线性代数/因式分解和复数：回顾

本小节仅为回顾，我们认为主要结果已知。关于证明，请参见 (Birkhoff & MacLane 1965) 或 (Ebbinghaus 1990).

正如整数有除法运算——例如，“$4$ 可以被 $5$ 整除得到 $21$，余数为 $1$”——多项式也是如此。

定理 1.1（多项式除法定理）

设 $c(x)$ 为一个多项式。如果 $m(x)$ 是一个非零多项式，则存在**商**和**余数**多项式 $q(x)$ 和 $r(x)$ 使得

$c(x)=m(x)\cdot q(x)+r(x)$

其中 $r(x)$ 的次数严格小于 $m(x)$ 的次数。

在这本书中，常数多项式，包括零多项式，被认为具有次数 $0$。（这不是标准定义，但在这里很方便。）

整数除法语句 "$4$ 除以 $5$ 商为 $21$ 余数为 $1$" 的关键在于，余数小于 $4$ —— 虽然 $4$ 除以 $5$ 商为 5 次，但它不除以 $6$ 次。同理，多项式除法语句的关键在于其最后一个子句。

示例 1.2

如果 $c(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x$ 且 $m(x)=x^{2}+1$，那么 $q(x)=2x-3$ 且 $r(x)=2x+3$。注意，$r(x)$ 的阶数低于 $m(x)$。

推论 1.3

当 $c(x)$ 除以 $x-\lambda$ 时，余数是常数多项式 $r(x)=c(\lambda )$。

证明

余数必须是一个常数多项式，因为它比除数的次数低 $x-\lambda$。为了确定常数，取定理中的 $m(x)$ 为 $x-\lambda$，并将 $\lambda$ 代入 $x$，得到 $c(\lambda )=(\lambda -\lambda )\cdot q(\lambda )+r(x)$。

如果除数 $m(x)$ 能被被除数 $c(x)$ 整除，意味着 $r(x)$ 是零多项式，那么 $m(x)$ 是 $c(x)$ 的 **因子**。因子的任何 **根**（任何满足 $m(\lambda )=0$ 的 $\lambda \in \mathbb {R}$）都是 $c(x)$ 的根，因为 $c(\lambda )=m(\lambda )\cdot q(\lambda )=0$。前面的推论立即得出以下逆命题。

推论 1.4

如果 $\lambda$ 是多项式 $c(x)$ 的根，那么 $x-\lambda$ 能整除 $c(x)$，也就是说 $x-\lambda$ 是 $c(x)$ 的因式。

找到高次多项式的根和因式可能很困难。但对于二次多项式，我们有二次公式：$ax^{2}+bx+c$ 的根是

$\lambda _{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\qquad \lambda _{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

(如果判别式 $b^{2}-4ac$ 为负，则该多项式没有实数根)。一个不能分解为两个具有实数系数的低次多项式的多项式被称为 **在实数上不可约**。

定理 1.5

任何常数或线性多项式在实数上都是不可约的。一个二次多项式在实数上不可约当且仅当它的判别式为负。没有三次或更高次的多项式在实数上不可约。

推论 1.6

任何具有实数系数的多项式都可以分解成线性多项式和不可约二次多项式。该分解是唯一的；任何两个分解都具有相同的因子的相同幂。

注意与整数的素因子分解的类比。在这两种情况下，唯一性条款都非常有用。

例 1.7

由于唯一性，我们知道，无需将其乘开， $(x+3)^{2}(x^{2}+1)^{3}$ 不等于 $(x+3)^{4}(x^{2}+x+1)^{2}$。

例 1.8

根据唯一性，如果 $c(x)=m(x)\cdot q(x)$，那么当 $c(x)=(x-3)^{2}(x+2)^{3}$ 且 $m(x)=(x-3)(x+2)^{2}$ 时，我们知道 $q(x)=(x-3)(x+2)$.

虽然 $x^{2}+1$ 在实数范围内没有实根，因此无法分解成实数上的因式。但是，如果我们假设一个根，通常用 $i$ 表示，使得 $i^{2}+1=0$，那么 $x^{2}+1$ 可以分解成两个一次因式的乘积，即 $(x-i)(x+i)$.

因此，我们将这个根 $i$ 添加到实数，并对新的体系进行封闭，使其满足加法、乘法等运算（例如，我们还添加了 $3+i$、$2i$ 和 $3+2i$ 等，并将所有 $1$ 和 $i$ 的线性组合都包含在内）。然后，我们得到一个新的结构，称为 **复数**，用 $\mathbb {C}$ 表示。

在 $\mathbb {C}$ 中，我们可以对（显然，至少是一些）在实数范围内不可约的二次方程进行因式分解。令人惊讶的是，在 $\mathbb {C}$ 中，我们不仅可以对 $x^{2}+1$ 及其近似表达式进行因式分解，我们还可以对任何二次方程进行因式分解。

$ax^{2}+bx+c=a\cdot {\big (}x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{\big )}\cdot {\big (}x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{\big )}$

例 1.9

二次多项式 $x^{2}+x+1$ 在复数范围内可以分解成两个一次多项式的乘积。

${\big (}x-{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}{\big )}{\big (}x-{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}{\big )}={\big (}x-(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i){\big )}{\big (}x-(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i){\big )}$

推论 1.10（代数基本定理）

具有复系数的多项式可以分解成具有复系数的线性多项式。这种分解是唯一的。

参考文献

• Ebbinghaus, H. D. (1990), Numbers, Springer-Verlag.
• Birkhoff, Garrett; MacLane, Saunders (1965), Survey of Modern Algebra (Third ed.), Macmillian.