线性代数/线性无关

上一节表明，向量空间可以理解为其某些元素的无限制线性组合，即生成空间。例如，线性多项式空间 $\{a+bx\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 由集合 $\{1,x\}$ 生成。上一节还表明，一个空间可以有很多生成它的集合。线性多项式空间也被 $\{1,2x\}$ 和 $\{1,x,2x\}$ 生成。

在那一节的末尾，我们描述了一些生成集为“最小”，但我们从未精确定义这个词。我们可以将“最小”理解为两种含义之一。我们可以认为，如果一个生成集包含的成员数量最少，而其他生成相同空间的集合都比它多，那么这个生成集就是最小的。根据这个定义， $\{1,x,2x\}$ 不是最小的，因为它比另外两个多一个成员。或者，我们可以认为，当一个生成集没有可以移除而不改变生成空间的元素时，它就是最小的。根据这个定义， $\{1,x,2x\}$ 不是最小的，因为移除 $2x$ 并得到 $\{1,x\}$ 不会缩小生成空间。

最小性的第一个含义似乎是一个全局的要求，因为要检查一个生成集是否是最小的，我们似乎必须查看子空间的所有生成集，并找到一个元素数量最少的生成集。最小性的第二个含义是局部的，因为我们只需要查看所讨论的集合，并考虑有无各种元素的生成空间。例如，使用第二个含义，我们可以比较 $\{1,x,2x\}$ 的生成空间与 $\{1,x\}$ 的生成空间，并注意到 $2x$ 是一个“重复”，因为它移除后不会缩小生成空间。

在本节中，我们将使用“最小生成集”的第二个含义，因为这种技术上的便利性。然而，本书最重要的结果是这两个含义是相同的；我们将在下一节中证明这一点。