游戏开发指南/理论/数学/四元数

关于

四元数用于绕多个旋转轴旋转几何体和点。它们存在于四个维度中，因此具有四个部分：w、x、y 和 z。由于 x、y 和 z 相互关联且类似，人们有时使用另一个字母来代表所有三个，v 是常见的表示。要表示它们，您应该将它们存储在 4 维 向量 中，如下所示：${\textbf {q}}={\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}$. 四元数用作 欧拉角 的替代方案。

四元数的优点

• 没有万向节锁死
• 插值平滑且直接
• 计算简单

四元数的基本创建

因此，如果您选择了一些您想围绕其旋转几何体的单位长度 3D 向量 (${\hat {\textbf {n}}}$) 以及您想旋转几何体的度数 ($\theta$)，然后创建一个旋转四元数 (${\textbf {q}}$).

通常有两种形式来表示四元数，简写和长写。在简写表示法中，它以 w 和 v (x、y 和 z 的组合) 表示。

${\textbf {q}}={\bigg (}\cos {\bigg (}{\frac {\theta }{2}}{\bigg )},{\hat {\textbf {n}}}\sin {\bigg (}{\frac {\theta }{2}}{\bigg )}{\bigg )}$

这可以使用 w、x、y 和 z 在长写表示法中表示

${\textbf {q}}={\begin{pmatrix}\cos({\frac {\theta }{2}})\\{\hat {\textbf {n}}}_{x}\sin({\frac {\theta }{2}})\\{\hat {\textbf {n}}}_{y}\sin({\frac {\theta }{2}})\\{\hat {\textbf {n}}}_{z}\sin({\frac {\theta }{2}})\end{pmatrix}}$

其中：$w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

如果四元数没有旋转，那么它的值为：${\textbf {q}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

与虚数相关的链接

这 4 个分量（**w, x, y** 和 **z**）可以分解成一个实数和三个虚数

$w+ix+jy+kz$ 其中 $i$，$j$ 和 $k$ 是虚数，使得 $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$。由此，您可以得出以下结论

${\begin{aligned}ij=k=-ji\\jk=i=-kj\\ki=j=-ik\\ik=-j=-ki\\ji=-k=-ij\\kj=-i=-jk\end{aligned}}$

四元数的逆

要求逆一个四元数，只需将x、y 和z 分量乘以-1。

${\textbf {q}}={\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}$

${\textbf {q}}^{-1}={\begin{pmatrix}w\\-x\\-y\\-z\end{pmatrix}}$

四元数的乘法

当将两个四元数相乘时，顺序很重要（${\textbf {Q}}={\textbf {RS}}\neq {\textbf {SR}}$）。

乘积定义为

${\textbf {Q}}={\textbf {RS}}=[w_{r}+ix_{r}+jy_{r}+kz_{r}][w_{s}+ix_{s}+jy_{s}+kz_{s}]=[w_{s}w_{r}-{\hat {\textbf {n}}}_{s}\cdot {\hat {\textbf {n}}}_{r},w_{s}{\hat {\textbf {n}}}_{r}+w_{r}{\hat {\textbf {n}}}_{s}+{\hat {\textbf {n}}}_{r}\times {\hat {\textbf {n}}}_{s}]={\begin{pmatrix}w_{s}w_{r}-{\hat {\textbf {n}}}_{s}\cdot {\hat {\textbf {n}}}_{v}\\w_{s}{\hat {\textbf {n}}}_{r_{x}}+w_{r}{\hat {\textbf {n}}}_{s_{x}}+({\hat {\textbf {n}}}_{r}\times {\hat {\textbf {n}}}_{s})_{x}\\w_{s}{\hat {\textbf {n}}}_{r_{y}}+w_{r}{\hat {\textbf {n}}}_{s_{y}}+({\hat {\textbf {n}}}_{r}\times {\hat {\textbf {n}}}_{s})_{y}\\w_{s}{\hat {\textbf {n}}}_{r_{z}}+w_{r}{\hat {\textbf {n}}}_{s_{z}}+({\hat {\textbf {n}}}_{r}\times {\hat {\textbf {n}}}_{s})_{z}\end{pmatrix}}$

球面线性插值 (SLERP)

这是在两个四元数之间逐步插值的方法，例如获得两个四元数之间的中点（或其他点）。

四元数的上标表示法

在进行 SLERP 之前，您需要理解四元数的指数表示法。

如果您有一个四元数 a，并且您使用指数表示法将其提升到 t 次方，这意味着它将按指数 t 缩放四元数内部的角度。由于这仅仅是缩放所有角度，因此这意味着四元数的大小 ($w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$) 仍然是 1。

指数表示法的简短表示法

${\textbf {a}}={\bigg (}\cos {\bigg (}{\frac {\theta }{2}}{\bigg )},{\hat {\textbf {n}}}\sin {\bigg (}{\frac {\theta }{2}}{\bigg )}{\bigg )}$

${\textbf {a}}^{t}={\bigg (}\cos {\bigg (}{\frac {t\theta }{2}}{\bigg )},{\hat {\textbf {n}}}\sin {\bigg (}{\frac {t\theta }{2}}{\bigg )}{\bigg )}$

指数表示法的长表示法

${\textbf {a}}={\begin{pmatrix}\cos({\frac {\theta }{2}})\\{\hat {\textbf {n}}}_{x}\sin({\frac {\theta }{2}})\\{\hat {\textbf {n}}}_{y}\sin({\frac {\theta }{2}})\\{\hat {\textbf {n}}}_{z}\sin({\frac {\theta }{2}})\end{pmatrix}}$

${\textbf {a}}^{t}={\begin{pmatrix}\cos({\frac {t\theta }{2}})\\{\hat {\textbf {n}}}_{x}\sin({\frac {t\theta }{2}})\\{\hat {\textbf {n}}}_{y}\sin({\frac {t\theta }{2}})\\{\hat {\textbf {n}}}_{z}\sin({\frac {t\theta }{2}})\end{pmatrix}}$

SLERP 方程

如果您的第一个四元数是 q，第二个四元数是 r，并且您想找到它们之间的一个点 (p)，它位于从 q 到 r 的 t 百分比处，其中 0 ≤ t ≤ 1。

最终方程定义为

${\textbf {p}}=({\textbf {r}}{\textbf {q}}^{-1})^{t}{\textbf {q}}$

参见

• 在代码中创建四元数类

外部链接

YouTube

• 游戏开发者的数学
  • 四元数播放列表
• 人性化绑定 03 - 3D 弹跳球 05 - 四元数旋转
• 四元数旋转的手工计算

维基百科页面

• 四元数
• 四元数和空间旋转
• Slerp - 球面线性插值

维基教科书

• 抽象代数/四元数