控制中的LMI/应用/H2 LMI 卫星姿态控制

这是一个用于卫星姿态控制的 H2 LMI

卫星姿态控制对于军事、民用和科学活动至关重要。卫星姿态控制涉及在各种干扰和参数不确定性的情况下进行快速机动和精确指向。

系统

卫星状态空间公式在 $H_{\infty }$ LMI 卫星姿态控制页面给出，该页面也在本维基教科书的应用部分。本节将根据基本原理讨论该状态空间公式的推导。

卫星在惯性坐标系中的姿态动力学可以用其角动量变化率以及作用于系统的所有外部力矩和力矩之和来描述。即

{\begin{aligned}{\dot {H}}&=T_{c}+T_{g}+T_{d},\\H&=I_{b}\omega \\\end{aligned}}

其中以下变量定义如下

总角动量在任意旋转参考系（例如卫星的机身坐标系）中的时间导数由下式给出

{\begin{aligned}{\dot {H}}&=I_{b}{\dot {\omega }}+\omega \times (I_{b}\omega ),\\\end{aligned}}

它考虑了旋转参考系相对于惯性参考系的角速度，牛顿定律在惯性参考系中是有效的。

组合方程式，收集项并选择航天器的主要轴线，使惯性张量对角化，得到以下运动方程式

{\begin{aligned}I_{b}{\dot {\omega }}+\omega \times (I_{b}\omega )=T_{c}+T_{g}+T_{d},\\\end{aligned}}

使用小角度近似，可以将卫星在惯性坐标系中的角速度表示在机身坐标系中写成

{\begin{aligned}\omega ={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\phi }}-\omega _{0}\psi \\{\dot {\theta }}-\omega _{0}\\{\dot {\psi }}+\omega _{0}\psi \end{bmatrix}}\\{\text{where }}\omega _{0}=7.292115\times 10^{-5}{\text{ [rad/s]}}\\\end{aligned}}

这些方程构成了 H-inf LMI 用于卫星姿态控制的状态空间表示的基础。为了清晰起见，它们在下面重复。

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}u+B_{2}d\\z_{\infty }&=C_{1}x+D_{1}u+D_{2}d\\z_{2}&=C_{2}x\\\\\end{aligned}}

{\begin{aligned}A={\begin{bmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\{\frac {-4\omega _{0}^{2}I_{yz}}{I_{x}}}&0&0&0&0&{\frac {-\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}\\0&{\frac {-3\omega _{0}^{2}I_{xz}}{I_{y}}}&0&0&0&0\\0&0&{\frac {-\omega _{0}^{2}I_{yx}}{I_{z}}}&{\frac {\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}&0&0\end{bmatrix}}\\\\B_{1}=B_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\{\frac {1}{I_{x}}}&0&0\\0&{\frac {1}{I_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{I_{z}}}\\\end{bmatrix}}\\\\C_{1}=10^{-3}\times {\begin{bmatrix}-4\omega _{0}^{2}I_{yz}&0&0&0&-\omega _{0}I_{yxz}\\0&-3\omega _{0}^{2}I_{xz}&0&0&0&0\\0&0&-\omega _{0}^{2}I_{yx}&\omega _{0}I_{yxz}&0&0\end{bmatrix}}\\\\C_{2}={\begin{bmatrix}I_{3x3}&0_{3x3}\end{bmatrix}}\\\\D_{1}=10^{-3}\times L_{1},D_{2}=10^{-3}\times L_{2}\end{aligned}}

此 LMI 所需数据包括被控卫星的惯性矩和地球的角速度。任何关于扰动扭矩的知识也有助于解决问题。

优化问题旨在最小化从扰动到输出的传递函数的 H2 范数。因此，我们期望得到与 H-无穷大情况略有不同的结果。推导出 H2 控制问题和设置也有助于为本书随后介绍的混合 H-无穷大/H2 优化提供有用的设置。

段和于使用以下 H-2 卫星姿态控制 LMI 来最小化从扰动到输出的衰减水平。请注意，在 H2 情况下，我们最小化的是幅频特性传递函数幅值的积分，而在 H-无穷大情况下，优化则是最小化幅频特性幅值的峰值。

要设计一种形式为

{\begin{aligned}u=Kx\\\end{aligned}}

的优化控制器，使得闭环系统稳定，传递函数矩阵

{\begin{aligned}G_{z2w}(s)=C_{2}(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}\\\end{aligned}}

满足

{\begin{aligned}\|G_{z2w}(s)\|_{2}<\gamma _{2}\\\end{aligned}}

对于最小正标量 $\gamma _{2}$ .

这个标量可以从以下LMI的解中找到：

{\begin{aligned}\\\min &\ \ \rho \\\\{\text{s.t. }}&AX+B_{1}W+(AX+B_{1}W)^{T}+B_{2}B_{2}^{T}<0\\\\&{\begin{bmatrix}-Z&C_{2}X\\(C_{2}X)^{T}&-X\end{bmatrix}}<0\\\\&\operatorname {trace} (Z)<\rho \\{\text{where }}\rho =\gamma _{2}^{2}.\end{aligned}}

控制器由 $K=WX^{-1}$ 给出。

用于H-2卫星姿态控制的LMI对扰动提出了与H-inf问题不同的衰减值，这是预期的。它也为Duan和Yu在后面部分介绍的混合H2/H-inf问题做了很好的准备。虽然没有包括混合H2/H-inf优化问题的实现，但对比卫星姿态控制问题的这三种情况的结果还是很有趣的。

LMI的CodeOcean或其他在线实现的链接

记录和验证LMI的参考列表。