群论/拓扑群

定义（拓扑群）:

一个拓扑群 $G$ 是一个群，其底层集合具有拓扑结构，使得

1. 群律是一个连续函数 $G\times G\to G$ 并且
2. 求逆是一个连续函数 $G\to G$.

因此，拓扑群是具有结构的群，在拓扑空间的范畴中。

命题（每个拓扑群都是一致空间）:

令 $G$ 是一个拓扑群，并令 $(U_{\alpha })_{}$ 是其单位元的邻域系统。那么集合

${\displaystyle }$

形成一个邻域系统，其诱导的拓扑结构与 $G$ 的拓扑结构相同。

证明： $\Box$

定理（Birkhoff-Kakutani 定理）:

命题（拓扑群的单位元的连通分量是其正规子群之一）:

令 $G$ 是一个拓扑群，并令 $K\subseteq G$ 是其单位元的连通分量。那么 $K\trianglelefteq G$.

证明： $\Box$

命题（每个局部紧凑拓扑群都是其 σ-紧致开放子群的平移的非交并集）:

令 $G$ 是一个局部紧凑拓扑群。那么存在一个 σ-紧致开放子群 $H\leq G$，当然我们可以由此推断

$G=\bigsqcup _{g\in S}gH$,

其中 $S$ 是一个集合，其中包含每个 $H$ 左陪集的一个元素（方括号中的并集符号表示并集是非交的）。此外，每个 $H$ 的左陪集 $gH$ 是 σ-紧致且开放的。

证明：我们将$G$的单位元记为$e$。令$K$ 是$e$的一个紧致邻域。我们定义$L:=K\cup K^{-1}$。由于连续映射下紧集的像也是紧集 以及两个紧集的并集是紧集，$L$ 是$e$的一个紧致邻域。此外，由归纳法，两个紧集的积是紧集，以及连续映射下紧集的像也是紧集（应用于连续的群乘法映射），可以推出所有集合$L^{2},L^{3},\ldots$都是紧致的。然而，群

$H:=\langle L\rangle \leq G$,

即由$L$中的元素生成的群，是这些集合的并集，因此是σ-紧致的。

现在只需要证明$H$ 是开集。为此，我们可以利用以下事实：由于$L$ 是$e$ 的一个邻域，存在开集$V\subseteq L$ 使得$e\in L$。由于乘以群元素是一个同构，集合$hV$ 在$H$中是开集，只要$h\in H$。因此，

$H=\bigcup _{h\in H}hV$

是开集。

最后，$gH$ 是开放且 σ-紧的，因为乘以 $g$ 是拓扑空间类别中 $G$ 的自同构，因此它保留了开放性和紧致性。$\Box$