线性代数/复数表示

回顾复数加法的定义

$(a+bi)\,+\,(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

和乘法。

${\begin{array}{rl}(a+bi)(c+di)&=ac+adi+bci+bd(-1)\\&=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{array}}$

例 2.1

例如，$(1-2i)\,+\,(5+4i)=6+2i$ 和 $(2-3i)(4-0.5i)=6.5-13i$.

使用这些规则处理标量运算，我们对实向量空间进行的所有运算都保持不变。

例 2.2

矩阵乘法是相同的，虽然标量算术涉及更多的簿记。

${\begin{pmatrix}1+1i&2-0i\\i&-2+3i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+0i&1-0i\\3i&-i\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}&={\begin{pmatrix}(1+1i)\cdot (1+0i)+(2-0i)\cdot (3i)&(1+1i)\cdot (1-0i)+(2-0i)\cdot (-i)\\(i)\cdot (1+0i)+(-2+3i)\cdot (3i)&(i)\cdot (1-0i)+(-2+3i)\cdot (-i)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1+7i&1-1i\\-9-5i&3+3i\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

之前章节中可以保留的一切，我们也保持不变。例如，我们将把向量集合称为

$\left\langle {\begin{pmatrix}1+0i\\0+0i\\\vdots \\0+0i\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0+0i\\1+0i\\\vdots \\0+0i\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}0+0i\\0+0i\\\vdots \\1+0i\end{pmatrix}}\right\rangle$

作为复数域 $\mathbb {C}$ 上的向量空间，$\mathbb {C} ^{n}$ 的标准基，我们再次将其记为 ${\mathcal {E}}_{n}$。