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离散时间稳定性

离散时间系统对离散时间信号输入进行操作，并产生离散时间信号输出。它们用于数字信号处理，例如用于图像或声音的数字滤波器。离散时间系统中既是线性的又是时不变的类别被称为离散时间LTI系统。

可以使用控制器增益K使离散时间LTI系统稳定，该增益可以使用LMI优化找到，使得闭环系统稳定。

系统

具有状态空间实现的离散时间LTI系统$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$
${\begin{aligned}&A_{d}\in {\bf {{R^{n*n}},}}&B_{d}\in {\bf {{R^{n*m}},}}&C_{d}\in {\bf {{R^{p*n}},}}&D_{d}\in {\bf {{R^{p*m}}\;}}\\\end{aligned}}$

数据

矩阵：系统$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d}),P,W$.

优化问题

应优化以下可行性问题

在满足LMI约束的同时最大化P。
然后找到K。

LMI

离散时间稳定性

LMI公式

${\begin{aligned}P\in {S^{n}};W\in {R^{m*n}}\;\\&P>0\\{\begin{bmatrix}P&A_{d}P+B_{d}W\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\K_{d}=WP^{-1}\end{aligned}}$

结论

系统是可稳定化的，当且仅当存在一个$P$，使得$P>0$。矩阵$A_{d}+B_{d}K_{d}$是舒尔矩阵，其中$K_{d}=WP^{-1}$

实现

CodeOcean 或其他在线实现 LMI 的链接
MATLAB 代码

相关 LMI

[1] - 连续时间稳定性

外部链接

记录和验证 LMI 的参考文献列表。

• 控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。