数学物理导论/连续介质中的能量/电磁能量

介绍

在电磁能量部分，已经假设给定体积的电磁功率是坡印廷矢量的流出。\index{坡印廷矢量} 如果电流为零，则给系统提供的能量密度为

dU=HdB+EdD

多极分布

在电磁相互作用部分，已经看到体积电荷分布 $\rho$ 的能量是\index{多极}

U=\int \rho Vd\tau

其中 $V$ 是电势。以下是常见电荷分布的能量表达式

对于一个点电荷 $q$ ，势能为： $U=qV(0)$ .
对于偶极子\index{偶极子} $P_{i}$ ，势能为： $U=\int V{\mbox{ div }}(P_{i}\delta )=\partial _{i}V.P_{i}$ .
对于四极子 $Q_{i,j}$ ，势能为： $U=\int V(\partial _{i}\partial _{j}Q_{i,j}\delta )=\partial _{i}\partial _{j}V.Q_{i,j}$ .

考虑由一组点电荷 $q_{n}$ 构成的物理系统，这些电荷位于 $r_{n}$ 。这些电荷可以是例如原子或分子的电子。让我们将这个系统放置在一个与电势 $U_{e}$ 相关的外部静态电场中。利用麦克斯韦方程组的线性，位置 $r$ 处感受到的电势 $U_{t}(r)$ 是外部电势 $U_{e}(r)$ 和点电荷产生的电势 $U_{c}(r)$ 的总和。系统的总势能表达式为

U_{t}=\sum q_{n}(V_{c}(r_{n})+V_{e}(r_{n}))

在原子\index{atom} 中，与 $V_{c}$ 相关的项被认为是主要的，因为 $r_{n}-r_{m}$ 的值很小。该项用于计算原子态。第二项被视为扰动。让我们寻找第二项 $U_{e}=\sum q_{n}V_{e}(r_{n})$ 的表达式。为此，让我们将电势在 $r=0$ 位置展开

U_{e}=\sum q_{n}V_{e}(r_{n})=\sum q_{n}(U(0)+x_{i}^{n}\partial _{i}(U)+{\frac {1}{2}}x_{i}^{n}x_{j}^{n}\partial _{i}\partial _{j}(U)+\dots )

其中 $x_{i}^{n}$ 表示第 $n$ 个电荷的位置向量。这个求和可以写成

U_{e}=\sum q_{n}U(0)+\sum q_{n}x_{i}^{n}\partial _{i}(U)+{\frac {1}{2}}\sum q_{n}x_{i}^{n}x_{j}^{n}\partial _{i}\partial _{j}(U)+\dots

读者可以识别出与多极相关的能量。

备注： 在量子力学中，从经典力学到量子力学的过渡法则允许定义与多极矩相关的张量算符（参见章节群）。

物质中的场

在真空电磁学中，以下本构关系是精确的：

eqmaxwvideE

D=\epsilon _{0}E

eqmaxwvideB

H={\frac {B}{\mu _{0}}}

这些关系包含在麦克斯韦方程中。内部电能变化为

dU=EdD

或者，通过使用勒让德变换并选择热力学变量 $E$

dF=DdE

我们建议在这里处理函数 $D(E)$ 建模的问题。换句话说，我们寻找介质的本构关系。这个问题可以用两种不同的方法来处理。第一种方法是先验地提出一个关系 $D(E)$ ，取决于要描述的物理现象。例如，实验测量表明 $D$ 与 $E$ 成正比。因此，采用的本构关系为

D=\chi E

另一种观点是从微观层面开始，即将材料模型化为真空中的电荷分布。然后可以使用真空中的麦克斯韦方程eqmaxwvideE和eqmaxwvideB来获得宏观模型。让我们通过一些例子来说明第一种观点

示例

如果施加以下类型的关系

D_{i}=\epsilon _{ij}E_{j}

则该介质被称为电介质。\index{电介质} 能量表达式为

F=F_{0}+\epsilon _{ij}E_{i}E_{j}

示例

在线性响应理论\index{线性响应}中， $D_{i}$ 在时间 $t$ 被认为不仅取决于 $E$ 在同一时间 $t$ 的值，还取决于 $E$ 在之前时间的取值。假设这种依赖关系是线性的

D_{i}(t)=\epsilon _{ij}*E_{j}

其中 $*$ 表示时间卷积。

示例

为了处理光学活性 [ph:elect:LandauEle]，引入一个张量\index{光学活性} $a_{ijk}$ 使得

D_{i}=\epsilon _{ij}E_{j}+a_{ijk}E_{j,k}

被引入。注意这个定律仍然是线性的，但 $D_{i}$ 取决于 $E_{i}$ 的梯度。

以下两个例子说明了第二种观点

示例

磁化率的简单模型： \index{磁化率} 一个位于 $r_{0}$ 的基本电偶极子可以用（参见部分电荷的模型化）一个电荷分布 ${\mbox{ div }}(p\delta (r_{0}))$ 来建模。考虑一个在体积 $V$ 内均匀分布 $N$ 个这样的偶极子，偶极子位于位置 $r_{i}$ 。建模这个电荷分布的函数 $\rho$ 是

\rho =\sum _{V}{\mbox{ div }}(p_{i}\delta (r_{i}))

由于散度算子是线性的，它也可以写成

\rho ={\mbox{ div }}\sum _{V}(p_{i}\delta (r_{i}))

考虑向量：

eqmoyP

P(r)=\lim _{d\tau \rightarrow 0}{\frac {\sum _{d\tau }p_{i}}{d\tau }}

该向量 $P$ 称为极化矢量\index{polarisation}。该向量 $P$ 的评估如图 figpolar 所示。

figpolar

在点 $r$ 处的极化矢量是包含在体积为 $d\tau$ 的盒子中的基本偶极矩之和与体积 d\tau 之比的极限，当它趋向于零时。

真空中的麦克斯韦-高斯方程

{\mbox{ div }}\epsilon _{0}E=\rho

可以写成

{\mbox{ div }}(\epsilon _{0}E-P)=0

因此，我们将材料的微观性质（ $p$ ）与材料的宏观描述（通过向量 $D=\epsilon _{0}E-P$ ）联系起来。现在我们必须为 $p$ 提供一个微观模型。可以提出几种模型。材料可以由所有方向都朝向相同方向的小偶极子构成。其他材料，如油，由携带小偶极子的分子构成，当没有 $E$ 场时，它们的取向是随机的。但是，当存在一个非零 $E$ 场时，这些分子往往会沿着电场线定向它们的矩。由等式 eqmoyP 给出的 $P$ 的平均值 $p_{i}$ 当 $E$ 为零（由于矩的随机取向）为零，在存在非零 $E$ 时变为非零。可以在不进入量子描述细节的情况下提出一个简单的模型。它认为 $P$ 与 $E$ 成正比