控制中的 LMI / 点击此处继续 / 控制器综合 / 二阶系统的稳定性

稳定性是控制中一个非常重要的概念，对于二阶系统来说也不例外。二阶系统可以最简单地用质量-弹簧-阻尼器模型来概念化。速度和位置当然被选择作为该系统的状态，状态空间模型可以写成如下所示。在这种情况下，稳定性的目标是设计一个控制律，该控制律由两个控制器增益矩阵 $K_{p}\in R^{r*m_{p}}$ ， $K_{d}\in R^{r*m_{d}}$ 组成。这些允许构建一个稳定的闭环控制器。

系统

这里，我们想稳定以下形式的二阶系统

{\begin{aligned}M{\ddot {x}}+D{\dot {x}}+Kx&=Bu,\end{aligned}}

其中 $x\in R^{n}$ 和 $u\in R^{r}$ 分别是状态向量和控制向量，M（称为“质量矩阵”）、D（称为“结构阻尼矩阵”）、K（称为“刚度矩阵”）和 B 是适当维度的系统系数矩阵。

为了使系统遵循标准惯例，我们将系统重新表述为

{\begin{aligned}A_{2}{\ddot {x}}+A_{1}{\dot {x}}+A_{0}x&=Bu\\y_{d}&=C_{d}{\dot {x}}\\y_{p}&=C_{p}x,\end{aligned}}

其中： $x\in R^{n}$ 和 $u\in R^{r}$ 分别是状态向量和控制向量； $y_{d}\in R^{m_{d}}$ 和 $y_{p}\in R^{m_{p}}$ 分别是导数输出向量和比例输出向量； $A_{2},A_{1},A_{0},B,C_{d},$ 和 $C_{p}$ 是适当维度的系统系数矩阵。注意， $A_{2}$ 必须是 $>0$ ，并且 $A_{0},A_{2}$ 必须是 $\in S^{n}$ .

To further define: $x$ is $\in R^{n}$ and is the state vector, $A_{0}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on $x$ , $A_{1}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\dot {x}}$ , $A_{2}$ is $\in R^{n*n}$ and is the state matrix on ${\ddot {x}}$ , $B$ is $\in R^{n*r}$ and is the input matrix, $u$ is $\in R^{r}$ and is the input, $C_{d}$ and $C_{p}$ are $\in R^{m*n}$ and are the output matrices, $y_{d}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{d}$ , and $y_{p}$ is $\in R^{m}$ and is the output from $C_{p}$ .