可以被 $p$ 整除。因此，通过对上述等式取模 $\mod p$，我们得到

$|X|\equiv \sum _{j=1}^{l}1\equiv l\mod p$,

其中，$l$ 是那些 $x_{k}$ 的数量，对于这些 $x_{k}$，$[G:G_{x_{k}}]=1$。但 $[G:G_{x_{k}}]=1$ 准确地意味着 $x_{k}$ 的轨道是平凡的，也就是说，$x_{k}$ 被 $G$ 中的所有元素固定。 $\Box$

命题（p-群有非平凡的中心）:

令 $G$ 为一个 $p$ 群。则 $Z(G)\neq \{e\}$，其中 $e\in G$ 表示单位元。

证明： $G$ 通过共轭作用于自身。此外，

$h\in Z(G)\Leftrightarrow \forall g\in G:g^{-1}hg=h$,

所以 $Z(G)$ 正好是 $G$ 在该作用下的不动点集。但由于p-群不动点集的基数等于整个集合的基数模p，我们得到

$0\equiv |G|\equiv |\operatorname {Fix} (G)|\equiv |Z(G)|\mod p$,

如果 $|Z(G)|=1$，这将是不可能的。 $\Box$