线性代数/对角化

线性代数
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上一节定义了相似关系，并表明，虽然相似矩阵必然是矩阵等价的，但反之不成立。一些矩阵等价类可以分为两个或多个相似类（例如，非奇异 $n\!\times \!n$ 矩阵）。这意味着矩阵等价的规范形式，即分块部分单位矩阵，不能用作矩阵相似的规范形式，因为部分单位矩阵不能存在于多个相似类中，因此存在没有规范形式的相似类。这幅图说明了这一点。与本书之前一样，类代表用星号表示。

我们正在为相似类的代表开发一个规范形式。我们自然会尝试在之前的工作基础上进行构建，这意味着首先，部分单位矩阵应该代表它们所处的相似类，除此之外，代表应该尽可能简单。部分单位形式最简单的扩展是对角形式。

定义 2.1

如果一个变换在与域相同余域的基底上具有对角表示，则称该变换为对角化。对角化矩阵是指与对角矩阵相似的矩阵： $T$ 是对角化的，如果存在一个非奇异 $P$ 使得 $PTP^{-1}$ 为对角矩阵。

示例 2.2

矩阵

{\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}

是可对角化的。

{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}}^{-1}

示例 2.3

并非所有矩阵都是可对角化的。的平方

N={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}

是零矩阵。因此，对于任何映射 $n$ 代表 $N$ （在域和余域上使用相同的基底），复合 $n\circ n$ 是零映射。这意味着没有这样的映射 $n$ 可以用对角线表示（对于任何 $B,B$ ），因为非零对角矩阵的任何次方都不等于零。也就是说，在 $N$ 的相似类中不存在对角矩阵。

该示例表明，对角形式不足以作为规范形式——我们无法在每个矩阵相似类中找到对角矩阵。但是，我们正在开发的规范形式具有以下特性：如果一个矩阵可以对角化，那么对角矩阵就是相似类的规范代表。下一个结果描述了哪些映射可以对角化。

推论 2.4

如果且仅当存在一个基底 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 和标量 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ ，使得 $t({\vec {\beta }}_{i})=\lambda _{i}{\vec {\beta }}_{i}$ 对于每个 $i$ ，则变换 $t$ 是可对角化的。

证明

这从定义得出，考虑一个对角化表示矩阵。

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\beta }}_{1}))&\cdots &{\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\beta }}_{n}))\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c|c}\lambda _{1}&&0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&&\lambda _{n}\end{array}}\right)

这个表示等同于存在一个满足所述条件的基底，这仅仅是矩阵表示的定义。

例 2.5

为了对角化

T={\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}

我们将其视为相对于标准基底 $T={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(t)$ 的变换的表示，我们寻找一个基底 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\rangle$ 使得

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}}

也就是说，使得 $t({\vec {\beta }}_{1})=\lambda _{1}{\vec {\beta }}_{1}$ 以及 $t({\vec {\beta }}_{2})=\lambda _{2}{\vec {\beta }}_{2}$ .

{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {\beta }}_{1}=\lambda _{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}\qquad {\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {\beta }}_{2}=\lambda _{2}\cdot {\vec {\beta }}_{2}

我们正在寻找标量 $x$ 使得该方程

{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}=x\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}

有解 $b_{1}$ 和 $b_{2}$ ，它们不全为零。将其改写为线性方程组。

{\begin{array}{*{2}{rc}r}(3-x)\cdot b_{1}&+&2\cdot b_{2}&=&0\\&&(1-x)\cdot b_{2}&=&0\end{array}}\qquad (*)

在下面的等式中，两个数相乘得到零，当且仅当其中至少有一个为零，因此有两种可能性： $b_{2}=0$ 和 $x=1$ 。在 $b_{2}=0$ 的可能性中，第一个等式给出要么 $b_{1}=0$ 要么 $x=3$ 。由于 $b_{1}=0$ 和 $b_{2}=0$ 同时为零的情况是不允许的，我们只剩下 $x=3$ 的可能性。有了它，( $*$ ) 中的第一个等式是 $0\cdot b_{1}+2\cdot b_{2}=0$ ，因此与 $3$ 相关联的是第二个分量为零，而第一个分量自由的向量。

{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\0\end{pmatrix}}=3\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\0\end{pmatrix}}

也就是说，( $*$ ) 的一个解是 $\lambda _{1}=3$ ，我们得到一个第一个基向量。

{\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

在 $x=1$ 的情况下，( $*$ ) 中的第一个方程是 $2\cdot b_{1}+2\cdot b_{2}=0$ ，因此与 $1$ 相关的向量是其第二分量是其第一分量的负数的向量。

{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\-b_{1}\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\-b_{1}\end{pmatrix}}

因此，另一个解是 $\lambda _{2}=1$ ，第二个基向量是这个。

{\vec {\beta }}_{2}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}

最后，绘制相似图

并注意到矩阵 ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})$ 很容易得到这个对角化。

{\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}

在下一小节中，我们将通过更仔细地考虑推论 2.4 的属性来扩展这个例子。这包括看到另一种方法，也是我们将经常使用的方法，来找到 $\lambda$ 's。

习题

建议所有读者做这道习题。

问题 1

对例 2.5 中的矩阵重复例 2.2 的过程。

问题 2

对这些上三角矩阵进行对角化。

${\begin{pmatrix}-2&1\\0&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&4\\0&1\end{pmatrix}}$

建议所有读者做这道习题。

问题 3

对角矩阵的幂是什么形式？

问题 4

给出两个相同大小的对角矩阵，它们不相似。任意两个不同的对角矩阵是否一定来自不同的相似类？

问题 5

给出对角矩阵的一个非奇异矩阵。对角矩阵是否可以是奇异矩阵？

建议所有读者做这道习题。

问题 6

证明对角矩阵的逆是逆矩阵的对角线，如果对角线上的元素都不为零。如果对角线上的元素为零会发生什么？

问题 7

结束于示例 2.5的方程式

{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}

有点令人费解，因为对于 $P$ ，我们必须取第一个矩阵，它显示为逆矩阵，而对于 $P^{-1}$ ，我们取第一个矩阵的逆矩阵，这样两个 $-1$ 次幂相互抵消，并且此矩阵显示为不带上标 $-1$ 。

检查一下这个看起来更漂亮的方程式是否成立。
${\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}$
这之前的是巧合吗？还是我们总能互换 $P$ 和 $P^{-1}$ ？