数学史/早期数学

古埃及

埃及人使用象形文字，如图 1 所示，类似于后来的罗马数字，这也使埃及人能够描述分数。虽然每个符号代表 10 的幂，但埃及系统没有像现代数字系统那样的基数，因为数字在埃及数字中的位置不会告诉你它的值。埃及人会通过绘制给定符号，并根据其代表的倍数绘制多次，来表达数字。因此，数字 2369 可以写成图 2 所示。

$={\frac {1}{3}}$ $={\frac {1}{331}}$ $={\frac {1}{2}}$ $={\frac {2}{3}}$ $={\frac {3}{4}}$ 图 3：分数

1 10 100 1,000 10,000 100,000 100 万，或 无穷大 或 图 1：数字象形文字 图 2：2369 分数是用一个看起来像嘴巴的符号来描述的。这个符号会放在描述一个整数的一组象形文字上，从而得到一个单位分数。其他有理数将使用单位分数的总和来描述，然而，埃及人会通过不考虑超过 6 个单位分数来“四舍五入”有理数。½、⅔ 和 ¾ 有特殊的象形文字，数字可以用语音来写，就像我们可以写九而不是 9 一样，但这很少发生在除 1 或 2 以外的数字上。图 3 给出了一些例子。 埃及人使用看起来像一双腿的象形文字来表示加法和减法。根据“脚”的方向和文本的流动方向，这些符号显示了正在执行的操作；流入文本表示加法，否则表示减法。 和 图 4：加法 & 减法 图 5：114 - 25 图 6：7/12

乘法是通过使用我们现在称为二进制算术的一种形式来完成的。被乘数将被写到象形文字 1 旁边，然后被乘数将被加倍并写到象形文字 2 旁边。然后两个数字都被加倍，这个过程将继续进行，直到象形文字的值等于或大于乘数的一半。最后，象形文字将从乘数中减去，而相应的被乘数将加在一起。因此，一个例子是将$12\times 13$

12 - 1 24 - 2 48 - 4 96 - 8

96 + 48 + 12 $=$ 156 13 - 8 - 4 - 1

图 7：埃及人用 12 乘 13 的乘法

莱因德纸草书

莱因德纸草书的一部分

我们对埃及数学的大部分了解来自于对一些用草书书写下来的纸草书的破译。最著名的纸草书是莱因德数学纸草书，它可以追溯到公元前 1650 年左右，但它的作者阿赫摩斯将它确定为中王国纸草书的副本。莱因德纸草书包含 84 个文字问题和一个表格，其中列出了 101 个形式为 2/n 的埃及分数展开式。它还包括用于加、减、乘和除单位分数和的公式和方法，并包含其他数学知识的证据，包括算术、几何和调和平均数；复合数和质数；以及对埃拉托色尼筛和完全数理论的简单理解。它还展示了如何求解一阶线性方程以及如何求算术级数和几何级数的和。

这些文字问题的一个例子要求读者找到 x 和 x 的一个分数，使得 x 和其分数的和等于一个给定的整数。纸草书中的问题 #24 要求读者“一个数量加上那个数量的四分之一等于 15。这个数量是多少？”用现代符号表示，这个问题就是解 x + x/4 = 15。这个问题是通过猜测 x = 4 来解决的，这样就会从问题中去掉分数。当 x = 4 时，x + x/4 = 5，这不是正确答案，但是 5 x 3 = 15，因此 4 x 3 = 12 = x，这是正确的。一些历史学家认为，这种方法是将 x 分成 4 个相等的部分，即 x = 4y，这样解题者就可以找到使这些部分的数量等于 15 的部分数量，即 5，或者 4y + 4y/4 = 4y + y = 5y = 15。因此，每个部分的大小是 3，因为有 4 个部分组成 x，所以 x = 12。

莫斯科纸草书

莫斯科数学纸草书是一份古埃及数学纸草书，也称为戈列尼谢夫数学纸草书，以其第一任主人，埃及学家弗拉基米尔·戈列尼谢夫的名字命名。戈列尼谢夫于 1892 年或 1893 年在底比斯购买了这份纸草书。它后来被收录到莫斯科普希金国家艺术博物馆的收藏中，至今仍保存在那里。

根据草书文本的古文字学和正字法，这份文本最有可能是在埃及第十三王朝写下的，并且基于更早的材料，可能可以追溯到埃及第十二王朝，大约公元前 1850 年。大约 18 英尺长，宽度在 1½ 到 3 英寸之间变化，它的格式被分成 25 个问题，苏联东方学家瓦西里·瓦西里耶维奇·斯特鲁维在 1930 年给出了解决方案。它与莱因德数学纸草书并称为著名的数学纸草书。莫斯科数学纸草书比莱因德数学纸草书更古老，而莱因德纸草书是两份中较大的那份。

柏林纸草书

柏林纸草书写于公元前 1300 年左右，表明古埃及人已经解出了两个二阶一元方程，一些人称之为丢番图方程。柏林解 x2 + y2 = 100 的方法尚未在第二个草书文本中得到证实，尽管它已在第二个柏林纸草书问题中得到证实。

美索不达米亚

另一个拥有令人尊敬的数学的古代文明是美索不达米亚人。从苏美尔人时代到巴比伦的衰落，这些民族所使用的数学被称为巴比伦数学。从 19 世纪中期以来发现的数百块泥板，我们了解了许多关于这些民族能力的信息。

算术

图 1：巴比伦数字

巴比伦数学基于六十进制记数系统，与埃及人不同，他们使用位值制来描述大于 59 的数字。单个数字使用十进制子系统来描述，其中“<”用于描述我们所说的“十位”的值，而“Y”用于描述“个位”的值。因此，数字 12 可以写成 <YY，数字 31 可以写成 <<<Y，参见图 1。此外，诸如 82 这样的数字将被写成 Y<<YY; Y 或 1 代表高位数字，<<YY 或 22 代表低位数字。

巴比伦人最初没有数字来代表数字 0，他们只是假设零的概念仅仅是数字的缺乏。因此，像 364 这样的数字，在六十进制中是 1,0,4，将被写成 Y YYYY。请注意空格，后来将被占位符取代，这将是巴比伦人唯一使用的近似于零的符号。

为了简化使用现代阿拉伯数字书写六十进制数字，各位置通常用逗号隔开，小数点用分号表示，因此数字 398.44 将被写成 6,38;44。要将十进制转换为六十进制，请将该数字除以最大的六十进制位值，该位值可以进入该数字，然后对余数重复操作。(7299 → 20 × 360 + 99 → 20 × 360 + 1 × 60 + 39 → 7299 = 20,1,39)

对于乘法，巴比伦人使用平方表和公式

$ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}$ 或 $ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}$

因此，要找到 9 x 3，巴比伦人可以找到 9 + 3 (12) 和 9 - 3 (6) 的平方，分别为 144 和 36，然后从较大的 144 中减去较小的 36，即 108，然后取这个数字的四分之一，即 27。

为了进行除法，使用倒数表，方法基于以下事实：$a/b=a\times 1/b$。144/6 的例子，使用六十进制记数法 (1,14/6)

${\frac {2,14}{6}}=2,14\times ;6={\frac {(2,14+;6)}{hi}}$

古代印度

在印度，许多耆那教的经书（圣典）包含复杂的数学。这些书籍非常古老，包含各种形式的数学。如果有人对包含数学的耆那教书籍进行适当的研究，这将对世界数学大有帮助。